10.1.1 复数的概念-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

10.1　复数及其几何意义 10.1.1　复数的概念 第十章　复数 [学习目标]　1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.　 2.理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念.　3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 知识点1　复数的有关概念 内容索引 知识点2　复数的分类 课时作业 巩固提升 知识点3　复数相等的充要条件 课堂达标·素养提升 3 知识点1　复数的有关概念 1.复数 (1)定义:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数.其中i称为　　　　　　,满足i2=　　　　.  (2)表示:一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的　　　　,b称为z的　　　　,分别记作Re(z)=　　　　,Im(z)=　　　　.  虚数单位　 -1 实部 虚部　 a　 b 2.复数集 (1)定义:　　　　　　组成的集合称为复数集.  (2)表示:通常用大写字母C表示.因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}. 所有复数 [例1]　(1)给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A.0　　　B.1 C.2 D.3 (2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是a=　　　　,b=　　　　.  (3)下列命题正确的是　　　　(填序号).  ①若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2; ②若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ③实数集的补集是虚数集. B ± 5 ③ [解析]　(1)对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,例如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题; 对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题. (2)由题意,得a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5. (3)①由于x,y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此不符合两个复数相等的充要条件,故①是假命题. ②当a=0时,ai=0为实数,故②是假命题. ③由复数集的分类知,③是真命题. 判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类型题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答. 2.化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部. 思维提升 1.对以下命题: ①1+i2=0; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练 B 解析:对于①,因为i2=-1,所以1+i2=0.故①正确. 对于②,两个虚数不能比较大小,故②错. 对于③,当x=1,y=i时x2+y2=0成立,故③错,④正确. 知识点2　复数的分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R)为 实数　 虚数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [例2]　复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　) A.|a|=|b| B.a<0且a=-b C.a>0且a≠b D.a>0且a=±b D [解析]　要使复数z为纯虚数,则 ∴a>0,a=±b. [例3]　已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时, (1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数. [分析]　依据复数的分类列出方程(不等式)组求解. [解]　(1)要使z为实数,需满足m2+2m-3=0,且有意义, 即m-1≠0,解得m=-3. (2)要使z为虚数,需满足m2+2m-3≠0,且有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. (3)要使z为纯虚数,需满足=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2. 含参数的复数问题解题技巧 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数.首先,参数的取值要保证复数有意义,然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解. 2.对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它,即将复数问题转化为两个实数(实部、虚部)问题是解决复数问题的基本方法. 3.形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,形如bi的数才是纯虚数. 思维提升 2.已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时, (1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数. 跟踪训练 解:(1)当即m=1时,复数z是实数. (2)当m2-1≠0且m>0,即m>0且m≠1时,复数z是虚数. (3)当lg m=0且m2-1≠0时,此时无解,即无论实数m取何值均不能表示纯虚数. 知识点3　复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di⇔　　　　　　　.特别地,a+bi=0⇔　　　　　　.  a=c且b=d a=b=0 [例4]　(1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值; (2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值. [分析]　根据复数相等的充要条件求解. [解]　(1)由复数相等的充要条件, 得 解得 (2)设方程的实根为x=m, 则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i, 所以 解得或 所以实数a的值为a=11或-. 复数相等问题的解题技巧 1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解. 2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. 思维提升 3.已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值. 跟踪训练 解:由复数相等的条件得方程组 由②得x=y+2, 代入①得y2+2y-1=0. 解得y1=-1+,y2=-1-. 所以x1=y1+2=1+,x2=y2+2=1-. 即或 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列命题中是假命题的是(　　) A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 C 解析:复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,C是假命题. 2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数m的值为(　　) A.4　　　　　　　　　 B.-1 C.-1或4 D.-1或6 B 解析:由M∩N={3}得3∈M, 故(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3, 因此得 解得 所以m的值为-1. 3.下列命题: ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1; ③两个复数不能比较大小. 其中错误命题的序号是　 　　　.  ①②③ 解析:当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则 即x=1,故②错;两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,③中忽视了这一特殊情况,故③错. 4.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m=　　　　.  -3 解析:∵z<0,∴ ∴m=-3. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.-(2-i)的虚部是(　　) A.-2　　　　　　　　　　 B.- C. D.2 解析:∵-(2-i)=-2+i, ∴其虚部是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:a+bi为纯虚数,则a=0,b≠0,此时ab=0;反之ab=0不能得出a=0,b≠0.所以“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=(　　) A.-2+i B.2+i C.1-2i D.1+2i 解析:由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 4.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为(　　) A.-7≤λ≤ B.≤λ≤7 C.-1≤λ≤1 D.-≤λ≤7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由z1=z2,得 消去m,得λ=4sin2θ-3sin θ=4-. 由于-1≤sin θ≤1,故-≤λ≤7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.设i为虚数单位,若复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i是纯虚数,则实数m=　　　　.  解析:依题意有解得m=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -3 14 6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=m2-2m-3+(m2+3m+2)i(i为虚数单位),b=12,c=13,∠ACB=90°,则实数m=　　　　.  解析:由题意知a==5,∴ 解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -2 14 7.已知m∈R,复数z=+(m2-3m-18)i,当实数m分别为何值时,(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1<z2,求实数m的值. 解:由于z1<z2,m∈R,∴z1∈R且z2∈R, 当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2. 当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4, ∴当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1<z2. ∴z1<z2时, 实数m的取值为m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z等于(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即n2+mn+2+(2n+2)i=0, 所以解得 所以z=3-i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.若复数z=+i是纯虚数(θ∈R,i为虚数单位),则tan的值为(　　) A.-7 B.- C.7 D.-7或- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:∵复数z是纯虚数, ∴ ∴sin θ=且cos θ≠,又cos2θ+sin2θ=1, ∴cos θ=-, ∴tan θ==-, ∴tan===-7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.欧拉公式=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是瑞士 著名数学家欧拉提出的,根据欧拉公式可知复数的虚部为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - 解析:因为=cos+isin=-i,所以复数的虚部为-. 14 12.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根,则实数m的值 是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设x=a为方程的一个实根, 则有a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0. 因为a,m∈R,所以由复数相等的充要条件, 有解得 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值. 解:∵M∪P=P,∴M⊆P, 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1, 得解得m=1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 得解得m=2. 综上可知,m=1或m=2. 13 14 [C组　素养培优练] 14.已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R). (1)若z1为纯虚数,求实数m的值; (2)若z1=z2,求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)∵z1为纯虚数, 则∴m=-2. (2)由z1=z2, 得 ∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵-1≤sin θ≤1, ∴当sin θ=1时,λmin=2, 当sin θ=-1时,λmax=6, ∴实数λ的取值范围是[2,6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由题意得解得m=6. (2)由题意得解得m≠6且m≠-3. (3)由题意得 解得m=-或m=1. $$