3.1.3 第1课时 组合与组合数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系.　2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.　3.会利用组合的知识解决一些简单的组合问题. 知识点1　组合概念的理解 内容索引 知识点2　组合数公式 课时作业 巩固提升 知识点3　简单的组合问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　组合概念的理解 组合的定义 一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象　　 　　,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.  并成一组 判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少? (2)8人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件? (3)8人相互通电话一次,共通了多少次电话? (4)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? [分析]　排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. 例1 [解]　(1)已知集合的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关,是组合问题,共有个. (2)因为发件人与收件人有顺序区别,与顺序有关是排列问题,共写了个电子邮件. (3)同时通电话,无顺序,是组合问题,共通了次电话. (4)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,共有种车票,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题,共有种票价. 1.根据排列与组合的定义进行判断,区分排列与组合问题,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合. 2.区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题. 思维提升 1.从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,写出所有不同的组合. 跟踪训练 解:要想写出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来,如图所示: 由此可得所有的组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. 知识点2　组合数公式 1.组合数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的　　　　　　　　,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号　　　　表示.  2.组合数公式 (1)=　　　　.  (2)===. (3)规定=　　　　.  所有组合的个数 1 (1)证明:=101; (2)求值:+; (3)证明:=. [分析]　对(1),考查公式的逆用,熟练掌握公式 ==的正用及逆用是解题的关键; 对(2),先求出n的取值,再代入求解; 对(3),由于等式右边比较麻烦,所以先化简右边,进而求解. 例2 (1)[证明]　分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小的为n,故 =101·=101. (2)[解]　由组合数定义知: 所以4≤n≤5,又因为n∈N+, 所以n=4或5. 当n=4时,+=+=5; 当n=5时,+=+=16. (3)[证明]　因为右边==·==, 左边=, 所以左边=右边,所以原式成立. 1.关于组合数计算公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用公式==计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式=计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 2.在解有关组合数的方程或不等式时,必须注意隐含条件,即中的n为正整数,m为自然数,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要进行检验,将不符合的解舍去. 思维提升 2.计算:-·. 解:-·=-7×6×5=210-210=0. 跟踪训练 知识点3　简单的组合问题 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法? 例3 [解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即==45(种). (2)可把问题分两类情况: 第1类,选出的2名是男教师有种方法; 第2类,选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理,共有+=15+6=21种不同选法. (3)从6名男教师中选2名的选法有种,从4名女教师中选2名的选法有种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法×=15×6=90(种). 解简单的组合应用题的策略 1.解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用. 提醒:在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏. 思维提升 3.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,其中含有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,其中不含黑球,有多少种取法? 跟踪训练 解:(1)从口袋内的8个球中取出3个球, 取法种数是===56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是===21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是===35. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 A,B,D项均为排列问题,只有C项是组合问题. C 2.若=12,则n等于(　　) A.8　　　　　　　　　 B.5或6 C.3或4 D.4 =n(n-1)(n-2),=n(n-1), 所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1). 由n∈N+,且n≥3,解得n=8. A 3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,有　　　　种不同的选法.  由题意可知共有==84种. 84 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为(　　) A.4　　　　　　　　　 B.8 C.28 D.64 由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建=28条公路. C 2.若=21,则的值为(　　) A.6 B.7 C.35 D.20 ∵=21,∴=21, 解得n=7或n=-6(舍去). ∴===35. C 3.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是(　　) A.20 B.9 C. D.+ 分两类:第1类,在直线a上任取一点,与直线b可确定个平面;第2类,在直线b上任取一点,与直线a可确定个平面.故可确定+=9个不同的平面. B 4.若=3,则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 因为=3,所以n(n-1)=,即n=6. C 5.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A中含有3个元素的子集共有 　　　　个.  从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集,则共有=10个子集. 10 6.若=120,则n=　　　　.  由题意得,2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)=, 化简得,n2-2n-3=0, 解得n=3或n=-1(舍去),所以n=3. 3 7.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数? 解:从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的最小三位数共有==20个. 8.求式子-=中的x. 解:原式可化为:-=,∴x2-23x+42=0, ∵0≤x≤5,∴x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解. [B组　关键能力练] 9.(多选)+的值是(　　) A.7 B. 9 C.20 D.46 CD ∵∴7≤x≤9, 又x∈N+,∴x=7,8,9. 当x=7时,+=46; 当x=8时,+=20; 当x=9时,+=46. 10.已知圆上有9个点,每两点连一线段,则所有线段在圆内的交点最多有(　　) A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为=126个. D 11.五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成　　　　条线段;如果是有向线段,共有　　　　条.  10 20 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有=10(条).再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是=20.所以有向线段共有20条. 12.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m,n,方程x2+y2=1所表示的不同椭圆的个数为　　　　.  ∵1≤m<n≤5,所以可以是,,,,,,,,,,其中=,=,=,=,∴方程x2+y2=1能表示的不同椭圆有6个. 6 13.某次足球比赛共12支球队参加,分三个阶段进行. (1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名; (2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者; (3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负. 问:全部赛程共需比赛多少场? 解:(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛,就是6支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2=30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名和乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一次,所以半决赛共要比赛2×2=4(场). (3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场). [C组　素养培优练] 14.如图所示,机器人亮亮从A地移动到B地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从A移动到B最近的走法共有多少种? 解:分步计算,第一步A→C最近走法有2种;第二步C→D最近走法有=20种;第三步D→B最近走法有2种,故由A→B最近走法有2×20×2=80种. $$