11.3.2 直线与平面平行-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.3　空间中的平行关系 11.3.2　直线与平面平行 第十一章　立体几何初步 [学习目标]　1.掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步利用定理解决问题.　2.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行. 知识点1　直线与平面平行的判定定理 内容索引 知识点2　直线与平面平行的性质定理 课时作业 巩固提升 知识点3　线面平行的综合运用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　直线与平面平行的判定定理 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理   如果平面外的一条直线与_____________________,那么这条直线与这个平面平行 如果l⊄α,m⊂α,l∥m,则l∥α 平面内的一条直线平行 [例1]　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G. [证明]　如图,连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EF∥BC1. 又AB∥D1C1且AB=D1C1, 所以四边形ABC1D1是平行四边形, 所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1. 又EF⊄平面AD1G,AD1⊂平面AD1G, 所以EF∥平面AD1G. 应用判定定理证明线面平行的步骤 思维提升 上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有: 1.空间直线平行关系的传递性法. 2.三角形中位线法. 3.平行四边形法. 4.成比例线段法. 1.如图,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC. 跟踪训练 证明:设PC的中点为G,连接EG,FG.∵F为PD的中点, ∴GF∥CD,且GF=CD. ∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点, ∴GF∥AE,GF=AE, ∴四边形AEGF为平行四边形, ∴EG∥AF. 又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC, ∴AF∥平面PEC. 知识点2　直线与平面平行的性质定理 文字语言 如果一条直线与一个平面_______,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的_____平行 符号语言 a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b 图形语言   平行 交线 [例2]　如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD在α的两侧,若AC,BD分别与α相交于M,N两点,求证:=. [证明]　如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN. 因为CD∥α,平面ACD∩α=PM, 所以CD∥PM,所以在△ACD中,有=. 同理,在△DAB中,有=,所以=. [例3]　如图所示,在四面体ABCD中,用平行于棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. [证明]　因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN. 同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 1.利用线面平行的性质定理解题的步骤 思维提升 2.在已知条件中有线面平行时,就设法应用该条件,即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,也就是找已知直线的平行线.有时为了得到交线还需作出辅助平面,而且证明与平行有关的问题时,常与基本事实等结合起来使用. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证:AB∥GH. 跟踪训练 证明:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB. 又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH. 又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH, ∴AB∥GH. 知识点3　线面平行的综合运用 [例4]　如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PBC∩平面PAD=l. (1)求证:l∥BC. (2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论. (1)[证明]　因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD=l, 且BC⊂平面PBC, 所以BC∥l. (2)[解]　平行.证明如下: 如图,取PD的中点E,连接AE,NE, 可以证得NE∥AM且NE=AM, 所以四边形MNEA是平行四边形, 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD, MN⊄平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为: 思维提升 3.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH. 跟踪训练 证明:∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH. ∵GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD, ∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB, ∴EF∥AB. ∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若l∥平面α,m⊂α,则l与m的关系是(　　) A.l∥m　　　　　　　　 B.l与m异面 C.l∩m≠⌀ D.l∩m=⌀ 解析:l与m可以异面或平行,即l∩m=⌀. D 2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有　　　　个.  4 解析:正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行. 3.如图,在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是　　　　.  平行 解析:∵M,N分别是BF,BC的中点, ∴MN∥FC. ∵四边形CDEF是矩形, ∴FC∥ED,∴MN∥ED. 又ED⊂平面ADE,MN⊄平面ADE, ∴MN∥平面ADE. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有(　　) A.2个　　　　　　　　 B.3个 C.4个 D.5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:如图所示,结合图形可知AA1∥平面BC1,AA1∥平面DC1,AA1∥平面BB1D1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.下列说法正确的是(　　) A.如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面 B.如果直线a和平面α满足a∥α,那么a平行于平面α内的任何一条直线 C.如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b D.如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中, AA'∥BB',AA'在过BB'的平面AB'内, 故选项A不正确; AA'∥平面B'C,BC⊂平面B'C,但AA'不平行于BC, 故选项B不正确; AA'∥平面B'C,A'D'∥平面B'C, 但AA'与A'D'相交,所以选项C不正确; 选项D中,假设b与α相交,因为a∥b, 所以a与α相交,这与a∥α矛盾, 故b∥α,即选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为(　　) A.平行 B.可能相交 C.相交或BD⊂平面MNP D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:因为N,P分别为线段BC,CD的中点,所以NP∥BD.又BD⊄平面MNP,NP⊂平面MNP,所以BD∥平面MNP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直线与平面平行的性质定理可得:MN∥PA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平行 解析:如图,延长AG交BC于点F,则由G为△ABC的重心知AG∶GF=2.又AE∶ES=2,∴EG∥SF.又SF⊂平面SBC,EG⊄平面SBC, ∴EG∥平面SBC. 14 6.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面与棱CD交于Q,则 PQ=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a 14 解析:连接AC(图略).由线面平行的性质知MN∥PQ∥AC. 因为AP=,所以=.又AC=a,所以PQ=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是AD1,BD的中点. (1)求证:PQ∥平面DCC1D1; (2)求PQ的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明:如图所示,连接AC,CD1, 因为ABCD为正方形,所以AC与BD互相平分. 又Q为BD的中点,所以Q为AC的中点. 因为P为AD1的中点,所以PQ∥CD1. 因为CD1⊂平面DCC1D1,PQ⊄平面DCC1D1, 所以PQ∥平面DCC1D1. (2)解:由(1)得,PQ是△ACD1的中位线,所以PQ=D1C=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°, EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°, ∠EGF=90°,所以△ABC∽△EFG. 由于AB=2EF,因此BC=2FG.如图,连接AF. 在▱ABCD中,M是线段AD的中点, 则AM∥BC,且AM=BC. 又FG∥BC,FG=BC, 因此FG∥AM且FG=AM, 所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM∥FA. 又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE, 所以GM∥平面ABFE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形ABCD的对角线的交点为O,M为PB的中点,下列说法正确的是(　　) A.OM∥平面PCD B.OM∥平面PBC C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:如图,易得OM∥PD,所以OM∥平面PCD,OM∥平面PDA,故A,C正确.由图可知OM与平面PBC,OM与平面PBA均相交,故B,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,E是A1C1上的一点,且A1B∥平面B1DE,则的值为(　　) A. B. C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:如图,连接BC1交B1D于点F,连接EF,则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE,A1B⊂平面A1BC1, 所以A1B∥EF,所以=. 因为BC∥B1C1, 所以△BDF∽△C1B1F, 所以=.因为D是BC的中点, 所以=,所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线有　　　　条.  解析:如图所示,∵l∥平面α,P∈α, ∴直线l与点P确定一个平面β,α∩β=m, ∴P∈m,∴l∥m且m是唯一的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.如图,已知四边形EFGH是四面体ABCD的一个截面,且截面为平行四边形.   (1)AB与平面EFGH的位置关系是　　　　,CD与平面EFGH的位置关系是　　　　;(填“平行”或“相交”)  (2)若AB=4,CD=6,则四边形EFGH周长的取值范围为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平行　 平行 (8,12) 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:(1)因为四边形EFGH是平行四边形, 所以EF∥GH. 因为GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD, 所以EF∥平面ABD. 又因为EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, 所以EF∥AB. 因为AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设EF=x(0<x<4),则由(1)得EF∥AB, 所以==. 同理,由FG∥CD得====1-. 从而FG=6-x, 所以平行四边形EFGH的周长l=2=12-x.又因为0<x<4,所以8<l<12. 所以四边形EFGH的周长的取值范围是(8,12). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接MN,NF. 因为BF∥平面AA1C1C, BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN, 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN, 所以四边形BFNM是平行四边形, 所以MN∥BF,MN=BF=1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而EC∥FB,EC=2FB=2, 所以MN∥EC,MN=EC=1, 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时,MB∥平面AEF. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,且EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使BE⊥EC.若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:在折叠后的线段AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF, 此时=.以下为证明过程: 当=时,=,过点P作MP∥FD交AF于点M,连接EM(图略), 则有==. ∵BE=1,∴FD=5,∴MP=3.又EC=3,MP∥FD∥EC,∴四边形MPCE为平行四边形,∴CP∥ME. 又CP⊄平面ABEF,ME⊂平面ABEF, ∴CP∥平面ABEF成立. 14 $$