10.1.2 复数的几何意义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

10.1　复数及其几何意义 10.1.2　复数的几何意义 第十章　复数 [学习目标]　1.掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.　2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.　3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 知识点1　复数与复平面内点的关系 内容索引 知识点2　复数与复平面内向量的关系 课时作业 巩固提升 知识点3　复数的模 课堂达标·素养提升 知识点4　共轭复数 3 知识点1　复数与复平面内点的关系 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为　　　　;y轴上的点除了原点外,对应的都是　　　　　　,称y轴为虚轴.  2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi一一对应 复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 实轴 纯虚数 [例1]　(1)复数z=-1+2i所对应的点在(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)复数z1=1+i和z2=1-i在复平面内的对应点关于(　　) A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称 C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称 (3)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) B A A [解析]　(1)由复数的几何意义知z=-1+2i对应复平面中的点为(-1,2), 而(-1,2)是第二象限中的点. (2)复数z1=1+i在复平面内的对应点为Z1(1,). 复数z2=1-i在复平面内的对应点为Z2(1,-). 点Z1与Z2关于实轴对称. (3)z=(m+3)+(m-1)i对应点的坐标为(m+3,m-1),该点在第四象限,所以 解得-3<m<1. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 1.找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据. 2.列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 思维提升   1.在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在y=x的图象上,分别求实数m的取值范围. 跟踪训练 解:复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10. (1)由题意得m2-2m-8=0. 解得m=-2或m=4. (2)由题意得 解得2<m<4. (3)由题意得m2-2m-8=m2+3m-10, 解得m=. 知识点2　复数与复平面内向量的关系 平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量,所以复数也可用向量来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi 向量=　　　　.  (a,b) [例2]　在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　) A.4+80i　　　　　　　　　 B.8+2i C.2+4i D.4+i [解析]　两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i. C [例3]　在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数; (2)判定△ABC的形状. [解]　(1)由复数的几何意义知: =(1,0),=(2,1),=(-1,2), 所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1),所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. (2)因为||=,||=2,||=, 所以||2+||2=||2, 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 复数与平面向量的对应关系 1.根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 思维提升 2.已知平面直角坐标系中O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(　　) A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i 跟踪训练 B 解析:向量,对应的复数分别记作z1=2-3i,z2=-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量=(2,-3),=(-3,2). 由向量减法的坐标运算可得向量=-=(2+3,-3-2)=(5,-5), 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量对应的复数是5-5i.   知识点3　复数的模 1.定义:一般地,向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值). 2.记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模用___表示. 3.公式:|z|=. |z| [例4]　已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是(　　) A.-　　　　　　　　 B.i C.±i D.± [解析]　设复数z的虚部为b,∵|z|=2,实部为1, ∴1+b2=4,∴b=±. D [例5]　已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的模等 于　　　　　.  [解析]　因为a+2i=1-bi,所以 即 复数z=1-2i,|z|=|1-2i|==. [例6]　已知复数z1=-i及z2=-+i. (1)求|z1|及|z2|的值. (2)设z∈C,满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形? [解]　(1)|z1|==2,|z2|==1. (2)由(1)知1≤|z|≤2,因为不等式|z|≥1的解集是圆心在原点,半径为1的圆及其外部所有点组成的集合,不等式|z|≤2的解集是圆心在原点,半径为2的圆及其内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并包括圆环的边界,如图所示. 求解复数的模及其几何意义应注意的问题 1.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 2.复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. 3.解决复数模的几何意义问题,需把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数模的定义,把模的问题转化为几何问题来解决. 思维提升 3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是(　　) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 解析:由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0, 即|z|=3或|z|=-1. ∵|z|≥0,∴|z|=-1应舍去,故应选A. 跟踪训练 A 4.已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围. 解:∵z=3+ai(a∈R),|z|=,由已知得<4,∴a2<7, ∴a∈(-,). 知识点4　共轭复数 1.定义:一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数. 2.表示:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi. [例7]　复数z=3-4i的共轭复数对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析]　z=3-4i的共轭复数为=3+4i,可知其对应的点在第一象限. A 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地,实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上. 思维提升 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.复数和其共轭复数都是成对出现的 B.实数不存在共轭复数 C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称 D.复数和其共轭复数的模相等 解析:由共轭复数的相关知识可知,A,D正确. 跟踪训练 AD 〈课堂达标·素养提升〉 1.复数z=i+i2(i是虚数单位),则复数在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵复数z=i+i2=-1+i,∴复数=-1-i, ∴其对应点(-1,-1)在第三象限. C 2.在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为-1+2i(i为虚数单位),若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为(　　) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 解析:因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点 为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i. B 3.已知复数z=3+2i,则=　　　　;|z|=　　　　.  解析:∵z=3+2i,∴=3-2i,|z|==. 3-2i 4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)的模是2,则点(x,y)表示的图形是 　　　　　　　　　　　　　　.  解析:∵|z|=2,∴=2,∴x2+y2=8. 则点(x,y)表示以原点为圆心,以2为半径的圆. 以原点为圆心,以2为半径的圆 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是(　　) A.z1>z2　　　　　　　 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| 解析:不全为实数的两个复数不能比较大小,排除选项A,B. 又|z1|=,|z2|=,∴|z1|<|z2|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 2.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2+i,则z2=(　　) A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i 解析:因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1),由复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),所以z2=-2+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 3.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则(　　) A.a≠2或a≠1 B.a≠2,且a≠1 C.a=0 D.a=2或a=0 解析:由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 4.已知在△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为　　　　.  解析:因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),= (-2,-3),又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1-5i 5.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=　　　　.  解析:因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知x,y∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i互为共轭复数,求复数z=x+yi和. 解:若两个复数a+bi与c+di共轭, 则a=c,且b=-d. 由此可得到关于x,y的方程组 解得或 所以或 7.当复数z1=sin -icos ,z2=2+3i时, (1)试比较|z1|与|z2|的大小; (2)设z∈C且z在复平面内对应的点为Z,则满足|z1|≤|z|≤|z2|的点Z组成的集合是什么图形? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵|z1|===, |z2|==,且=<, ∴|z1|<|z2|. (2)由|z1|≤|z|≤|z2|,得≤|z|≤, 不等式≤|z|≤等价于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵满足|z|≤的点Z组成的集合是圆心在原点,半径为的圆及其内部(包括边界),而|z|≥的点Z组成的集合是圆心在原点,半径为的圆及其外部(包括边界), ∴满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4),所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数是0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(多选)下列命题中,真命题是(　　) A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 解析:任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0总成立,∴A是真命题; 由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0,故B是真命题; 若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R), 若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|, 反之由|z1|=|z2|,推不出z1=z2, 例如z1=1+3i,z2=1-3i时|z1|=|z2|,故C是真命题; 不全为零的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,∴D是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z.若复数z对应的点P在y=x的图象 上,则θ=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 或 解析:因为点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ, 所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ), 所以=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ), 所以对应的复数是z=-1+(-2sin2θ)i. 所以点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=x, 得-2sin2θ=-,即sin2θ=,所以sin θ=±. 又因为θ∈(0,π),所以sin θ=,所以θ=或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,当θ为何值时, (1)z1=z2; (2)z1,z2对应点关于x轴对称; (3)|z2|<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)z1=z2⇔ ⇒⇒θ=2kπ+(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)|z2|<⇒ < ⇒3sin2 θ+cos2 θ<2⇒sin2 θ< ⇒kπ-<θ<kπ+(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.已知x为实数,复数z=x-2+(x+2)i. (1)当x为何值时,复数z的模最小? (2)当复数z的模最小时,复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y=-mx+n的图象上,其中mn>0,求+的最小值及取得最小值时m,n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意得|z|==≥2,显然当x=0时,复数z的模最小,最小值为2. (2)由(1)知当x=0时,复数z的模最小, 则Z(-2,2). 因为点Z在一次函数y=-mx+n的图象上,所以2m+n=2. 又mn>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)z1与z2对应点关于x轴对称, ⇒⇒ ⇒ ⇒θ=2kπ+(k∈Z). 所以+==++≥+2=+.当且仅当=, 即n2=2m2时等号成立. 又2m+n=2且mn>0,所以当m=2-,n=2-2时,+取最小值+. $$