10.2.1 复数的加法与减法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 第十章　复数 [学习目标]　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.　2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题. 知识点1　复数的加、减法运算 内容索引 知识点2　复数加、减法的几何意义 课时作业 巩固提升 知识点3　复数模的综合问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　复数的加、减法运算 1.运算法则 (1)复数的加法 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　.  (2)复数的减法 ①一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的　　　　　记作-z,并规定-z=-(a+bi)= -a-bi.  ②复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2). ③一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)= 　　　　　.  (a+c)+(b+d)i 相反数 (a-c)+(b-d)i 2.加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) [例1]　(1)+(2-i)-=　　　　.  (2)若复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.  1+i 4+i [解析]　(1)+(2-i)-=+i=1+i. (2)法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i. 法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. 复数加减运算的技巧 1.复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. 2.把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项. 思维提升 1.计算下列各式: (1)(-i)++1; (2)-+i; (3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i). 解:(1)原式=(-)+i+1=1-i. (2)原式=+i=+i. (3)原式=(5-2-3)+[(-6)+(-2)-3]i=-11i. 跟踪训练 2.计算: (1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i); (2)5i-; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 解:(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i. (2)5i-=5i-(7+5i)=-7. (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+i=-a+(4b-3)i(a,b∈R). 知识点2　复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义 如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,则当与不共线时,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是. 推论:||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|   复数减法的几何意义 如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,设点Z满足=,则z1-z2所对应的向量就是. 推论:||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|   [例2]　复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点(如图所示),求这个正方形的第四个顶点对应的复数. [解]　由题意知复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,设正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R). 因为=-, 所以对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,因为=-, 则对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i. 因为=,所以它们对应的复数相等, 因此解得 故点D对应的复数为2-i. [例3]　已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. [解]　设复数z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z,由|z1|=|z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形, 在△OZ1Z 中,由余弦定理,得 cos∠OZ1Z==-, 所以∠OZ1Z=120°, 所以∠Z1OZ2=60°, 因此△OZ1Z2是正三角形,所以|z1-z2|=|Z2Z1|=1. 1.复数运算的常用技巧 (1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中. 思维提升 2.常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点(O,A,B不共线). (1)四边形OACB为平行四边形. (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形. (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形. (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 3.利用图形描述、分析数学问题,建立形与数的联系,提升直观想象的数学核心素养. 3.已知复平面内的向量,对应的复数分别是-2+i,3+2i,则||=　　　　.  跟踪训练 解析:∵=+, ∴对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i, ∴||==. 知识点3　复数模的综合问题 [例4]　已知a,b∈R,复数z1=a(a-b)+i,z2=b(b-a)-i,且z1+z2=0,若z=a+bi,则|z-2i|的最小值为　　　　　.  [解析]　复数z1+z2=b(b-a)-i+a(a-b)+i=a2+b2-2ab=0,所以a=b, 所以|z-2i|== =, 因为a∈R,所以当a=1时, |z-2i|=≥ . [例5]　若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值. [解]　如图所示, ||==2.   所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. 1.两个复数差的模的几何意义 (1)|z-z0|表示复数z,z0对应的点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式. (2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆. 2.涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.求最值也可直接用||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求解. 思维提升 4.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　　) A.外心　　　　　　　　　　 B.内心 C.重心 D.垂心 跟踪训练 A 解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,∴P为△ABC的外心. 5.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值. 解:由已知|z-(-2+2i)|=1,所以复数z的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心,1为半径的圆. 由|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z的对应点到点(2,2)的距离,即圆上的点到(2,2)点的距离,最小值为圆心(-2,2)与点(2,2)的距离减去半径, 即-1=3. 故|z-2-2i|min=3. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　) A.-2　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.-4 B 解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,故z的虚部是4. 2.设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 A 解析:z1=x2-i,z2=-1+xi, 则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i, 若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1. 3.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量 对应的复数为　　　　.  1-i 解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i. 4.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是　　　　.  +1 解析:由|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z对应的点构成以C(2,-1)为圆心,1为半径的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=+1=+1. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,, 则复数z1-z2=(　　) A.-1+2i　　　　　　　　 B.-2-2i C.1+2i D.1-2i 解析:由题意知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 2.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z1-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,在复平面内z1-z2对应点的坐标为(5,-7),位于第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:复数z1对应向量,复数z2对应向量. 则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|, 依题意有|+|=|-|. ∴以,为邻边所作的平行四边形是矩形. ∴△AOB是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( 　　) A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上 B.若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值是1 C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 解析:满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;设复数-i,i,-1-i在复数平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小 值,因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1,B正确;由复数的模 的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知, 以,所在线段为邻边的平行四边形为矩形, 从而两邻边垂直,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=　　　　,z2=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5-9i -8-7i 解析:z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i, ∴解得 ∴z1=5-9i,z2=-8-7i. 6.已知z1=2-2i,且|z|=1,则|z-z1|的最大值为　　　 　.    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2+1 解析:如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是半径为1,圆心为原点的圆,而z1对应坐标系中的点为(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,则|z-z1|的最大值为2+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2. 解:∵z1=x+2i,z2=3-yi, ∴z1+z2=x+3+(2-y)i=5-6i, ∴解得 ∴z1=2+2i,z2=3-8i, ∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求: (1)向量对应的复数; (2)向量对应的复数; (3)向量对应的复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为=-,所以向量对应的复数为-3-2i. (2)因为=-,所以向量对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为=+,所以向量对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)|(3+2i)-(1+i)|可表示(　　) A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离 C.点(2,1)到原点的距离 D.点(2,2)到原点的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:由复数的几何意义,知复数3+2i,1+i分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离,故A正确,B错误;(3+2i)-(1+i)=2+i,对应复平面内的点(2,1),所以|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|可表示点(2,1)到原点的距离,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.4 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|, ∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3, ∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4, 当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.设f(z)=z-3i+|z|,若z1=-2+4i,z2=5-i,则f(z1+z2)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3+3 解析:∵z1+z2=-2+4i+5-i=3+3i, ∴f(z1+z2)=(3+3i)-3i+|3+3i|=3+=3+3. 12.已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β,|z1-z2|=,则cos(α-β) =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β, 所以z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α-sin β). 因为|z1-z2|=, 所以=, 两边平方后整理得cos(α-β)=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知在复平面内,O为坐标原点,向量,分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,+z2是实数. (1)求实数a的值; (2)求以,为邻边的平行四边形的面积S. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i=+(a2+2a-15)i是实数, ∴a2+2a-15=0,∴a=3或a=-5(舍去),∴a=3. (2)由(1)知z1=+i,z2=-1+i,∴=,=(-1,1), ∴||=,||=, ∴cos<,>===, ∴sin<,>==, ∴S=||||sin<,>=××=. 13 $$