3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第2课时　基本计数原理的应用 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.　2.能正确应用两个计数原理解决实际问题. 知识点1　组数问题 内容索引 知识点2　抽取(分配)问题 课时作业 巩固提升 知识点3　涂色(种植)问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　组数问题 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的: (1)银行存折的四位密码? (2)四位整数? (3)比2 000大的四位偶数? [分析]　 (1)用分步乘法计数原理求解;(2)0不能作首位,优先排首位,用分步乘法计数原理求解;(3)可以按末位是0,2,4分三类,也可以按千位是2,3,4,5分四类解决,也可以用间接法求解. 例1 [解]　(1)分步解决. 第一步:选取左边第一个位置上的数字,有6种选取方法; 第二步:选取左边第二个位置上的数字,有5种选取方法; 第三步:选取左边第三个位置上的数字,有4种选取方法; 第四步:选取左边第四个位置上的数字,有3种选取方法. 由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有6×5×4×3=360(个). (2)分步解决. 第一步:首位数字有5种选取方法; 第二步:百位数字有5种选取方法; 第三步:十位数字有4种选取方法; 第四步:个位数字有3种选取方法. 由分步乘法计数原理知,可组成四位整数有5×5×4×3=300(个). (3)法一:按末位是0,2,4分为三类: 第一类:末位是0的有4×4×3=48个; 第二类:末位是2的有3×4×3=36个; 第三类:末位是4的有3×4×3=36个. 则由分类加法计数原理有N=48+36+36=120(个). 法二:按千位是2,3,4,5分四类: 第一类:千位是2的有2×4×3=24(个); 第二类:千位是3的有3×4×3=36(个); 第三类:千位是4的有2×4×3=24(个); 第四类:千位是5的有3×4×3=36(个). 则由分类加法计数原理有N=24+36+24+36=120(个). 法三:用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类: 第一类:末位是0的有5×4×3=60(个); 第二类:末位是2或4的有2×4×4×3=96(个). 共有60+96=156(个). 其中比2 000小的有:千位是1的共有3×4×3=36(个), 所以符合条件的四位偶数共有156-36=120(个). 1.对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. 2.解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则. 思维提升 1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,由这四张卡片可组成多少个不同的四位数. 跟踪训练 解:法一:(列举法)根据0的位置分类: 第一类:0在个位有:2 110,1 210,1 120,共3个. 第二类:0在十位有:2 101,1 201,1 102,共3个. 第三类:0在百位有:2 011,1 021,1 012,共3个. 故共有3+3+3=9个不同的四位数. 法二:(树状图法)如图,可知这样的数共有9个. 知识点2　抽取(分配)问题 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,共有多少种不同的分配方案? (2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己的贺卡,共有多少种不同取法? [分析]　(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多,而其对立面较少,可考虑间接法求解. (2)先让一人去抽,再让被抽到贺卡所写人去抽. 例2 [解]　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43-33=37(种). (2)不妨由甲先来取,共3种取法,而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取,共3种取法,余下来的人,都只有1种选择,所以不同取法共有3×3×1×1=9(种). 求解抽取(分配)问题的方法 1.当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法. 2.当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 思维提升 2.3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法? 跟踪训练 解:法一:(以小球为研究对象)分三步来完成: 第一步:放第一个小球有5种选择; 第二步:放第二个小球有4种选择; 第三步:放第三个小球有3种选择. 根据分步乘法计数原理得:共有方法数N=5×4×3=60(种). 法二:(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类: 第一类:空盒子标号为(1,2):选法有3×2×1=6(种); 第二类:空盒子标号为(1,3):选法有3×2×1=6(种); 第三类:空盒子标号为(1,4):选法有3×2×1=6(种); 分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10类,每一类都有6种方法. 根据分类加法计数原理得,共有方法数N=6+6+…+6=60(种). 知识点3　涂色(种植)问题 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? [分析]　注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同,也可能不同,故应分两类:所涂颜色相同和不同,分别求解. 例3 1 2 3 4 [解]　第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法. ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×12×3=180(种)不同的涂法. ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法. [变条件]　本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的涂法共有多少种? ① ② ④ ③ 解:第1步涂①从5种颜色中任选一种,有5种方法; 第2步涂②从4种颜色中任选一种,有4种方法; 第3步涂③从3种颜色中任选一种,有3种方法; 第4步涂④从3种颜色中任选一种,有3种方法. 由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5×4×3×3=180种. 求解涂色(种植)问题的常用方法 1.按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析; 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析. 思维提升 3.如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有　　　　种.   A有4种涂法,B有3种涂法,C有3种涂法,D有3种涂法,共有4×3×3×3=108(种)涂法. 跟踪训练 108 〈课堂达标·素养提升〉 1.某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有(　　) A.6种　　　　　　　　 B.7种 C.8种 D.9种 可按女生人数分类:若选派一名女生,有2×3=6种;若选派2名女生,则有3种.由分类加法计数原理,共有9种不同的选派方法. D 2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为(　　) A.30 B.20 C.10 D.6 从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种取法;②取出的两数都是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6种取法. D 3.5名班委进行分工,其中A不适合当班长,B只适合当学习委员,则不同的分工方案种数为　　　　.  根据题意,B只适合当学习委员,有1种情况,A不适合当班长,也不能当学习委员,有3种安排方法,剩余的3人担任剩余的工作,有3×2×1=6种情况,由分步乘法计数原理,可得共有1×3×6=18种分工方案. 18 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.用0,1,…,9这10个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A.243　　　　　　　　 B.252 C.261 D.648 0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),所以有重复数字的三位数有900-648=252(个). B 2.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有(　　) A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d.若A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法.同理,若A监考c,d时,也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理,得监考方法共有3+3+3=9(种). B 3.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂法种数为(　　) A.280 B.180 C.96 D.60 B 按区域分四步: 第一步A区域有5种颜色可选; 第二步B区域有4种颜色可选; 第三步C区域有3种颜色可选; 第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色,故D区域也有3种颜色可选用. 由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种涂法. 4.(多选)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　 　) A.所有可能的选法有34种 B.若工厂甲必须有同学去,则不同的选法有37种 C.若同学A必须去工厂甲,则不同的选法有16种 D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的选法有24种 BCD 对于A,所有可能的方法有43种,A错误; 对于B,分三种情况:第一种,若有1名同学去工厂甲,则去工厂甲的同学情况为3种,另外两名同学的排法有3×3=9(种),此种情况共有3×9=27(种),第二种,若有两名同学去工厂甲,则去工厂甲的同学情况有3种,另外一名同学的排法有3种,此种情况共有3×3=9(种),第三种,若三名同学都去工厂甲,此种情况唯一,则共有27+9+1=37(种)不同的选法,B正确; 对于C,若A必去甲工厂,则B,C两名同学各有4种选法,共有4×4=16(种)选法,C正确; 对于D,若三名同学所选工厂各不相同,则共有4×3×2=24(种)选法,D正确. 5.从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者,要求男、女生各1人,那么不同的安排方法有　　　　种.(用数字作答)  先选一名男生,有3种方法;再选一名女生,有4种方法,2人担任2项不同的社区活动有2种方法.根据分步乘法计数原理可得选取男、女生各1名,不同的安排方案种数为3×4×2=24. 24 6.小张正在玩一款种菜的游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有　　　　种.  当第一块地种茄子时,有4×3×2=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有4×3×2=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案. 48 7.有6张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片,将其排成3行2列,要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7,求不同的排法种数. 解:将1,2,3,4,5,6中数字之和等于7的两个数字分成一组,记A={1,6},B={2,5},C={3,4}. 第一步,排第一行的两个数字,先从A,B,C三组中选取两组,有3种选法,再从这两组中各选取一个数,有2×2=4(种)选法,最后将这两个数排在第一行,有2种排法,故第一行的排法种数为3×4×2=24. 第二步,排第二行的两个数字,先从A,B,C中第一步未选到的那一组中选取一个数,有2种选法,再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数,有2种选法,最后将这两个数排在第二行,有2种排法,故第二行的排法种数为2×2×2=8. 第三步,将余下的两个数排在第三行,有2种排法. 由分步乘法计数原理,知不同的排法种数为24×8×2=384. 8.有一项活动,需在3名教师,8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? (3)若需一名教师,一名同学参加,有多少种不同选法? 解:(1)有三类选人的方法:3名教师中选一人,有3种方法;8名男同学中选一人,有8种方法;5名女同学中选一人,有5种方法.由分类加法计数原理知, 共有3+8+5=16种选法. (2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法; 第二步选男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法.由分步乘法计数原理知, 共有3×8×5=120种选法. (3)分步选人,第一步选教师,有3种方法; 第二步选同学,有13种选法,由分步乘法计数原理知,共有3×13=39种选法. [B组　关键能力练] 9.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(　　) A.6种 B.8种 C.12种 D.48种 D 每个景区都有2条线路,所以游览第一个景点有6种选法,游览第二个景点有4种选法,游览第三个景点有2种选法,故共有6×4×2=48种不同的游览线路. 10.将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写方法有(　　) A.288种 B.144种 C.576种 D.96种                                 C 依题意可分为以下3步:(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16种方法;(2)任意的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方法;(3)第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法.根据分步乘法计数原理,可得不同的填写方法有16×9×4=576(种). 11.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为方程Ax+By=0的系数A,B的值,则形成的不同直线有　　　　条.  第一步,取A的值,有5种取法;第二步,取B的值,有4种取法,其中当A=1,B=2时与A=2,B=4时是相同的方程;当A=2,B=1时与A=4,B=2时是相同的方程,故共有5×4-2=18条. 18 12.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母,则可产生不同的分数的个数是　　　　,其中真分数的个数是　　　　.  产生分数可分两步:第一步,产生分子有5种方法;第二步,产生分母有4种方法,共有5×4=20个分数.产生真分数,可分四类:第一类,当分子是2时,有4个真分数,同理,当分子分别是3,5,7时,真分数的个数分别是3,2,1,共有4+3+2+1=10个真分数. 20 10 13.某公司将新招聘的8名员工,平均分给甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门,另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门,求不同的分配方案种数. 解:分两类:①甲部门要2名电脑编程人员,则有3种方法,翻译人员的分配有2种方法;再从剩下的3个人中选1人,有3种方法,共3×2×3=18种分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员, 则有3种方法;翻译人员的分配有2种方法; 再从剩下的3个人中选2人,方法有3种, 共3×2×3=18种分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种. [C组　素养培优练] 14.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,共有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种? 解:①当使用4种颜色时,先着色第1区域,有4种方法,剩下3种颜色涂其他4个区域,由分步乘法计数原理得共有4×3×2×2×1=48(种). ②当仅使用3种颜色时,从4种颜色中选取3种,有4种方法,先着色第1区域,有3种方法,剩下2种颜色涂4个区域,只能是一种颜色涂第2,4区域,另一种颜色涂第3,5区域,有2种着色方法,由分步乘法计数原理得有4×3×2=24(种).综上,共有48+24=72种不同的着色方法. $$