9.1.1 第2课时 正弦定理(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 第2课时　正弦定理(二) 第九章　解三角形   [学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.　2.能根据条件判断三角形解的个数和形状.　3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题. 知识点1　三角形解的个数的判断 内容索引 知识点2　利用正弦定理判断三角形的形状 课时作业 巩固提升 知识点3　利用正弦定理解三角形 课堂达标·素养提升 3 知识点1　三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边所对角求其他的边和角,此时可能出现两解的情况,三角形不能被唯一确定. 现以已知a,b和A解三角形为例,从两个角度予以说明. (1)代数角度: 由正弦定理得sin B=, ①若>1,则满足条件的三角形个数为0,即无解. ②若=1,则满足条件的三角形个数为1,即一解. ③若<1,则满足条件的三角形个数为1或2. (2)几何角度:   图形 关系式 解的个数 A为锐角   ①a=bsin A; ②a≥b 一解   bsin A<a<b 两解   a<bsin A 无解   图形 关系式 解的个数 A为钝角 或直角   a>b 一解   a≤b 无解 [例1]　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,若有解,则解三角形. (1)a=10,b=20,A=80°; (2)a=2,b=6,A=30°. [解]　(1)a=10,b=20,a<b,A=80°<90°, ∵bsin A=20×sin 80°>20×sin 60°=10>10, ∴a<bsin A,∴本题无解. (2)a=2,b=6,a<b,A=30°<90°, ∵bsin A=6×sin 30°=3,∴a>bsin A, 即bsin A<a<b,∴本题有两解. 由正弦定理得sin B===, 又∵0°<B<150°, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°,c===4; 当B=120°时,C=30°,c=a=2. ∴当B=60°时,C=90°,c=4; 当B=120°时,C=30°,c=2. 判断三角形解的情况 先判断角,若有一个为钝角,则有一解或无解;若无钝角,则有一解、两解或无解,然后再由大边对大角来具体判断解的情况. 思维提升 1.根据下列条件,判断三角形是否有解,若有解,有几个解. (1)a=,b=,A=120°; (2)a=60,b=48,B=60°; (3)a=7,b=5,A=80°; (4)a=14,b=16,A=45°. 跟踪训练 解:法一:(1)∵A>90°且a>b, ∴有一解,即这样的三角形是唯一的. (2)∵asin B=60×=30,b=48, ∴b<asin B,无解, 即不存在这样的三角形. (3)∵a=7,b=5,A=80°,∴a>b,有一解,即这样的三角形是唯一的. (4)∵bsin A=16×=8,a=14, ∴bsin A<a<b,有两解,即符合条件的三角形有两个. 法二:(1)由=, 得sin B===, ∵A>B,∴B=45°. ∴有一解,即这样的三角形是唯一的. (2)由=,得sin A===>1,与0<sin A≤1矛盾, ∴无解,即不存在这样的三角形. (3)由=, 得sin B==<1. 又∵b<a,∴B<80°, ∴有一解,即这样的三角形是唯一的. (4)由=,得sin B=<1. 又b>a,∴B>A, ∴B有一锐角值和一钝角值, 即有两解,即符合条件的三角形有两个. 知识点2　利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理判断三角形的形状求解证明有关问题,常用到如下变形式: (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. (3)====2R. (4)sin A=,sin B=,sin C=. [例2]　在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. [分析]　①A=π-(B+C). ②边角转化,sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). [解]　法一:在△ABC中,根据正弦定理:===2R(R为△ABC外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴=+, 即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=90°, 由sin A=2sin Bcos C,得sin 90°=2sin Bcos(90°-B),∴sin2B=. ∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二:在△ABC中,根据正弦定理,得 sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形且A=90°. ∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=2sin Bcos C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∴B-C=0,即B=C. ∴△ABC是等腰直角三角形. 利用正弦定理判断三角形形状 判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 思维提升 2.在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2+, 则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 跟踪训练 B 解析:由正弦定理,得2sin Acos B=sin C, 在△ABC中,A+B+C=π, ∴sin C=sin(A+B), ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 整理得sin Acos B=cos Asin B, ∴tan A=tan B,又A,B∈(0,π),∴A=B. ∵sin Asin B(2-cos C)=sin2+, ∴sin Asin B=sin2+, ∴sin Asin B=·, ∴sin Asin B=, ∴sin A=sin B=, ∴A=B=, 又A+B+C=π,∴C=, ∴△ABC为等腰直角三角形. 知识点3　利用正弦定理解三角形 角度1　利用正弦定理实现边角互化求值 [例3]　(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c, 且acos B=(c-b)cos A,则角A的大小为(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. (2)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若asin Asin B+bcos2A=a,则=(　　) A.2 B.2 C. D. B D [解析]　(1)由正弦定理得sin Acos B=(sin C-sin B)cos A, 即sin(A+B)=sin Ccos A, 即sin C=sin Ccos A.又sin C≠0, 所以cos A=,故A=. (2)由正弦定理及asin Asin B+bcos2A=a, 得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A, 即sin B(sin2A+cos2A)=sin A, 所以sin B=sin A,所以=. 1.已知三角形中的边角关系式,在求值时,可结合三角形内角和定理及三角恒等变换公式,把角化边或边化角.在等式变形中一般不要约去公因式,要提取公因式,以免漏解. 2.在△ABC中,常用的结论为:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)= -cos C,sin =cos 等. 思维提升 3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　) A. B. C. D. 跟踪训练 B 解析:由3acos C=4csin A,得=. 由正弦定理得=, ∴tan C=,∴sin C=. 又S=absin C=10,b=4,∴a=. 角度2　利用正弦定理证明有关问题 [例4]　在△ABC中,若acos2+ccos2=,求证:a+c=2b. [分析]　①已知等式中有边a,b,c,则要想到边化角的变形公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆半径); ②cos2α=. [证明]　因为acos2+ccos2=, 所以由正弦定理得sin Acos2+sin Ccos2=, 所以sin A·+sin C·=, 即sin A+sin Acos C+sin C+sin Ccos A=3sin B, 所以sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B, 所以sin A+sin C=2sin B, 所以由正弦定理可得a+c=2b. 对于三角形中含有边角关系的证明问题,往往利用正弦定理实现边与角的转化,有时角化边,有时边化角,再利用三角恒等变换,使问题得以解决. 思维提升 4.在△ABC中,求证:=(C≠90°). 证明:因为===2R(R为△ABC的外接圆半径), 所以左边== ===右边. 所以等式成立. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.在△ABC中,A=60°,a=,b=4,则满足条件的△ABC(　　) A.有一个解　　　　　　　　 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 解析:由正弦定理得=. ∴sin B=>1, ∴角B不存在,即三角形无解. C 2.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且满足==,则△ABC的形状是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:由==和正弦定理==,可得==, 即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C. 故△ABC为等边三角形. C 3.在△ABC中,已知sin B=2sin C,BC=6,角A的内角平分线交BC于点D,则BD=　　　　.  解析:因为AD为角平分线,所以由sin∠BAD=sin∠CAD,得=.又=,sin B=2sin C,所以==,从而BD=DC,即BD=BC=×6=2. 2 4.在△ABC中,a=5,b=5,A=30°,则B=　　　　　　.  解析:由正弦定理=,得sin B==. ∵b>a,∴B>A,且0°<B<180°,∴B=60°或B=120°. 60°或120° 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形　　　　　　　 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由题意有=b=,则sin B=1,即B为直角,故△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　) A.b=3,c=4,B=30° B.a=5,b=8,A=30° C.c=6,b=3,B=60° D.c=9,b=12,C=60° 解析:对于A,∵csin 30°=2,∴2<b=3<4,即csin B<b<c, ∴有两解,同理可得B有两解;C有一解;D无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 3.已知在△ABC中,A=45°,a=1.若△ABC仅有一解,则b的取值范围为(　　) A.{} B.(,+∞) C.{}∪(0,1] D.{}∪(0,1) 解析:已知△ABC中,A=45°,a=1,则过点C作AB边的垂线(图略),长度可表示为bsin 45°=b.因为△ABC仅有一解,所以a=b或a≥b>0,所以b=a=或0<b≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 4.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　　　.  解析:由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知a2-b2=c2,故b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 直角三角形 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,b=4,a=5,则满足条件的三角形有　　　　个.  解析:因为a>b,所以A>B,由正弦定理知sin B==,则角B只能是锐角,只能有1个解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 6.在△ABC中,acos=bcos,判断△ABC的形状. 解:法一:∵acos=bcos, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理,得a2=b2,∴a=b, ∴△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:∵acos=bcos, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理,得sin2A=sin2B,即sin A=sin B, ∴A=B(A+B=π不合题意,舍去). 故△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中,求证:a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 证明:设==k,且k≠0, 则a=ksin A,b=ksin B, ∴左边=k2sin2A·sin 2B+k2sin2B·sin 2A =2k2sin A·sin B·(sin A·cos B+sin B·cos A) =2k2sin A·sin B·sin(A+B). 又∵在△ABC中,A+B=π-C, ∴左边=2(ksin A)(ksin B)·sin C=2ab·sin C=右边, 即a2sin 2B+b2sin 2A=2absin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.(多选)已知两边和其中一边的对角,则△ABC无解的是(　　) A.a=7,b=8,A=105° B.b=40,c=20,C=60° C.b=10,c=5,C=60° D.a=2,b=6,A=30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 解析:A中,由a<b,A=105°,可得B>105°,与三角形的内角和为180°矛盾,故△ABC无解;B中,由正弦定理=,得sin B===>1,所以B不存在,故△ABC无解;C中,由正弦定理=,得sin B= ==,又b<c,所以B=45°,所以A=180°-(B+C)=75°,故△ABC有唯一解;D中,由正弦定理=,得sin B===,所以B=60°或B=120°,故△ABC有两解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A, sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为(　　) A., B., C., D., 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理及已知条件,得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,所以sin(A+B)=sin2C,所以 sin C=sin2C.因为0<C<π,所以sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1++=0, 则A=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由正弦定理可得1++=0, 故1++=0,+=0,即+=0. 因为B,C∈(0,π),所以≠0,所以+2=0,即cos A=-. 因为A∈(0,π),所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知B为锐角,且2bsin A=a. (1)求B; (2)求sin A+sin C的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵2bsin A=a, 由正弦定理边化角,得2sin Bsin A=sin A, ∵0<A<π,∴sin A≠0,∴sin B=. 又∵B为锐角,∴B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)∵0<A<,B=, ∴sin A+sin C=sin A+sin(π-A-B)=sin A+sin(A+B) =sin A+sin=sin A+sin Acos +cos Asin =sin A+cos A=sin≤, 当且仅当A=C=时等号成立, ∴sin A+sin C的最大值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.在①b=a;②a=ccos B;③asin C=1这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求该三角形的面积;若问题中的三角形不存在,请说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B-sin(A-C)=sin C,c=3,　　　　?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为A+B+C=π, 所以sin B=sin(A+C), 所以sin B-sin(A-C)=(sin Acos C+cos Asin C)-(sin Acos C-cos Asin C) =2cos Asin C=sin C. 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos A=. 又A∈(0,π),所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若选①,由正弦定理得,sin B=sin A=,所以B=或, 若B=,则C=π-A-B=,所以b==, S△ABC=bcsin A=××3×=. 若B=,则C=π-A-B=,所以a=c=3, S△ABC=acsin B=×3×3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若选②,由正弦定理, 得sin A=sin Ccos B, 因为A+B+C=π, 所以sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B, 所以cos Csin B=0,又B∈(0,π), 所以sin B≠0,所以cos C=0,C=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以b=ccos A=, S△ABC=bcsin A=××3×=. 若选③,由正弦定理, 得csin A=asin C=1,与c=3,sin A=矛盾, 所以这样的三角形不存在. $$