9.1.1 第1课时 正弦定理(一)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理(一) 第九章　解三角形 [学习目标]　1.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式.　2.掌握正弦定理的内容及其证明方法.　3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 知识点1　正弦定理 内容索引 知识点2　三角形的面积公式 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　正弦定理 1.在一个三角形中,各边的长和它所对角的　　　　的比相等,即===2R.  2.解三角形:把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 正弦 角度1　已知两角及任意一边解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知a=18,B=60°,C=75°,求b的值; (2)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,求a,b. [解]　(1)根据三角形内角和定理,得 A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 根据正弦定理,得b===9. (2)法一:∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°. 由=,得a===10. ∵sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)= sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=, ∴b==20×=5+5. 法二:设△ABC外接圆的直径为2R, 则2R===20. 易知B=180°-(A+C)=105°, ∴a=2Rsin A=20×sin 45°=10, b=2Rsin B=20×sin 105°=20×=5+5. 已知三角形的两角及任意一边解三角形的方法 1.若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角. 2.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边. 思维提升 1.在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c. 解:由三角形内角和定理知A+B+C=180°, 所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°. 由正弦定理=, 得c=a·=5×=5× =5×=(+). 跟踪训练 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中,已知a=1,b=,B=120°,求C的值. [解]　根据正弦定理,sin A===. ∵B=120°,∴A=30°,则C=30°,c=a=1. 已知三角形两边及其中一边的对角解三角形的方法 1.根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,进而求出这个角. 2.根据三角形内角和定理求出第三个角. 3.根据正弦定理求出第三条边. 思维提升 2.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求b的值. 解:∵=, ∴sin A==. ∵c>a,∴C>A,∴A=, ∴B=,b===+1. 跟踪训练 知识点2　三角形的面积公式 一般地,若记△ABC的面积为S,则S=absin C=acsin B=bcsin A. [例3]　在△ABC中,已知A=30°,AB=2,AC=2.求△ABC的面积. [解]　△ABC的面积为AB·AC·sin A=×2×2×=. 三角形面积的求法 1.已知三角形的两边及其夹角可运用面积公式直接求三角形的面积. 2.根据题目条件中出现的边或角,选择合适的面积公式进行求解能使计算更加简便. 思维提升 3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若tan A=3,cos C=. (1)求角B的大小; (2)若c=4,求△ABC的面积. 跟踪训练 解:(1)∵cos C=,∴C∈, ∴sin C=,tan C=2. 又∵tan B=-tan(A+C)=-=-=1,且0<B<π,∴B=. (2)由正弦定理=,得b===, 由sin A=sin(B+C)=sin得sin A=, ∴△ABC的面积S△ABC=bcsin A=6. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为(　　) A.A>B　　　　　　　　 B.A<B C.A≥B D.不能确定 解析:由正弦定理得sin A>sin B⇔a>b⇔A>B. A 2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=30°,b=2,则的值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:由正弦定理可得===4. C 3.在△ABC中,已知a=,sin C=2sin A,则c=　　　　.  解析:由正弦定理,得c==2a=2. 2 4.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则△ABC的面积S=　　　　.  解析:由正弦定理得sin B===, 又b<c,∴B=,则A=, ∴S△ABC=bcsin A=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在△ABC中,a=7,c=5,则sin A∶sin C的值是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析:由正弦定理得sin A∶sin C=a∶c=7∶5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列等式中一定成立的是 (　　) A.asin A=bsin B B.bsin A=csin B C.asin C=csin B D.asin C=csin A 解析:由正弦定理==,得asin C=csin A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 3.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(　　) A.1 B.2 C. D. 解析:∵A=105°,B=45°,∴C=30°. 由正弦定理,得c===2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 4.已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,AC=3,则角C的大小为(　　) A.75° B.60° C.45° D.30° 解析:∵S△ABC=BC·AC·sin C=×4×3×sin C=3,∴sin C=. ∵三角形为锐角三角形,∴C=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 5.在△ABC中,已知a=,b=1,A=45°,则C的大小为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 105° 解析:sin B===. ∵a>b,∴B=30°, ∴C=180°-30°-45°=105°. 14 6.若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于　　　　.  解析:由于S△ABC=,BC=2,C=60°, ∴=×2·AC·, ∴AC=2,∴△ABC为正三角形,∴AB=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在△ABC中,若a=2,C=,cos =,求△ABC的面积S. 解:∵cos =,∴cos B=2cos2-1=, ∴sin B=. ∵C=, ∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=. 由正弦定理=,得c==×=. ∴S=acsin B=×2××=. 14 8.如图所示,AB⊥BC,CD=33,∠ACB=30°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求AB的长. 解:在△BCD中,∠DBC=180°-75°-45°=60°, 由正弦定理知:=, 解得BC=11. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=11×tan 30°=11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 解析:2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)=sin Acos C+sin B=sin B+2sin Bcos C,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于△ABC为锐角三角形,所以cos C≠0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 10.在△ABC中,A=π,AB=5,BC=7,则的值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由正弦定理得=, 所以sin C===. 又因为A=π,所以C∈, 所以cos C===. 因为A+B+C=π,所以sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C =×+×=, 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.在△ABC中,a=2,c=,sin A+cos A=0,则B的大小为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:因为A是△ABC的内角,所以A∈(0,π). 又因为sin A+cos A=0, 所以tan A=-1,所以A=. 由正弦定理可知=,则=, 所以sin C=. 因为A=,所以C∈,因此C=. 由三角形内角和定理可知B=π-A-C=. 14 12.在△ABC中,B=120°,AB=,∠BAC的角平分线AD=,则AC=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:如图,由正弦定理易得=,即=,故sin∠ADB=, 即∠ADB=45°. 在△ABD中,已知B=120°,∠ADB=45°, 则∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线, 故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,B=120°, ∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中, 由正弦定理得=,即=, 故AC=. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角B的值; (2)若△ABC为锐角三角形,且b=1,求△ABC的面积的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)在△ABC中,由正弦定理得(2sin A-sin C)·cos B=sin Bcos C, 即2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A, 而A∈(0,π),则sin A>0,所以cos B=, 又B∈(0,π),所以B=. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)在△ABC中,由正弦定理得===,则a=sin A,c=sin C. 由(1)知B=,则C=-A,而△ABC是锐角三角形,于是有解得<A<. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故S△ABC=acsin B=sin A·sin=sin A·=sin+. 因为2A-∈,则<sin≤1. 因此得<S△ABC≤,所以△ABC的面积的取值范围为. 13 14 [C组　素养培优练] 14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由b2-a2=c2,A=及正弦定理得 sin2B-=sin2C,∴-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=,得2B=π-2C, ∴-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C=sin2C. 又∵sin C≠0,∴tan C=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由tan C=2,C∈(0,π),得sin C=,cos C=. ∵sin B=sin(A+C)=sin,∴sin B=. 由正弦定理,得c=. 又A=,bcsin A=3,∴bc=6,∴b=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$