11.3.1 平行直线与异面直线-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 第十一章　立体几何初步   [学习目标]　1.了解空间中两条直线的位置关系.　2.理解空间平行线的传递性,会证等角定理.　3.理解异面直线的概念、画法,了解空间四边形. 知识点1　平行直线 内容索引 知识点2　等角定理及应用 课时作业 巩固提升 知识点3　异面直线 课堂达标·素养提升 知识点4　空间四边形的认识 3 知识点1　平行直线 1.定义:在___________内___________的两条直线称为平行直线. 2.传递性:平行于同一条直线的两条直线互相______. 同一平面 不相交 平行 [例1]　如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'. [证明]　因为E,E'分别是AB, A'B'的中点, 所以BE∥B'E',且BE=B'E', 所以四边形EBB'E'是平行四边形, 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB', 所以EE'∥FF'. 空间两条直线平行的证明方法 1.定义法:即证明两条直线在同一个平面内没有公共点. 2.利用基本事实寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,则这两条直线平行,若题设条件中含有中点,则常利用三角形中位线的性质证明直线平行. 思维提升 1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若E,F分别为AA',CC'的中点,求证:四边形BFD'E是平行四边形. 跟踪训练 证明:如图所示,取BB'的中点G,连接GC',GE. 因为F为CC'的中点, 所以BG∥FC', 且BG=FC', 所以四边形BFC'G是平行四边形, 所以BF∥GC',BF=GC'. 又因为EG∥A'B',EG=A'B', A'B'∥C'D',A'B'=C'D', 所以EG∥C'D',EG=C'D', 所以四边形EGC'D'是平行四边形, 所以ED'∥GC',ED'=GC', 所以BF∥ED',BF=ED', 所以四边形BFD'E是平行四边形. 知识点2　等角定理及应用 1.定理 文字语言 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等 符号语言 AC∥A'C',AB∥A'B'⇒∠BAC=∠B'A'C' 图形语言   作用 判断或证明两个角相等 2.推论 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. [例2]　如图,已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.   (1)求证:四边形MNA1C1是梯形; (2)求证:∠DNM=∠D1A1C1. [证明]　(1)如图,连接AC, 在△ACD中, ∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△DAC的中位线, ∴MN∥AC,MN=AC. 由正方体的性质得: AC∥A1C1,AC=A1C1, ∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1, ∴四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1, ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1. 证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或都相反时,这两个角相等或互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的. 思维提升 2.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点. 求证:(1)EF􀰿E1F1; (2)∠EA1F=∠E1CF1. 跟踪训练 证明:(1)连接BD,B1D1,在△ABD中, 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF􀰿BD,同理E1F1􀰿B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为AA1􀰿DD1,AA1􀰿BB1,所以B1B􀰿DD1, 所以四边形BDD1B1是平行四边形, 所以BD􀰿B1D1,所以EF􀰿E1F1. (2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1􀰿B1C1,B1C1􀰿BC,所以MF1􀰿BC, 所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1.因为A1M􀰿EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1. 知识点3　异面直线 1.定义:空间中既不平行也不相交的直线. 2.异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托. 3.判断两直线为异面直线的方法 (1)定义法; (2)与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. [例3]　如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　.  (2)(4) [解析]　(1)中HG∥MN,(3)中GM∥HN且GM≠HN,所以直线HG与MN必相交. 判定两条直线是异面直线的方法 1.定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内. 2.重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 思维提升 3.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是(　　) A.异面　　　　　　　　 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 跟踪训练 D 解析:如图(1)所示,直线a与b互相平行;如图(2)所示,直线a与b相交;如图(3)所示,直线a与b异面. 知识点4　空间四边形的认识 [例4]　如图,设E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.   求证:(1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形; (2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形. [证明]　(1)∵==λ, ∴EH∥BD,且=λ. 同理,GF∥BD,且=μ. 又∵λ=μ,∴EH=GF,且EH∥GF, ∴四边形EFGH是平行四边形. (2)由(1)知EH∥GF.又∵λ≠μ,∴EH≠GF, ∴四边形EFGH是梯形. 在解答与空间四边形有关的问题时,往往转化为平面图形,借助平面几何中的有关性质或定理来解决. 思维提升 4.已知在空间四边形ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系. 解:由已知,得E,F不重合.设△BCD所在平面为α,则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,所以AE与DF异面. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于(　　) A.30°　　　　　　　　　 B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 解析:因为AB∥PQ,BC∥QR, 所以∠PQR与∠ABC相等或互补. 因为∠ABC=30°, 所以∠PQR=30°或150°. B 2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解析:∵E,F分别是SN和SP的中点, ∴EF∥PN.同理可证HG∥PN, ∴EF∥HG. A 3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=　　　　.  解析:由等角定理可知β=135°. 135° 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是　　　　.  解析:直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交. 相交 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是(　　) A.SB　　　　　　　 B.SC C.BC D.AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,又不平行,是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相交于点O,E,F分别是B1O,C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有(　　) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1.因为和棱B1C1平行的棱有AD,BC,A1D1,所以符合题意的棱共有4条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.下列命题中,错误的结论是(　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:选项A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;选项B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;选项C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;选项D中,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是(　　) A.直线GH和MN平行,GH和EF相交 B.直线GH和MN平行,MN和EF相交 C.直线GH和MN相交,MN和EF异面 D.直线GH和EF异面,MN和EF异面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:易知GH∥MN.又∵E,F,M,N分别为所在棱的中点,由基本事实3可知EF,DC,MN交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则MN　　　 (AC+BD)(填“≥”“>”“≤”“<”或“=”符号). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 < 解析:取BC中点E,连接EM,EN(图略),则 相加EM+EN=(AC+BD). 又EM+EN>MN,所以MN<(AC+BD). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.   求证:四边形B1EDF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1. ∵E是AA1的中点,  ∴EQ􀰿A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中,A1D1􀰿B1C1, ∴EQ􀰿B1C1, ∴四边形EQC1B1为平行四边形, ∴B1E􀰿C1Q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又∵Q,F分别是矩形DD1C1C的边DD1,CC1的中点, ∴QD􀰿C1F, ∴四边形DQC1F为平行四边形,∴C1Q􀰿DF. 又∵B1E􀰿C1Q,∴B1E􀰿DF, ∴四边形B1EDF为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:如图,连接CB1,CD1, ∵CD􀰿A1B1, ∴四边形A1B1CD是平行四边形, ∴A1D∥B1C. ∵M,N分别是CC1,B1C1的中点, ∴MN∥B1C,∴MN∥A1D. ∵BC􀰿A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥CD1. ∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1, ∴MP∥A1B, ∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反, ∴∠NMP=∠BA1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:若直线l1,l2和l都不相交,则直线l1,l2都和l平行,则直线l1,l2平行,这和题中这两条直线异面相矛盾,所以l至少要与l1,l2中的一条相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是(　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD ∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;对于D,由三角形的中位线定理,知MQ􀰿BD,NP􀰿BD,所以MQ􀰿NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,E在线段PA上,则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有　　　　对异面直线.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 解析:异面直线有5对,分别是AB与EF,BC与AP,AC与BP,AC与EF,EF与BP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 当AC,BD满足条件　 　　时,四边形EFGH为菱形;当AC,BD满足条件 　　　 　时,四边形EFGH是正方形.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC=BD AC=BD且AC⊥BD 解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.   (1)AM和CN是不是异面直线?并说明理由. (2)D1B和CC1是不是异面直线?并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:连接A1C1,MN,B1D1(图略). (1)AM和CN不是异面直线.理由如下: ∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1. 又∵A1A􀰿C1C,∴四边形A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,∴A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线. (2)D1B和CC1是异面直线.理由: 选平面BCC1B1作参照,因为CC1⊂平面BCC1B1, B∈平面BCC1B1,但D1∉平面BCC1B1,且B∉直线CC1, 因此D1B和CC1是异面直线. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°, BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:由G,H分别为FA,FD的中点, 可得GH∥AD,GH=AD. 又BC∥AD,BC=AD,∴GH􀰿BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:C,D,F,E四点共面. 由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点知,BE􀰿FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面. 13 $$