11.3.1 平行直线与异面直线 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

平行直线与异面直线 学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 学习活动 目标一：掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题. 任务1：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题，探索空间中平行线的判定与性质. (1)“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在空间中是否仍成立？ (2)“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 【新知讲解】 (1)平行公理： (2)平行线的传递性 练一练： 如图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A．平行　 B．相交 C．异面 D．平行或异面 任务2：结合图象，利用空间平行线的传递性，猜想并证明等角定理. 问题1：棱柱的上下底边有什么位置关系？上下底面构成的角有什么关系？由此你能得到关于两个角关系的什么猜想？ 问题2：如图所示，等角定理是说，在空间中，如果，则有，如果与 都在同一平面内，你能证明这个结论吗？如果这两个角不在同一个平面内呢？ 【归纳总结】 等角定理 练一练： 已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　) A．30°　　B．150°　　C．30°或150°　　D．大小无法确定 目标二：理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面. 任务：思考下列问题，探索两条直线是异面直线的方法. 问题：我们已经知道异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，结合图形思考，在立体几何中怎样做出异面直线的直观图？ 【归纳总结】 异面直线的画法： 思考：结合图形，能否认为分别在两个平面内的直线就是异面直线？由此总结判定两条直线是异面直线的方法. 【归纳总结】 判定两条直线是异面直线的方法： 练一练： 判断下列说法是否正确： （1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线. 目标三：了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 任务：认识空间四边形，利用空间平行线的传递性判断空间中四边形形状. 【新知讲解】 空间四边形 问题：如图所示的空间四边形ABCD中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。 练一练： 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 【归纳总结】 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “空间平行线的传递性”、“等角定理”、“异面直线” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行直线与异面直线 学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 学习活动 目标一：掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题. 任务1：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题，探索空间中平行线的判定与性质. (1)“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”在空间中是否仍成立？ (2)“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 【新知讲解】 (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)平行线的传递性 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性． 符号表述： (3)图形表述： 注：由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系，例如，如图所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有： 练一练： 如图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A．平行　 B．相交 C．异面 D．平行或异面 参考答案：A ∵E，F分别是SN和SP的中点， ∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG. 任务2：结合图象，利用空间平行线的传递性，猜想并证明等角定理. 问题1：棱柱的上下底边有什么位置关系？上下底面构成的角有什么关系？由此你能得到关于两个角关系的什么猜想？ 参考答案： 猜想：如果一个角的