第9章 章末检测(一) 解三角形-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

章末检测(一)　解三角形 (时间:120分钟,满分:150分) 第九章　解三角形 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC中,A=45°,B=60°,a=10,则b=(　　) A.5　　　　　　　　　　 B.10 C. D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由正弦定理得,=, ∴b=·10=×10=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.在△ABC中,∠ACB=,点D在线段BC上,AB=2BD=12,AD=10,则AC=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:如图所示,在△ABD中,由余弦定理得cos B===,所以sin B==, 在△ABC中,由正弦定理,得=, 解得AC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.在△ABC中,如果sin A=sin C,B=30°,b=2,则△ABC的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:因为sin A=sin C,由正弦定理可得a=c, 又由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B, 即4=3c2+c2-2×c2×, 解得c=2,所以a=2, 所以△ABC的面积为S=acsin B=×2×2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,A=,若三角形有两解,则边a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:因为在△ABC中,b=,A=, 由正弦定理,可得sin B===, 因为A=,所以0<B<, 要使得三角形有两解,可得<B<且B≠,即<sin B<1, 即<<1,解得<a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且该三角形的面积为60,则△ABC的最小边长等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,可得a∶b∶c=3∶5∶7, 设△ABC的三边分别为a=3m,b=5m,c=7m, 由余弦定理可得cos A===, 又由A∈(0,π),所以sin A=, 因为△ABC的面积为60,即S=bcsin A=×5m×7m×=60, 解得m=4,所以△ABC最小边的长为a=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.如图,在测量河对岸的塔高AB时,测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,并测得∠BDC=120°,∠BCD=15°,CD=20 米,在点C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=(　　) A.10 米 B.10 米 C.15 米 D.11 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 解析:在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=15°,CD=20, 则∠CBD=180°-120°-15°=45°, 由正弦定理得=, 所以BC===30. 在Rt△ABC中,∠ACB=30°, 所以AB=BCtan∠ACB=30×tan 30°=10(米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.在△ABC中,sin+sin A=,AC=AB,则角C=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由sin+sin A=可得sin+sin(B+C)=,化简得 sin Bcos C=, ① 又由AC=AB和正弦定理可得sin B=sin C, ② 将②代入①,可得sin Ccos C=sin 2C=, 即sin 2C=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由sin B=sin C可知C是锐角,则0<2C<π,故有2C=或2C=,即C=或C=. 当C=时,由sin B=sin C可得sin B=,符合题意; 当C=时,由sin B=sin C可得sin B=>1,显然不合题意,故C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.在锐角三角形ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=2asin B,a=,则三角形ABC的周长的取值范围是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:因为b=2asin B, 所以根据正弦定理得,sin B=2sin Asin B. 因为B为锐角,所以sin B>0, 所以=2sin A,即sin A=,而A为锐角, 所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为根据正弦定理====2, 所以b=2sin B,c=2sin C. 因为三角形周长为a+b+c=+2sin B+2sin C, 又因为A=,所以C=π-B, 所以a+b+c=+2sin B+2sin=+2sin B+cos B+ sin B=2sin+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为B∈,C∈,即B∈,π-B∈, 所以B∈, 即B+∈,sin∈, 所以a+b+c∈. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 ( 　　) A.若A>B,则sin A>sin B B.若a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形 C.若a=10,c=8,C=,则符合条件的△ABC有两个 D.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形或者直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 解析:A选项,根据大角对大边,A>B⇒a>b, 根据正弦定理可得2Rsin A=a>b=2Rsin B,其中R为三角形外接圆的半径, 于是sin A>sin B,A选项正确; B选项,根据余弦定理结合选项可知,cos C=<0, 由C∈(0,π),进而C∈,B选项正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C选项,根据正弦定理,=,结合选项数据,得出sin A=>1, 故这样的三角形不存在,C选项错误; D选项,若acos A=bcos B,由正弦定理,2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B,其中R为三角形外接圆的半径, 则sin 2A=sin 2B,则2A=2B或者2A+2B=π, 即A=B,或者A+B=,即△ABC是等腰三角形或者直角三角形,D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,b=2,A=,则(　 　) A.c=3 B.sin B= C.sin C= D.△ABC外接圆的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 解析:设△ABC的外接圆的半径为R, 对于B,D,因为===2R, 所以===2R, 可得sin B=,R=, 所以△ABC外接圆的面积为πR2=,故B,D正确; 对于A,C,由a2=b2+c2-2bccos A=4+c2-2×2c×cos =7, 整理得c2-2c-3=0所以c=3或c=-1(舍去), 由=,解得sin C=,故A正确,C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.对非零向量a,b,定义运算“(*)”:a(*)b=|a|cos θ+|b|sin θ,其中θ为a与b的夹角,则( 　　) A.若a∥b,则|a(*)b|=|a| B.若a=(-1,2),b=(-3,1),则(a-b)(*)a= C.若Rt△ABC中,C=,AC=2,BC=1,则(*)= D.若△ABC中,(*)=(*)=0,则△ABC是等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 解析:对于A:因为a∥b,所以<a,b>=0或π, 所以|a(*)b|==,A正确; 对于B:因为a=(-1,2),b=(-3,1), 所以a-b=,=,=,cos<a-b,a>==0, 所以<a-b,a>=, (a-b)(*)a=×0+×1=,B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C:若Rt△ABC中,C=,AC=2,BC=1, 所以AB=,cos A=,sin A=, 所以(*)=cos A+sin A=×+2×=2+,C错误; 对于D:△ABC中,(*)=(*)=0, 所以-ccos B+asin B=-acos B+csin B=0, 所以=0,因为sin B+cos B≠0, 所以c-a=0,即c=a,△ABC是等腰三角形,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=2B,且△ABC的面 积S=,则C=　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵S=,∴acsin B=,∴asin B=, 由正弦定理得sin Asin B=sin C. 又∵C=2B,∴sin Asin B=sin 2B=sin Bcos B. ∵sin B≠0,∴sin A=cos B,于是A=±B, 当A=+B时,C=;当A=-B时,C=. 13 14 15 16 17 18 19 13.甲船在B岛的正南方向A处,AB=10千米,甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行,同时,乙船自B岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去,航行时间不超过2.5小时,则当甲、乙两船相距最近时,它们 航行的时间是　　　小时.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 解析:设经过x小时两船之间的距离为s千米,甲船由 A点到达C点,乙船由B点到达D点, 则AC=4x,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=180°-60°=120°. 由余弦定理可得s2=+-2(10-4x)·6x·=28x2-20x+100, 当x==<2.5时,s2最小, 则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,已知=, 则C=　　　,的取值范围为　　　 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 　∪ 解析:因为=,所以cos C=c·cos B, 由正弦定理可得(2sin A-sin B)cos C=sin Ccos B, 即2sin Acos C=sin=sin A. 又因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos C=. 又由C∈(0,π),所以C=. 因为cos B≠0,所以B∈∪, 所以cos B∈∪, 由余弦定理,可得=2cos B,所以∈∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在△ABC中,cos A=. (1)求sin 2+cos 2A的值; (2)若a=,求bc的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)sin2+cos 2A=+cos 2A =+cos 2A=2cos2A+cos A-=2×+×-=-. (2)根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 即3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 得bc≤,当且仅当b=c时等号成立, 所以bc的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,由正弦定理得, 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2, ∴cos A==. ∵0°<A<180°,∴A=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)∵A+B=C=180°,A=60°, ∴B+C=180°-60°=120°, 由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=, ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=, ∴sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1. 又∵0°<B<120°, ∴30°<B+30°<150°, ∴B+30°=90°,即B=60°, ∴A=B=C=60°,∴△ABC为正三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知在锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (1)求证:tan A=2tan B; (2)设AB=3,求AB边上的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:由sin(A+B)=,sin(A-B)=,得 即 两式相除得=2, 所以tan A=2tan B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:在锐角△ABC中,<A+B<π,sin(A+B)=,则cos(A+B)=-= -,tan(A+B)=-, 即有=-,将tan A=2tan B代入上式并整理得2tan2B-4tan B-1=0, 而tan B>0,解得tan B=,tan A=2+, 设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=, 由AB=3,得CD=2+,所以AB边上的高等于2+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)(1)在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其中c=2a,bsin B-asin A=asin C,求cos B. (2)如图,在离地面高800 m的热气球M上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,求山的高度BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)由bsin B-asin A=asin C及正弦定理得,b2-a2=ac, 因为c=2a,所以b2-a2=a·2a=a2,即b2=2a2, 则cos B===. (2)因为∠AMC=45°+15°=60°,∠MAD=45°,∠CAB=60°, 所以∠MAC=180°-45°-60°=75°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以∠MCA=180°-75°-60°=45°. 又因为MAcos 45°=MD=800 m,所以MA=800 m, 又在△ACM中由正弦定理=,即=, 所以AC=800 m, 所以BC=ACsin 60°=800×=1 200(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且cos B=bcos C. (1)若a=2,c=1,解这个三角形; (2)我们知道,如果PQ是某个定圆的一条弦,点M在PQ分圆所得的优(劣)弧上运动,则∠PMQ的大小确定.本题中,若b=2,请结合△ABC的外接圆,根据a的取值讨论△ABC解的个数,并请说明a取何值时△ABC的面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)∵cos B=bcos C, ∴利用正弦定理可得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 即2sin Acos B=sin=sin A,又sin A≠0, ∴cos B=. ∵B∈,∴B=. ∵a=2,c=1,∴b2=a2+c2-2accos B=4+1-4×=3,b=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由正弦定理得====2, ∴sin A=1,sin C=. ∵A,C∈,∴A=,C=, ∴在△ABC中,A=,B=,C=,a=2,b=,c=1. (2)∵===4, ∴sin A=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 且由B=知A∈. ①当0<a≤2时,sin A=∈,此时△ABC有1个解; ②当2<a<4时,sin A=∈,此时△ABC有2个解; ③当a=4时,sin A==1,此时△ABC有1个解; ④当a>4时,sin A=>1,此时△ABC无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由余弦定理得b2=a2+c2-ac≥ac, 即ac≤12,当且仅当a=c=2时等号成立, ∴△ABC的面积S△ABC=acsin B=ac≤3, 当a=c=2时, △ABC的面积取得最大值3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$