3.1.2 第1课时 排列与排列数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.理解并掌握排列及排列数的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.　2.理解排列数公式的推导,并能利用公式进行计算和证明. 知识点1　排列的概念 内容索引 知识点2　排列的列举问题 课时作业 巩固提升 知识点3　排列数的公式及应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　排列的概念 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照　　　　　　排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地, 　　　　时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.  一定的顺序 m＝n 判断下列问题是不是排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)选2个小组分别去植树和种菜; (3)选2个小组去种菜; (4)选10人组成一个学习小组; (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班40名学生在假期相互通信. [分析]　判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题. 例1 [解]　(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中,(2)(5)(6)属于排列问题,(1)(3)(4)不属于排列问题. 判断一个具体问题是否为排列的方法与技巧 1.解决本题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序有关”. 2.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题. 思维提升 1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数,可得多少个不同的对数值? (2)空间有10个点,任何四点不共面,则这10个点共可组成多少个不同的四面体? (3)某班有10名三好学生,5名后进生,班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动,共有多少种安排方式? (4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组,共有多少种安排方式? 跟踪训练 解:(1)对数的底数与真数不同,所得的结果不同,是排列问题. (2)四面体与四个顶点的顺序无关,不是排列问题. (3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关,是排列问题. (4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关,不是排列问题. 知识点2　排列的列举问题 写出下列问题的所有排列. (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数? (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列. [分析]　(1)直接列举数字. (2)先画树形图,再结合树形图写出所有情况. 例2 [解]　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数. (2)由题意作树状图,如图. 故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树形图写出排列. 思维提升 2.(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有　　　　种机票;  (2)A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,共有　　　　种不同的排列方法.  跟踪训练 12 14 (1)列出每一个起点和终点情况,如图所示. 故符合题意的机票种类有: 北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种. (2)因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,画树状图如图. 所以符合题意的所有排列是: BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种. 知识点3　排列数的公式及应用 1.排列数的定义:从n个不同对象中取出m个对象的　　　　　　　　,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号表示.  2.排列数公式的乘积式: ==　　　　 　　,其中m,n∈N+,并且m≤n.  3.全排列公式:=n×(n-1)×…×2×1=n!,n∈N+. 4.排列数公式的阶乘式:=,其中m,n∈N+,m≤n.规定: =1,0!=　　　.  所有排列的个数 n(n－1)…(n－m＋1) 1 (1)计算:; (2)证明:-=m. [分析]　第(1)题可直接运用排列数公式,也可采用阶乘式;第(2)题首先分析各项的关系,利用=进行变形推导. 例3 (1)[解]　法一:===. 法二:====. (2)[证明]　∵-=- =·=· =m·=m, ∴-=m. 应用排列数公式计算、化简与证明技巧 1.排列数公式有两种形式,一种是连乘积的形式,另一种是阶乘的形式,若要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积的形式进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘式. 思维提升 2.化简的过程中要对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活地运用如下变式: ①n!=n(n-1)!;②=n; ③n·n!=(n+1)!-n!; ④=-. 3.用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n),n<55,且n∈N+其结果是　　　　.  因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n, 且共有69-n-(55-n)+1=15个元素, 所以(55-n)(56-n)…(69-n)=. 跟踪训练 4.计算:. 解:===. 〈课堂达标·素养提升〉 1.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题(　　) A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题. B 2.4×5×6×…×(n-1)×n,n≥4且n∈N+等于(　　) A. B. C.n!-4! D. 4×5×6×…×(n-1)×n中共有n-4+1=n-3个因式,最大数为n,最小数为4, 故4×5×6×…×(n-1)×n=. D 3.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有 　　　　种.  利用排列的概念可知不同的分配方法有=120种. 120 4.-6+5=　　　　.  原式=-+==5×4×3×2×1=120. 120 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地; ②从10个人中选2人去扫地; ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队; ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数. A.①④　　　　　　　 B.①② C.④ D.①③④ A 根据排列的概念知①④是排列问题. 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲 C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙 这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故C正确. C 3.计算:=(　　) A.12 B.24 C.30 D.36 原式==7×6-6=36. D 4.不等式-n<7的解集为(　　) A.{n|-1<n<5} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{4} 由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又因为n∈N+且n-1≥2,所以n=3,4. C 5.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成　　个以b为首的不同排列,它们分别是　　　　　 　　　.  12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 画出树状图如下: 可知共12个,它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 6.若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误有 　　　　种.  因为“word”有四个不同的字母,所以可能出现的错误种数为-1=23. 23 7.写出下列问题的所有排列. (1)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长. (2)两名老师和两名学生合影留念,写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法,并回答共有多少种? 解:(1)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有=20种选法,形成的排列是:12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54. (2)由于老师不站左端,故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A,B,两名老师分别为M,N,此问题可分两类,如图所示, 由此可知,所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,BANM,共8种. 8.证明:+k=. 证明:左边=+k= ==, 右边==, 所以+k=. [B组　关键能力练] 9.(多选)下列各式中与排列数相等的是(　　) A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D. AD 因为=,故A正确;=n(n-1)(n-2)…(n-m),故B错误;==≠,故C错误;而=n×=,所以=,故D正确. 10.若S=++++…+,则S的个位数字是(　　) A.8 B.5 C.3 D.0 因为当n≥5时,的个位数是0,故S的个位数取决于前四个排列数,又+++=33,所以S的个位数字是3. C 11.有4名司机,4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有　　　　种.  司机、售票员各有种安排方法,由分步乘法计数原理知共有=576种不同的安排方法. 576 12.方程3=2+6的解为　　　　.  由排列数定义可得解得x≥3,x∈N+, 原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), ∵x≥3,∴可化为3x2-17x+10=0, 即(3x-2)(x-5)=0, 解得x=5或x=(舍去). 5 13.为亮化城市,现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯,如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色,在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有2盏,那么有多少种不同的安装方法? 解:由题意知,每种颜色的路灯至少要有2盏,这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3的形式. 不妨设红的3个,七个位置分别用1,2,3,4,5,6,7表示,那么红的可以排135,136,137,146,147,157,246,247,257,357,共10种,其中135,136,146,247,257,357会留下4个空,两个不相邻,两个相邻,连续的不能放一样的颜色,那么就必须一蓝一黄,剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里,各4种.147留4个空,两个两个相邻,共4种安装方法. 137,157,四个空中3个相邻,一个分开,各2种安装方法. 246,四个空都分开,有6种安装方法. 所以共有6×4+1×4+2×2+1×6=38种, 当黄或蓝有3个时,总数一样,故一共有3×38=114种不同的安装方法. [C组　素养培优练] 14.一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知m>1,客运车票增加了62种,问原有多少个车站?现在有多少个车站? 解:由题意可知,原有车票的种数是,现有车票的种数是, ∴-=62, 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62. ∴m(2n+m-1)=62=2×31, ∵m<2n+m-1, 且n≥2,m,n∈N+, ∴解得 故原有15个车站,现有17个车站. $$