7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解三角函数的诱导公式①②③④的意义和作用.　 2.理解诱导公式①②③④的推导过程.　3.能运用诱导公式解决一些三角函数式的求值、化简等问题. 知识点1　利用诱导公式①~④解决给角求值问题 内容索引 知识点2　利用诱导公式①~④解决给值(式)求值问题 课时作业 巩固提升 知识点3　利用诱导公式①~④解决化简问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用诱导公式①~④解决给角求值问题 1.诱导公式 诱导 公式① 角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系 sin(α+k·2π)=　　　(k∈Z),  cos(α+k·2π)=　　　(k∈Z),  tan(α+k·2π)=　　　(k∈Z)  诱导 公式② 角α与-α的三角函数值之间的关系 sin(-α)=　　　　,  cos(-α)=　　　　,  tan(-α)=　　　  sin α cos α tan α -sin α cos α -tan α 诱导 公式③ 角α与π-α的三角函数值之间的关系 sin(π-α)=　　　　,  cos(π-α)=　　　　,  tan(π-α)=　　　  诱导 公式④ 角α与π+α的三角函数值之间的关系 sin(π+α)=　　　　,  cos(π+α)=　　　　,  tan(π+α)=　　　  sin α -cos α -tan α -sin α -cos α tan α 2.角的旋转与对称 一般地,角α的终边与角β的终边关于角的终边所在的直线对称. [例1]　求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°;(2)sinπ; (3)sin;(4)cos(-1 920°). [解]　(1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-. (2)sin=sin=sinπ=sin=sin=. (3)sin=-sin=-sin=-sin=sin=. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°+120°) =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1.“ 负化正” :用公式②或③来转化. 2.“ 大化小” :用公式①将角化为0°到360°间的角. 3.“ 小化锐” :用公式③或④将大于90°的角转化为锐角. 4.“ 锐求值” :得到锐角的三角函数后求值. 思维提升 1.求下列各三角函数式的值: (1)sin 1 320°;(2)cos;(3)tan(-945°). 跟踪训练 解:(1)法一:sin 1 320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-. 法二:sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°) =-sin(180°-60°)=-sin 60°=-. (2)法一:cos=cos=cos =cos=-cos=-. 法二:cos=cos=cos =-cos=-. (3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1. 知识点2　利用诱导公式①~④解决给值(式)求值问题 [例2]　(1)已知sin=,则sin=　　　　　.  (2)已知sin=,且0<x<,则tan=　　　　　.  - - [解析]　(1)sin=sin =-sin=-. (2)∵0<x<,∴-<-x<. 又sin=>0,∴0<-x<. cos=cos=-cos=-=-=-, sin=sin=sin=, ∴tan===-. 解决给值(式)求值问题的策略 1.要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2.可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化. 思维提升 2.已知sin β= ,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为(　　) A.1 B.-1 C. D.- 跟踪训练 D 解析:∵cos(α+β)=-1,∴α+β=π+2kπ,k∈Z, ∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(π+β)=-sin β=-. 3.已知tan(148°-α)=,则tan(212°+α)=　　　　.  解析:tan(212°+α)=tan(360°+α-148°)=tan(α-148°)=-tan(148°-α)= -. - 知识点3　利用诱导公式①~④解决化简问题 [例3]　化简下列各式. (1); (2). [解]　(1)原式= ==-=-tan α. (2)原式= == ==-1. 三角函数式的化简方法 1.利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. 2.常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数. 3.注意“1”的变式应用:如1=sin2α+cos2α=tan. 思维提升 4.化简下列各式. (1); (2). 跟踪训练 解:(1)原式===1. (2)原式= ===. 〈课堂达标·素养提升〉 1.sin 690°的值为(　　) A. B. C.- D.- 解析:sin 690°=sin(720°-30°)=-sin 30°=-. C 2.点P(cos 2 024°,sin 2 024°)落在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:2 024°=6×360°-136°,∴cos 2 024°=cos(-136°)=cos 136°<0, sin 2 024°=sin(-136°)=-sin 136°<0,∴点P在第三象限. C 3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是　　　　.  解析:sin α=- ,又α是第四象限角,∴cos(α-2π)=cos α==. 4.化简:·tan(π+α)=　　　　.  解析:原式=·tan α=·=-1. -1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知cos(π+θ)=,则cos θ=(　　) A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:因为cos(π+θ)=-cos θ=,所以cos θ=-. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2. (多选)下列各式正确的是(　 　) A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 5 解析:sin(α+180°)=-sin α,∴A正确;cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),∴B错误;sin(-α-360°)=-sin(α+360°)=-sin α,∴C正确;cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),∴D正确. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 3.计算sin2150°+sin2135°+2sin 210°+cos2225°的值是(　　) A. B. C. D. 解析:原式=sin230°+sin245°-2sin 30°+cos245°=+-1+=. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 A 5 4.已知tan=,则tan=(　　) A. B.- C. D.- 解析:tan=tan=-tan=-. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 B 5 5.求值:(1)cos=　　　　;(2)tan(-855°)=　　　　.  解析:(1)cos=cos=cos=cos=-cos=-. (2)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°= -tan(180°-45°)=tan 45°=1. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 - 1 5 6.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　　.  解析:由已知可得,sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=(k∈Z). 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 7.化简下列各式. (1)sincosπ; (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°). 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 解:(1)sincosπ=-sincos=sincos=. (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°) =-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+ cos(180°+60°)sin(180°+30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=1. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 8.已知sin(π-α)-cos(π+α)=,求: (1)sin α-cos α的值; (2)sin3(2π-α)+cos3(2π-α)的值. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 解:由sin(π-α)-cos(π+α)=, 得sin α+cos α=. ∴1+2sin αcos α=,2sin αcos α=-. (1)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=, ∵<α<π,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α=. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 (2)原式=cos3α-sin3α =(cos α-sin α)(cos2α+cos αsin α+sin2α) =(cos α-sin α)(1+cos αsin α) =-× =-×=-. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 [B组　关键能力练] 9.(多选)在△ABC中,给出下列四个选项,结果为常数的是(　　) A.sin(A+B)+sin C B.cos(A+B)+cos C C.sin(2A+2B)+sin 2C D.cos(2A+2B)+cos 2C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 5 解析:sin(A+B)+sin C=2sin C; cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0; sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(A+B)]+sin 2C=sin[2(π-C)]+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C =-sin 2C+sin 2C=0; cos(2A+2B)+cos 2C=cos [2(A+B)]+cos 2C= cos[2(π-C)]+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C =cos 2C+cos 2C=2cos 2C. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 10.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2 020)=5,则f(2 024)等于(　　) A.4 B.3 C.-5 D.5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 D 5 解析:f(2 020)=asin α+bcos β+4=5, 则asin α+bcos β=1, 所以f(2 024)=(asin α+bcos β)+4=1+4=5. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 11.已知cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-3π)+cos(α-π)=　　　　.  解析:因为cos(π+α)=-cos α=-,所以cos α=. 因为π<α<2π,所以<α<2π,所以sin α=-, 所以sin(α-3π)+cos(α-π)=-sin(3π-α)+cos(π-α)=-sin(π-α)+(-cos α)=-sin α-cos α=-(sin α+cos α)=-=. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 12.已知f(x)=则f=　　　　,f=　　　　.  1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 - 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 解析:f=sin=sin=sin=, f=f-1=f-2=sin-2=--2=-. 13 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知sin(π-α)=-sin(π+β),cos(-α)=-·cos(π+β),0<α<π,0<β<π,求α,β. 13 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 解:由题意得 ①2+②2,得sin2α+3cos2α=2, 即sin2α+3(1-sin2α)=2, ∴sin2α=,∴sin α=±. ∵0<α<π,∴sin α=,∴α=或α=. 13 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 把α=,α=分别代入②, 得cos β=或cos β=-. 又∵0<β<π,∴β=或β=. ∴α=,β=或α=,β=. 13 5 $$