第3章 阶段练2 (范围3.3)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练2　(范围3.3) 第三章　排列、组合与二项式定理 1.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　) A.23　　　　　　　 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3 由二项式定理展开式的通项公式得:T2+1=(2a)3b2=23a3b2. B 2.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开式中x的系数为(　　) A.-80 B.-10 C.10 D.80 A 因为展开式中所有项的二项式系数之和为32,即2n=32,所以n=5. 又的展开式的通项Tr+1=x5-r·=(-2)r, 令5-=1,则r=3,所以的展开式中x的系数为(-2)3=-80. 3.(2x-3)(x-1)6展开式中 x3的系数为(　　) A.-90 B.-30 C.30 D.90 D (2x-3)(x-1)6=2x(x-1)6-3(x-1)6, (x-1)6的通项公式为Tr+1=x6-r(-1)r, 令6-r=2,则r=4,则(-1)4x2=15x2, 令6-r=3,则r=3,则(-1)3x3=-20x3, 所以(2x-3)(x-1)6展开式中 x3的系数为2×15-3×(-20)=90. 4.已知(1-px)n=1-3x+4x2+…+(-px)n,其中n∈N+,那么p的值为(　　) A.1 B. C. D. C ∵(1-px)n=1-3x+4x2+…+(-px)n, ∴(1-px)n的第r+1通项公式Tr+1=(-px)r, 令r=1可得T2=(-px)=-pnx=-3x, 令r=2可得T3=(-px)2=p2n(n-1)x2=4x2, 可得解得p=,n=9. 5.杨辉三角(如图所示)是数学史上的一个伟大成就,杨辉三角中从第2行到第2 023行,每行的第3个数字之和为(　　) A. B. C.-1 D.-1 B +=+= ===, 由题意可得,第2行到第2 023行,每行的第3个数字之和为 +++…+=+++…+=++…+ =…=+=. 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,此定理讲的是关于同余的问题.用m|x表示整数x被m整除,设a,b∈Z,m∈N+且m>1,若m|(a-b),则称a与b对模m同余,记为a≡b(mod m).已知a=×516-×515+…+×52-×5,则(　　) A.a≡2 030(mod 7) B.a≡2 031(mod 7) C.a≡2 032(mod 7) D.a≡2 033(mod 7) D 由二项式定理,得a=×516×(-1)0+×515×(-1)1+…+×5×(-1)15+×50×(-1)16-1 =(5-1)16-1=416-1=(14+2)8-1 =×148×20+×147×21+…+×141×27+×140×28-1, 因为×148×20+×147×21+…+×141×27能够被7整除, ×140×28-1=255被7除余3,则a≡3(mod 7), 又2 030除以7余0,2 031除以7余1,2 032除以7余2,2 033除以7余3, 所以a≡2 033(mod 7). 7.(多选)下列说法正确的是(　　) A.已知=,则x可能取值为6 B.已知=,则x可能取值为7 C.在的二项式展开式中,常数项是84 D.在的二项式展开式中,常数项是-504 BC 对于选项A和选项B, 因为=,故x+2=2x-5,或x+2+2x-5=18,得x=7, 故A错误,B正确; 对于选项C和选项D, 根据二项展开式的通项公式Tk+1=(x2)9-k·(-x-1)k=(-1)kx18-3k, 令18-3k=0,解得k=6,所以T7=(-1)6=84,故C正确,D错误. 8.(多选)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是(　　) 第0行　　　　　　1 第1行　　　　　1　 1 第2行　　　　1　 2　 1 第3行　　　1　 3　 3　1 第4行　　1　 4　 6　 4　1 第5行　 1　5　10　10　5　1 第6行 1　6　15　20　15　6　1 ……　　　　　　　…… A.+++…+= B.111=11,112=121,…,115=15 101 051 C.从左往右逐行数,第2 025项在第63行第9个 D.第5行到第10行的所有数字之和为2 024 答案:AC 对于A选项,由组合数的计算性质+=(m,n∈N+,m<n), 所以+++…+=+++…+ =++…+=…=+=,A对; 对于B选项,115=(1+10)5=15+·10+·102+·103+·104+105 =1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,B错; 对于C选项,第n(n∈N+)行共有n+1项, 从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=, 因为=2 016,且2 025=2 016+9, 所以从左往右逐行数,第2 025项在第63行第9个,C对; 对于D选项,第n(n∈N+)行所有项之和为++…+=2n, 所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210==2 016,D错. 9.若(1+x)10=ai(1-x)i,则a9=　　　　　.  (1+x)10=展开式的通项公式为Tk+1=(x-1)10-k2k, 令k=1,得T2=×2×(x-1)9=20(x-1)9=-20(1-x)9, 又ai(1-x)i=a1(1-x)1+a2(1-x)2+…+a9(1-x)9+a10(1-x)10, 则a9即为(1-x)9的系数,即为-20. -20 10.设S(n)=+++…+,n∈N+,化简S(n)=　　　,今天是星期六,那么当n=30时,经过(S(n)+73)天后的那一天是星期　　　.  由++++…+=2n,又=1,故+++…+=2n-1; S(30)+73=230+72=810+72=(7+1)10+72 =·710+·79+…+·7++72=·710+·79+…+·7+73, 73÷7=10……3,故是星期二. 2n-1 二 11.把+++…+称为(a+b)n的二项展开式所有项的二项式系数之和,其中n是正整数. (1)若的所有项的二项式系数的和为64,求展开式的常数项; (2)若展开式中第2项系数为-12,求(2x-1)n的展开式中x3的系数. 解:(1)若的所有项的二项式系数的和为64, 则2n=64,n=6,展开式的通项公式为Tr+1=·x6-r·(-2x-1)r= (-2)r··x6-2r, 令6-2r=0,r=3,所以展开式的常数项为(-2)3·=-160. (2)展开式的通项公式为Tr+1=·xn-r·(-2x-1)r=(-2)r··xn-2r, 若展开式中第2项系数为-12, 即(-2)1·=-2n=-12,n=6, 则(2x-1)n=(-1+2x)6, 含x3的项为x××(-1)4×(2x)2+××(-1)2×(2x)4 =60x3-240x3=-180x3, 所以x3的系数为-180. 12.阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所示),它揭示了(a+b)n展开式的各项系数的规律. 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根据上述规律,回答下列问题: (1)直接写出(a+b)5=　　　　.  (2)(a+1)8的展开式中a项的系数是　　　　.  (3)利用上述规律求114的值,写出过程. 解:(1)由杨辉三角图可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. (2)由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式二项式系数可知展开式中a项的系数为=8. (3)114=(10+1)4=104·10+4×103·11+6×102·12+4×101·13+100·14 =10 000+4 000+600+40+1=14 641. $$