7.2.1 三角函数的定义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 第七章　三角函数 [学习目标]　1.理解任意角的三角函数的定义.　2.掌握三角函数值在各个象限的符号.　3.掌握由角或角终边上点的坐标求角的正弦、余弦、正切. 知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 内容索引 知识点2　正弦、余弦与正切在各象限的符号 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=   定义 正弦 称为角α的正弦,记作sin α,即sin α= 余弦 称为角α的余弦,记作cos α,即cos α= 正切 当角α的终边不在y轴上时,称为角α的正切,记作tan α,即tan α= (α≠kπ+,k∈Z) 角α的正弦、余弦、正切都称为α的　　　　　　  三角函数 [例1]　(1)若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有(　　) A.(-4,3)　　　　　 B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) (2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α=　　　　.  [分析]　(1)由定义确定终边位置,结合函数值求解. (2)分a>0,a<0两种情况分别求解. A 1或-1 [解析]　 (1)由sin α,cos α的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意. (2)因为r==5|a|, ①若a>0,则r=5a,角α在第二象限. sin α===,cos α===-, 所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限, sin α==-,cos α==, 所以2sin α+cos α=-+=-1. 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤: 1.已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有: 由α的终边上一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便. 2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论. 思维提升 1.设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.若点P的坐标为,求f(θ)的值. 解:由点P的坐标为和三角函数定义得sin θ=,cos θ=, 所以f(θ)=sin θ+cos θ=×+=2. 跟踪训练 知识点2　正弦、余弦与正切在各象限的符号 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示: (2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. [例2]　判断下列各式的符号. (1)sin 2 022°cos 2 023°tan 2 024°; (2)tan 191°-cos 191°; (3)sin 2cos 3tan 4. [分析]　先确定角所在象限,再进一步确定各式的符号. [解]　(1)∵2 022°=5×360°+222°,2 023°=5×360°+223°,2 024°=5×360°+224°. ∴它们都是第三象限角, ∴sin 2 022°<0,cos 2 023°<0,tan 2 024°>0, ∴sin 2 022°cos 2 023°tan 2 024°>0. (2)∵191°角是第三象限角, ∴tan 191°>0,cos 191°<0, ∴tan 191°-cos 191°>0. (3)∵<2<π,<3<π,π<4<, ∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角. ∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 判断三角函数值正负的步骤 1.定象限:确定角α所在的象限. 2.定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来判断. 思维提升 2.已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是(　　) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 跟踪训练 C 解析:∵cos θ·tan θ<0, ∴或 由得角θ为第三象限角. 由得角θ为第四象限角. ∴角θ为第三或第四象限角. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知P(1,-5)是α终边上一点,则sin α=(　　) A.1 B.-5 C.- D. 解析:∵x=1,y=-5,∴r=,∴sin α==-. C 2.sin 1·cos 2·tan 3的值是(　　) A.正数 B.负数 C.0 D.不存在 解析:∵0<1<,<2<π,<3<π,∴sin 1>0,cos 2<0,tan 3<0,∴sin 1·cos 2·tan 3>0. A 3.计算:tan=　　　　　.  4.已知角α的终边过点P(12,a),且tan α=,则sin αcos α的值为　　　　.  解析:根据三角函数的定义,tan α==, 所以a=5,所以P(12,5),r=13, 所以sin α=,cos α=,从而sin αcos α=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知角α的终边过点(12,-5),则sin α+cos α等于(　　) A.- B. C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:∵r==13,∴sin α=-,cos α=, ∴sin α+cos α=-+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.给出下列函数值:① sin(-1 000°);② cos;③ tan 2,其中符号为负的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:因为-1 000°=-3×360°+80°,所以-1 000°是第一象限角,则sin(-1 000°)>0; 因为-是第四象限角,所以cos>0; 因为<2<π,所以2是第二象限角,所以tan 2<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则cos α的值等于(　　) A. B.- C.- D.- 解析:因为sin 30°=,cos 30°=,所以P点坐标为(1,-),所以r=2, cos α==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 4.(多选)角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,且a≠0,则sin α的值可以是(　　) A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 14 解析:当a>0时,|OP|==a,由三角函数的定义得sin α=a=; 当a<0时,|OP|=-=-a,由三角函数的定义得sin α==-,故A,B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知角α的终边上一点(1,m),且sin α=,则m=　　　　.  解析:角α的终边上一点P(1,m),所以r=|OP|=,所以sin α==, 所以m>0,解得m=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为≤0,>0,所以x≤0,y>0,即故-2<a≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (-2,3] 14 7.判断下列式子的符号: (1)cos 3·tan; (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为<3<π,所以3是第二象限角, 所以cos 3<0,又-是第三象限角, 所以tan>0,所以cos 3·tan<0. (2)因为θ是第二象限角,所以-<-1<cos θ<0,所以sin(cos θ)<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知角α的终边上一点P(-,m),且sin α=m,求cos α,tan α的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:由于r==, 又sin α==,由已知,得=m, 所以m=0或m=或m=-. 当m=0时,r=,y=0, 所以cos α=-1,tan α=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当m=时,r=2,y=, 所以cos α=-,tan α=-. 当m=-时,r=2,y=-, 所以cos α=-,tan α=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知函数y=loga(x-4)-12(a>0且a≠1)的图象过定点P,且角θ的终边经过点P,则(　　) A.P(4,-12) B.sin θ=- C.cos θ=- D.tan θ=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 解析:因为y=loga(x-4)-12(a>0且a≠1), 令x-4=1,即x=5,得y=loga1-12=-12, 即P(5,-12),sin θ==-, cos θ==,tan θ=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.函数y=++的值域是(　　) A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3} C.{-1,3} D.{-1,1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由题意可知,角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=-1+1-1=-1.因此所求函数的值域为{-1,3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知点P(3,y)在角α的终边上,且满足y<0,cos α=,则tan α的值为 　　　　,sin α的值为　　　　.  解析:因为=,y<0,所以y=-4,所以tan α=-,sin α==-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - - 14 12.若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n=　　　　.  解析:因为y=3x,sin α<0,所以点P(m,n)位于y=3x在第三象限的图象上,且m<0,n<0,n=3m.所以|OP|==|m|=-m=.所以m=-1,n= -3,所以m-n=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.α是第三象限角,且|cos|=-cos,试判断的终边所在象限. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为α是第三象限角, 所以2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, 所以kπ+<<kπ+,k∈Z, 所以的终边在第二或第四象限. 又因为|cos|=-cos,所以cos<0, 所以是第二或第三象限角, 所以是第二象限角,的终边在第二象限. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知=-,且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限; (2)若角α的终边上一点是M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由=-, 可知sin α<0,所以α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角. 由lg(cos α)有意义可知cos α>0, 所以α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负轴上的角,所以角α是第四象限角. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±. 又α是第四象限角,故m<0,从而m=-. 由正弦函数的定义可知sin α====-. 13 14 $$