3.1.2 第2课时 排列数的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.2　排列与排列数 第2课时　排列数的应用 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.掌握基本计数原理与排列的关系,进一步加深对排列概念的理解.　2.能利用排列数公式解决简单的实际问题. 知识点1　无限制条件的排列问题 内容索引 知识点2　排队问题 课时作业 巩固提升 知识点3　数字排列问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　无限制条件的排列问题 (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? [分析]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算. 例1 [解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是=5×4×3=60,所以共有60种不同的送法. (2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125,所以共有125种不同的送法. 1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解. 思维提升 1.(1)将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,则共有　　　　种不同的分法;  (2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,不同的选法共有　　　　种.  跟踪训练 720 60 (1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来,这是一个排列问题.故不同分法的种数为=10×9×8=720. (2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,应有=5×4×3=60种选法. 知识点2　排队问题 角度1　元素“相邻”与“不相邻”问题 3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男、女各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起; (3)全体站成一排,男生不能站在一起; (4)全体站成一排,男、女各不相邻. 例2 [解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列,有种排法; 女生必须站在一起是女生的全排列,有种排法; 全体男生、女生各视为一个元素,有种排法. 由分步乘法计数原理知,共有··=288种排队方法. (2)三个男生全排列有种方法,把所有男生视为一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,有种排法.故有·=720种排队方法. (3)先安排女生,共有种排法;男生在4个女生隔成的五个空中安排,共有种排法,故共有·=1 440种排法. (4)排好男生后让女生插空,共有·=144种排法. “相邻”与“不相邻”问题的解决方法 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 思维提升 2.(多选)若3男3女排成一排,则下列说法错误的是(　　) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的共有120种排法 C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D.男女生相间的排法总数为72种 跟踪训练 BC 3男3女排成一排共计有=720(种)排法;男生甲排在两端的共有2=240(种)排法;男生甲、乙相邻的排法总数为=240(种);男女生相间的排法总数为2=72(种). 角度2　元素“在”与“不在”问题 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同课程表的排法? 例3 [分析]　可采取正向和逆向两种思路求解.正向考虑可分为四种情况:(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节;(2)数学排在第一节但体育不排在最后一节;(3)体育排在最后一节但数学不排在第一节;(4)数学排在第一节,体育排在最后一节,依次求解,然后相加;若逆向考虑,先算出总的排法,再减去不符合要求的排法即可. [解]　法一:根据要求,课程表安排可分为4种情况: (1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节,这种情况有·种排法; (2)数学排在第一节但体育不排在最后一节,有·种排法; (3)体育排在最后一节但数学不排在第一节,有·种排法; (4)数学排在第一节,体育排在最后一节,有种排法.这四类排法并列,不重复也不遗漏,故总的排法有·+·+·+=504种. 法二:6节课总的排法是,其中不符合要求的可分为:体育排在第一节有种排法,如图中Ⅰ; 数学排在最后一节有种排法,如图中Ⅱ;但这两种方法,都包括体育在第一节,数学排在最后一节的情况,如图中Ⅲ,这种情况有种排法,因此符合条件的排法应是-2+=504种. “在”与“不在”问题的解决方法 思维提升 3.4名运动员参加4×100接力赛,根据平时队员训练的成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序有(　　) A.12种　　　　　　　　 B.14种 C.16种 D.24种 跟踪训练 B 用排除法,若不考虑限制条件,4名队员全排列共有=24种排法,减去甲跑第一棒有=6种排法,乙跑第四棒有=6种排法,再加上甲在第一棒且乙在第 四棒有=2种排法,共有-2+=14种不同的出场顺序. 角度3　定序问题 将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).则有多少种不同的排列方法? 例4 [解]　5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法. 法一:(整体法)5个元素无约束条件的全排列有种,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有×2=40(种). 法二:(插空法)若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入,这时形成的4个空中,分两类: 第一类,若字母D,E相邻,则有·种排法; 第二类,若字母D,E不相邻,则有种排法. 所以有·+=20(种)不同的排列方法. 同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法. 因此,满足条件的排列有20+20=40(种). 在有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻),解决这类问题的基本方法有两种: 1.整体法:即若有m+n个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,先将这m+n个元素排成一列,有种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法. 思维提升 2.插空法:即m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中. 4.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有 　　　　个七位数符合条件.  若1,3,5,7的顺序不定,有=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.故有=210(个)七位数符合条件. 跟踪训练 210 知识点3　数字排列问题 (1)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的六位奇数? (2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组多少个无重复数字且个位数字不是5的六位数? [分析]　这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解. 例5 [解]　(1)法一:从特殊位置入手(直接法) 分三步完成,第一步先填个位,有种填法,第二步再填十万位,有种填法,第三步填其他位,有种填法,故共有=288(个)符合题意的六位奇数. 法二:从特殊元素入手(直接法) 0不在两端有种排法,从1,3,5中任选一个排在个位有种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有种排法,故共有=288(个)符合题意的六位奇数. 法三:排除法 6个数字的全排列有个,0,2,4在个位上的六位数为3个,1,3,5在个位上,0在十万位上的六位数有3个,故共有-3-3=288(个)符合题意的六位奇数. (2)法一:排除法 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有个,0在十万位且5在个位的六位数有个.故符合题意的六位数共有-2+=504(个). 法二:直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类: 第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有个. 第二类:当个位不排0时,符合条件的六位数有个. 故共有符合题意的六位数+=504(个). 解数字排列问题常见的解题方法 1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”. 2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理计算,要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏. 3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数. 4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好. 思维提升 5.用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数,则5和6在两端,1和2相邻的六位数的个数是(　　) A.24　　　　　　　　 B.32 C.36 D.48 跟踪训练 A 先排5,6,有种排法;将1,2捆绑在一起有种排法;将1,2这个整体和3以及4全排列,有种排法.所以符合题意的六位数的个数为=24. 〈课堂达标·素养提升〉 1.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为(　　) A.36　　　　　　　　 B.120 C.720 D.240 由于6人排两排,没有什么特殊要求的元素,故排法种数为=720. C 2.从0,1,3,5,7,9六个数中,任取两个做除法,可得到不同的商的个数是(　　) A.30 B.25 C.20 D.19 D 当选出的数字有一个是0时,0只能做分子,不能做分母,有1种结果为0; 当选出数字没有0时,五个数字从中任选两个,共有种结果,而在这些结果中,有相同的数字重复出现,和,和,∴可以得到不同的商的个数是-2+1=19. 3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有　　　　个.  先排奇数位有种,再排偶数位有种,故共有=144个. 144 4.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有　　　　种.  把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,共=24种. 24 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某种产品的加工需要经过5道工序,其中有两道工序既不能放在最前面,也不能放在最后面,则这种产品的加工排列顺序的方法数为(　　) A.72　　　　　　　　 B.36 C.24 D.12 B 由题意,某种产品的加工需要经过5道工序,其中有2道工序既不能放在最前面,也不能放在最后面,则这2道工序,共有=6种不同的排列方法,剩余的3道工序,共有=6种不同的排列方法,由分步乘法计数原理,可得加工这种产品的工序排列方法种数为6×6=36. 2.从2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 D 先从2,4中选一个数字,有2种选法;再从1,3,5中选两个数字并排列,有种选法;最后将从2,4中选出的一个数字放在十位或百位的位置,有2种放法.综上所述,奇数的个数为2××2=24. 3.将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数为(　　) A.480 B.360 C.120 D.240 D 甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有=720(种),甲、乙、丙的排列有=6(种),因为甲、乙在丙的两侧,所以可能为甲丙乙或乙丙甲,所以不同的排法种数共有2×=240(种). 4.某件产品的生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人,则不同的安排方案共有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 B 分类完成:第1类,若甲在第一道工序,则丙必在第四道工序,其余两道工序无限制,有种排法; 第2类,若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序),则第四道工序有2种排法,其余两道工序有种排法,有2种排法. 由分类加法计数原理,共有+2=36种不同的安排方案. 5.我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动,要求活动当天每艺安排一节,连排6节,且“数”必须排在第3节,“射”和“御”相邻,则不同的安排顺序共有　　　　种. 分析可知“数”排在第3节,且“射”和“御”相邻时,有3种排法,再将“礼”“乐”“书”安排在剩下的3节,有种排法,所以不同的安排顺序共有3=36(种). 36 6.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动.若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动,则选派方案共有 　　　　种.  翻译活动是特殊位置优先考虑,有4种选法(除甲、乙外),其余活动共有种选法,由分步乘法计数原理知共有4×=240种选派方案. 240 7.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20 000大的五位偶数共有多少个? 解:第1类,个位数字是2,首位可排3,4,5之一,有种排法,排其余数字有种排法,所以有个数; 第2类,个位数字是4,有个数; 第3类,个位数字是0,首位可排2,3,4,5之一,有种排法,排其余数字有种排法,所以有个数. 由分类加法计数原理,可得共有2+=240个数. 8.4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排. (1)3名女同学必须排在一起,有多少种不同的排法? (2)任何两名女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? (3)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法? 解:(1)3名女同学是特殊元素,共有种排法; 由于3名女同学必须排在一起,则可视排好的女同学为一个整体,再与4名男同学排,应有种排法. 由分步乘法计数原理得,有=720(种)不同的排法. (2)先将男同学排好,共有种排法,再在这4名男同学的中间及两头的5个空当中插入3名女同学,则有种方法.所以共有=1 440(种)不同的排法. (3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人,有种排法; 由于甲、乙要相邻,故先把甲、乙排好,有种排法; 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中,则有种排法.所以共有=960(种)不同的排法. [B组　关键能力练] 9.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(　　) A.10种 B.12种 C.9种 D.8种 B 先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法. 因此共有··1=12(种)不同的排列方法. 10.某诗词大会共设有十场比赛,每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有(　　) A.144种 B.48种 C.36种 D.72种 C 将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有=6种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里,有=6种排法,则后六场开场诗词的排法有6×6=36(种). 11.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,则不同的排法共有　　　　种.  甲、乙作为元素集团,内部有种排法,“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有种排法.将丙、丁插在3个空中有种方法.所以由分步乘法计数原理,共有=24种排法. 24 12.六个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使三个空位连在一起,则停放的方法数为　　　　;若三个空车位不连在一起,则停放的方法数为　　　　.  把3个空位看作一个元素,与3辆汽车共有4个元素全排列,故停放的方法有=4×3×2×1=24种.不考虑任何限制,共有=120种不同放车方法,若三个空车位不连在一起,则共有120-24=96种停放方法. 24 96 13.已知10件不同的产品中有4件次品,现对这10件产品一一进行测试,直至找到所有次品. (1)若恰在第2次测试时,找到第一件次品,第8次测试时,才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况? (2)若至多测试6次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况? 解:(1)第2次测试找到第一件次品,有4种测试情况; 第8次测试找到最后一件次品,有3种测试情况; 第3次至第7次测试找到2件次品,有种测试情况; 剩余4次测试的是正品,有种测试情况. 故不同的测试情况共有4×3×=86 400(种). (2)测试4次找出4件次品,不同的测试情况有种; 测试5次找出4件次品,不同的测试情况有4种; 测试6次找出4件次品或6件正品,不同的测试情况有(4+)种. 由分类加法计数原理,知满足条件的不同的测试情况共有+4+(4+)=8 520(种). [C组　素养培优练] 14.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数; (2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数; (3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数. 解:(1)将所有的三位偶数分为两类: ①若个位数为0,则共有=12个; ②若个位数为2或4,则共有2×3×3=18个. 所以共有30个符合题意的三位偶数. (2)将这些“凹数”分为三类: ①若十位数字为0,则共有=12个; ②若十位数字为1,则共有=6个; ③若十位数字为2,则共有=2个, 所以共有20个符合题意的“凹数”. (3)将符合题意的五位数分为三类: ①若两个奇数数字在一、三位置,则共有·=12个; ②若两个奇数数字在二、四位置,则共有··=8个; ③若两个奇数数字在三、五位置,则共有··=8个. 所以共有28个符合题意的五位数. $$