3.1.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.理解两个计数原理的概念和区别.　2.掌握两个计数原理的简单应用,并能根据实际问题的特征,合理地分类或分步. 知识点1　分类加法计数原理 内容索引 知识点2　分步乘法计数原理 课时作业 巩固提升 知识点3　辨析两个计数原理 课堂达标·素养提升 3 知识点1　分类加法计数原理 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法. m1+m2+…+mn (1)从高三年级的四个班中共抽出22人,其中一、二、三、四班分别为4人,5人,6人,7人,他们自愿组成数学课外小组,选其中一人为组长,有多少种不同的选法? (2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 例1 [解]　(1)分四类: 从一班中选一人,有4种选法; 从二班中选一人,有5种选法; 从三班中选一人,有6种选法; 从四班中选一人,有7种选法. 共有不同选法N=4+5+6+7=22(种). (2)法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 法二:按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,所以按分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). [变设问]　本例(2)中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数. 解:当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个. 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个). 1.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类. (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事. (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. 思维提升 2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程 1.用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数? 解:分三类: ①第一类为一位整数,有1,2,3,共3个; ②第二类为两位整数,有12,13,21,23,31,32,共6个; ③第三类为三位整数,有123,132,213,231,312,321,共6个. ∴共组成3+6+6=15个无重复数字的整数. 跟踪训练 知识点2　分步乘法计数原理 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法. m1×m2×…×mn 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)? [分析]　根据题意,必须依次在每个拨号盘上拨号,全部拨号完毕后,才拨出一个四位数号码,所以应用分步乘法计数原理. 例2 [解]　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第一步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第三步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第四步,有10种拨号方式,所以m4=10. 根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000个四位数的号码. 1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可. (2)完成每一步都有若干种方法. (3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. 思维提升 2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? 跟踪训练 解:(1)确定平面上的点P(a,b),可分成两步完成: 第一步先确定a的值,共有6种方法; 第二步确定b的值,也有6种方法. 根据分步乘法计数原理,得到平面上点的个数为6×6=36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步确定a,因为a<0,所以有3种方法; 第二步确定b,因为b>0,所以有2种方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数为3×2=6. 知识点3　辨析两个计数原理 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? [分析] 例3 [解]　(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法. 根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法. (2)分为三步:从国画、油画、水彩画中各选一幅分别有5种,2种,7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法. (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法. 所以共有10+35+14=59(种)不同的选法. 1.当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法. 2.分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使分析更直观、清楚地展现,便于探索规律. 3.混合问题一般是先分类再分步. 思维提升 3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用,共有多少种不同的取法? (2)某人手机是双卡双待机,想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡供自己使用,问一共有多少种不同的取法? 跟踪训练 解:(1)第一类:从第一个袋子中取一张中国移动卡,共有10种取法; 第二类:从第二个袋子中取一张中国联通卡,共有12种取法. 根据分类加法计数原理,共有10+12=22种取法. (2)第一步,从第一个袋子中取一张中国移动卡,共有10种取法; 第二步,从第二个袋子中取一张中国联通卡,共有12种取法.根据分步乘法计数原理,共有10×12=120种取法. 〈课堂达标·素养提升〉 <课堂达标·素养提升> 1.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,若要求从两类课程中选一门,则不同的选法共有(　　) A.3种　　　　　　　　 B.4种 C.7种 D.12种 C 选择课程的方法有2类:从A类课程中选一门有3种不同方法,从B类课程中选1门有4种不同方法,∴共有3+4=7种不同选法. 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为(　　) A.7 B.12 C.64 D.81 先从4件上衣中任取一件共4种选法,再从3条长裤中任选一条共3种选法,由分步乘法计数原理,上衣与长裤配成一套共4×3=12(种)不同配法. B 3.一个礼堂有4个门,若从任一个门进,从任一门出,共有不同走法_____　　　　种.  由分步乘法计数原理得4×4=16. 16 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.图书馆的书架有3层,第1层有3本不同的数学书,第2层有5本不同的语文书,第3层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,不同的取书方法共有(　　) A.120种　　　　　　　 B.64种 C.39种 D.16种 D 由于书架上共有3+5+8=16(本)书,则从中任取1本,共有16种不同的取法. 2.已知a∈{3,4,5},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同圆的个数是(　　) A.6 B.9 C.16 D.24 D 确定一个圆可以分三个步骤:第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法,由分步乘法计数原理得,不同圆的个数为3×2×4=24. 3.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有(　　) A.1种 B.3种 C.6种 D.9种 C 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色,故有3×2×1=6种涂色方案. 4.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有(　　) A.53种 B.35种 C.8种 D.15种 每封信均有3种不同的投法,所以依次把5封信投完,共有3×3×3×3×3=35种投法. B 5.有三个袋子,分别装有不同编号的红色小球6个,白色小球5个,黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球,有　　　　种不同的取法.  15 有3类不同方案: 第1类,从第1个袋子中任取1个红色小球,有6种不同的取法; 第2类,从第2个袋子中任取1个白色小球,有5种不同的取法; 第3类,从第3个袋子中任取1个黄色小球,有4种不同的取法. 其中,从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事,根据分类加法计数原理,不同的取法共有6+5+4=15种. 6.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有　　　种.(用数字作答)  分为两类:两名老队员、一名新队员时,有3种选法;两名新队员、一名老队员时,有2×3=6(种)选法,即共有9种不同选法. 9 7.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人. (1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法; (2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法? 解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法; 从A型血的人中选1人有7种不同的选法; 从B型血的人中选1人有9种不同的选法; 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法. (1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有28×7×9×3=5 292种不同的选法. 8.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数称为“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数. 解:分三类: 第一类,当千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只有3 210,共1个; 第二类,当千位数字为4时,“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210,共4个; 第三类,当千位数字为5时,“渐降数”有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210,共10个. 由分类加法计数原理,得共有1+4+10=15(个)“渐降数”. [B组　关键能力练] 9.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　) A.27种 B.36种 C.54种 D.81种 C 小张的报名方法有2种,其他3位同学各有3种,所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3=54种不同的报名方法. 10.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a,b)的个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.10 B 由关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,得a=0,b∈R或a≠0,ab≤1. 又a,b∈{-1,0,1,2},故 当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能; 当a=2时,b=-1,0,有2种可能. ∴由分类加法计数原理知,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13. 11.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛,4人都来争夺这三项冠军,则冠军分配方法的种数是　　　　.  因为跳高冠军的分配有4种不同的方法, 跳远冠军的分配有4种不同的方法,游泳冠军的分配有4种不同的方法, 所以根据分步乘法计数原理,冠军的分配方法有4×4×4=64(种). 64 12.若在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有　　　　种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有　　　　种不同的方法.  5 6 对于题图1,按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可,故有2+3=5(种)不同的方法. 对于题图2,按要求接通电路必须分两步进行: 第一步,合上A中的一个开关; 第二步,合上B中的一个开关, 故有2×3=6(种)不同的方法. [C组　素养培优练] 13.几只猴子在一棵枯树上玩耍,它们均不慎失足下落.已知 (1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C. (2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F. (3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C. (4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H. (5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E. 问这9根树枝从高到低不同的次序有多少种? 解:不妨设A,B,C,D,E,F,G,H,I代表树枝的高度,9根树枝从上至下共九个位置,根据甲依次撞击到树枝A,B,C;乙依次撞击到树枝D,E,F;丙依次撞击到树枝G,A,C;丁依次撞击到树枝B,D,H;戊依次撞击到树枝I,C,E可得G>A>B,且在前四个位置,C>E>F,D>E>F,且E,F一定排在后四个位置. ①若I排在前四个位置中的一个位置,前四个位置有4种排法,若第五个位置排C,则第六个位置一定排D,后三个位置共有3种排法,若第五个位置排D,则后四个位置共有4种排法,所以I排在前四个位置中的一个位置时,共有4×(3+4)=28种排法. ②若I不排在前四个位置中的一个位置,则G,A,B,D按顺序排在前四个位置,由于I>C>E>F,所以后五个位置的排法就是H的不同排法,共5种排法,即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法. 由分类加法计数原理可得,这9根树枝从高到低不同的次序有28+5=33种. $$