7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.3　同角三角函数的基本关系式 第七章　三角函数 [学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.　2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 知识点1　利用同角三角函数的基本关系式求值 内容索引 知识点2　化切求值 课时作业 巩固提升 知识点3　利用同角三角函数的基本关系式化简 课堂达标·素养提升 知识点4　一般恒等式的证明 3 知识点1　利用同角三角函数的基本关系式求值 同角三角函数的基本关系式 平方关系式:sin2α+cos2α=　　;  商数关系式:=　　　 . 1 tan α [例1]　(1)若sin α=-,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值; (2)若cos α=-,且α为第三象限角,求tan α的值; (3)若tan α=-,求sin α的值. [解]　(1)∵sin α=-,α是第三象限角, ∴cos α=-=-,tan α==-×=. (2) ∵cos α=-,α为第三象限角, ∴sin α=-=-=-, ∴tan α===. (3)∵tan α=-<0,∴α是第二、四象限角. 由可得sin2α=. 当α是第二象限角时,sin α=; 当α是第四象限角时,sin α=-. 利用同三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 1.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. 2.若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. 思维提升 1.已知α∈,tan α=2,则cos α+sin α=　　 　　.  跟踪训练 - 解析:由已知得 由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1, 所以cos2α=. 又α∈,所以cos α<0, 所以cos α=-,sin α=-, 故cos α+sin α=-. 知识点2　化切求值 [例2]　已知tan α=3,求下列各式的值. (1); (2); (3)sin2α+cos2α. [解]　(1)原式===. (2)原式===-. (3)原式====. 化切求值的方法技巧 1.已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同除以cos α或cos2α,化成关于tan α的式子,从而达到求值的目的. 2.对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可以看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值. 思维提升 2.已知tan α=2,求下列各式的值: (1); (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2 α. 跟踪训练 解:(1)===-1. (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = ===1. 知识点3　利用同角三角函数的基本关系式化简 [例3]　化简: (1); (2)sin2αtan α++2sin αcos α. [解]　(1)原式= ==1. (2)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α = ==. 三角函数式的化简技巧 1.化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. 2.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. 3.对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 思维提升 3.若θ为第二象限角,则-可化简为(　　) A.2tan θ B. C.-2tan θ D.- 跟踪训练 D 解析:原式=- =- =-=, ∵θ为第二象限角,∴原式==-. 知识点4　一般恒等式的证明 [例4]　求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. [证明]　法一:左边=2(1-sin α+cos α-sin αcos α) =1+(sin2α+cos2α)-2sin α+2cos α-2sin αcos α =(1-2sin α+sin2α)+2cos α(1-sin α)+cos2α =(1-sin α)2+2cos α(1-sin α)+cos2α =(1-sin α+cos α)2=右边. ∴原式成立. 法二:令1-sin α=x,cos α=y,则 由sin2α+cos2α=1,消去α得(1-x)2+y2=1, 即x2+y2=2x, ∴左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy =(x+y)2=(1-sin α+cos α)2=右边. ∴原式成立. 证明三角恒等式的常用方法 1.从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则. 2.证明左右两边等于同一个式子. 3.证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. 4.证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立. 思维提升 4.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 跟踪训练 证明:因为tan2α=2tan2β+1, 所以tan2α+1=2tan2β+2, 所以+1=2, 通分可得=, 即cos2β=2cos2α, 所以1-sin2β=2(1-sin2α), 即sin2β=2sin2α-1. 〈课堂达标·素养提升〉 1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是(　　) A.tan α=- B.cos α=- C.sin α=- D.tan α= B 解析:由商数关系可知A,D项均不正确,当α为第二象限角时,cos α<0,sin α>0,故B项正确. 2.若cos α=-,且α是第三象限角,则tan α的值等于(　　) A. B.- C. D.- A 解析:由题意可得sin α=-=-,∴tan α==. 3.化简(1+tan215°)·cos215°=　　　　.  解析:(1+tan215°)·cos215°=·cos215°=· cos215°=1. 1 4.已知tan θ=2,则=　　　　　.  解析:===-3. -3 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列结论中成立的是(　　) A.sin α=且cos α= B.tan α=2且= C.tan α=1且cos α=± D.sin α=1且tan α·cos α=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:A中,sin2α+cos2α=≠1,故不成立;B中,=,即tan α=3,与tan α=2矛盾,故不成立;D中,sin α=1时,角α的终边落在y轴的非负半轴上,此时tan α无意义,故不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.化简的结果是(　　) A.sin B.-sin C.cos D.-cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为0<< ,所以cos>0,所以==cos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知=2,则sin θcos θ的值是(　　) A. B.± C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由题意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),所以(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2, 解得sin θcos θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ的值是(　　) A. B. C. D. 解析:1+sin θcos θ=1+=1+=1+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 5.化简-的值为　　　　　.  解析:-= ==-2tan2θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -2tan2θ 6.若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　.  解析:由已知得(sin θ-cos θ)2=2,所以sin θcos θ=-, 所以tan θ+=+==-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -2 7.化简:(1); (2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)原式 = = ===1. (2)原式===cos θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知=2,计算下列各式的值: (1); (2)sin2α-2sin αcos α+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:由=2,化简得sin α=3cos α, 所以tan α=3. (1)原式===. (2)原式=+1=+1=+1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)化简的结果是(　　) A.cos 160° B.|cos 160°| C.±cos 160° D.-cos 160° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:因为160°角为第二象限角,所以== |cos 160°|=-cos 160°,选项B,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知sin α,cos α是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sin α+cos α=　　　　,m=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由题意知 因为(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α,所以=1-m,所以m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在△ABC中,若tan A=,则sin A=　　　　.  解析:由tan A=>0且角A是△ABC的内角可得0<A<, 又解得sin A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知在△ABC中,sin A+cos A=. (1)求sin A·cos A的值; (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求tan A的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由sin A+cos A=, 两边平方,得1+2sin A·cos A=, 所以sin A·cos A=-. (2)由(1)得sin A·cos A=-<0. 又0<A<π, 所以sin A>0,cos A<0, 所以A为钝角,所以△ABC是钝角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)因为sin A·cos A=-, 所以(sin A-cos A)2=1-2sin A·cos A=1+=, 又sin A>0,cos A<0, 所以sin A-cos A>0, 所以sin A-cos A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又sin A+cos A=, 所以sin A=,cos A=-, 所以tan A===-. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设这两个锐角为A,B, 因为 A+B=90°,所以 sin B=cos A, 所以sin A,cos A为8x2+6kx+2k+1=0的两个根, 所以 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②代入①2,得9k2-8k-20=0,解得k1=2,k2=- , 当k=2时,原方程变为8x2+12x+5=0, 因为Δ<0,所以方程无解;将k=- 代入②, 得sin Acos A=-<0, 所以A是钝角,与已知直角三角形矛盾,所以不存在满足已知条件的k. 13 $$