10.2.2 复数的乘法与除法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

10.2　复数的运算 10.2.2　复数的乘法与除法 第十章　复数 [学习目标]　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 知识点1　复数的乘法 内容索引 知识点2　复数的除法 课时作业 巩固提升 知识点3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 课堂达标·素养提升 3 知识点1　复数的乘法 1.复数的乘法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=_______________________. (ac-bd)+(ad+bc)i 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 [例1]　(1)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　) A.5-4i　　　　　　 B.5+4i C.3-4i D.3+4i (2)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于(　　) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i (3)i是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=　　　　.  D C 5-5i [解析]　(1)由题意知a-i=2-bi, ∴a=2,b=1, ∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. (2)∵z=(3-2i)i=3i-2i2=2+3i, ∴=2-3i. (3)(3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i. 复数乘法运算的方法与常用公式 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开;再将i2换成-1;然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式. 2.常用公式 (1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); (3)(1±i)2=±2i. 思维提升 1.若|z1|=5,z2=3+4i,且z1·z2是纯虚数,则z1=　　　 　.  跟踪训练 4+3i或-4-3i 解析:设z1=a+bi(a,b∈R),则|z1|==5,即a2+b2=25, z1·z2=(a+bi)·(3+4i)=(3a-4b)+(3b+4a)i. ∵z1·z2是纯虚数, ∴解得或 ∴z1=4+3i或z1=-4-3i. 知识点2　复数的除法 1.如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z=z1÷z2),z1称为被除数,z2称为除数. 2.一般地,给定复数z≠0,称为z的倒数. 3.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)是任意两个复数, 则===+i. [例2]　(1)i是虚数单位,复数=(　　) A.1-i　　　　　　　　　 B.-1+i C.+i D.-+i (2)=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i A D [解析]　(1)===1-i. (2)法一:=====-1-i. 法二:=(1+i)=i2(1+i)=-1-i. 思维提升 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式; (2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数; (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 (1)=-i;(2)=i;(3)=-i. 思维提升 2.(1)满足=i(i为虚数单位)的复数z=(　　) A.+i B.-i C.-+i D.--i (2)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(　　) A.1 B.2 C. D. 跟踪训练 B C 解析:(1)∵=i,∴z+i=zi,∴i=z(i-1). ∴z====-. (2)∵z(1+i)=2i,∴z===1+i, ∴|z|==. 知识点3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1.实系数一元二次方程根的判定 当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为________一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的. (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的__________; (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为______的虚数根. 实系数 实数根 共轭 2.实系数一元二次方程根与系数的关系 实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数,且a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=. [例3]　在复数范围内解下列方程. (1)2x2+3=0;(2)x2+3x+4=0; (3)2x2+3x+c=0(c∈R). [解]　(1)因为x2=-, 所以x=±i. (2)配方,得=-, 即x+=±i, 所以原方程的根为x=-±i. (3)Δ=9-8c, 当Δ≥0,即c≤时,x=; 当Δ<0,即c>时,x==-±i. 在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法 1.求根公式法 (1)当Δ≥0时,x=; (2)当Δ<0时,x=. 2.利用复数相等的定义求解 设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解. 思维提升 3.已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c为实数)的一个根. (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是不是方程的根. 跟踪训练 解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,且b,c为实数, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即b+c+(b+2)i=0, ∴解得 (2)由(1)知方程为x2-2x+2=0, 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程成立.∴1-i是方程的根. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2=(　　) A.4+2i　　　　　　　　 B.2+i C.2+2i D.3 解析:z1z2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i2=4+2i. A 2.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　.  解析:因为==1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2. 2 3.设z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为　　　　.  解析:设=bi(b∈R且b≠0), 所以z1=bi·z2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi, 所以所以a=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=(　　) A.-3+i　　　　　　　　　 B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i 解析:(-1+i)(2-i)=-1+3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 2.i为虚数单位,=(　　) A.-1 B.1 C.-i D.i 解析:===-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 4.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于(　　) A. B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 解析:∵z2=t+i,∴=t-i. z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i, 又∵z1·∈R, ∴4t-3=0,∴t=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 解析:因为(3-4i)z=4+3i, 所以z====i.则|z|=1. 13 6.在复数范围内,方程2x2+3x+4=0的解为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为Δ=32-4×2×4=9-32=-23<0, 所以方程2x2+3x+4=0的根为x==. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知z1=1-i,z2=2+2i(i为虚数单位). (1)求z1z2; (2)若=+,求z. 解:(1)∵z1=1-i,z2=2+2i, ∴z1z2=(1-i)(2+2i)=4. (2)由=+,得z= =====-i. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(　　) A.若|z1-z2|=0,则= B.若z1=,则=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2· D.若|z1|=|z2|,则= D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒=,真命题; B,z1=⇒=z2,真命题; C,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·=z2·,真命题; D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 9.(多选)已知复数z1,z2是方程x2+x+1=0的两根,则(　　) A.z1+z2=1 B.|z1|=|z2|=1 C.= D.z1+∈R 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由x2+x+1=0, 得z1=-+i,z2=--i, 所以z1+z2=-1,故A错误; |z1|==1, |z2|==1,故B正确; ==-i-=--i=z2,故C错误; +z1=-+i=-1∈R,故D正确. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.若复数z=的实部为3,则z的虚部为　　　　.  解析:z====+i.由题意知=3, ∴a=-1,∴z=3+i,∴z的虚部为1. 1 13 11.若复数z在复平面内的对应点在第二象限,|z|=5,对应点在直线y=x上,则z=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3+4i 13 解析:设=3t+4ti(t∈R), 则z=3t-4ti, ∵|z|=5,∴9t2+16t2=25,∴t2=1, ∵z的对应点在第二象限,∴t<0, ∴t=-1,∴z=-3+4i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知z,ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=,且|ω|=5,求ω. 解:设ω=x+yi(x,y∈R), 由ω=,得z=ω(2+i)=(x+yi)(2+i). 依题意,得(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)(2+i)=(-x-7y)+(7x-y)i, ∴7x-y=0.① 又|ω|=5,∴x2+y2=50.② 由①②得或 ∴ω=1+7i或ω=-1-7i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 13.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设μ=,求证:μ为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)解:因为z是虚数, 所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0), 则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=+i. 因为ω是实数,且y≠0,所以y-=0,即x2+y2=1. 所以|z|==1,此时ω=2x. 又-1<ω<2,所以-1<2x<2, 所以-<x<1, 即z的实部的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明:μ====. 又x2+y2=1,所以μ=-i. 因为y≠0,所以μ为纯虚数. $$