7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.　2.理解“1弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数. 知识点1　弧度制的概念 内容索引 知识点2　弧度制与角度制的换算 课时作业 巩固提升 知识点3　弧度制下的扇形的弧长与面积公式 课堂达标·素养提升 3 知识点1　弧度制的概念 1.弧度制:以 为单位来度量角的制度. 2.1弧度的角:长度等于 的圆弧所对的圆心角. 3.弧度数的计算公式:在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α=. 弧度 半径长 [例1]　下列命题中,假命题是(　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 D [解析]　 根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长与半径的比值有关,所以D项是假命题,A,B,C项均为真命题. 弧度制与角度制的区别与联系 思维提升 区别 1.单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度”为度量单位. 2.定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值 1.下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 跟踪训练 A 解析:对于A,根据弧度的定义知,1弧度的圆心角所对的弧长等于半径,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以不是正角,故D错误. 知识点2　弧度制与角度制的换算 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2π rad=______ 180°= rad π rad=______ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30° 度数×=弧度数 弧度数×°=度数 2π 360° π 180° 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 弧度 0° 0 30° 45° 　　　  90° 60° 角度 弧度 120° 135° 150° 180° π 270° 360° 　　  2π [例2]　设角α1=-570°,α2=750°,β1=π,β2=-π. (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限; (2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所有角. [分析]　解答本题(1)可先将-570°,750°化为弧度角再将其写成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,解答(2)可先将β1,β2用角度制表示,再将其写成β+k·360°(k∈Z)的形式. [解]　(1)α1=-570°=-π=-4π+π, α2=750°=π=4π+. ∴α1在第二象限,α2在第一象限. (2)β1==108°,设θ=β1+k·360°(k∈Z), 由-720°≤θ<0°,得-720°≤108°+k·360°<0°, ∴k=-2或k=-1, ∴在-720°~0°间与β1有相同终边的角是-612°和-252°. 同理β2=-420°且在-720°~0°间与β2有相同终边的角是-60°. 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×°=度数. 思维提升 2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合. 跟踪训练 解:因为30°= rad,210°= rad, 这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,从而终边落在阴影部分内的角的集合为. 知识点3　弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则 (1)弧长公式:l=αR. (2)扇形的面积公式:S=lR=αR2. [例3]　设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.1 rad　　　　　　　　　 B.2 rad C.3 rad D.4 rad B [解析]　设扇形半径为r,弧长为l,由题意得 解得 则圆心角α==2 rad. 扇形的弧长和面积的求解策略 1.记公式:面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π). 2.找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 思维提升 3.用30 cm长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 跟踪训练 解:设扇形的圆心角为α,半径为r,面积为S,弧长为l,则有l+2r=30, ∴l=30-2r,从而S=·l·r=(30-2r)·r=-r2+15r=-+, ∴当半径r= cm时,l=30-2×=15 cm,扇形面积的最大值是 cm2,这时α==2 rad, ∴当扇形的圆心角为2 rad,半径为 cm时,面积最大,为 cm2. 〈课堂达标·素养提升〉 1.把56°15'化为弧度是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:56°15'=56.25°=×=. D 2.在半径为10的圆中,240°的圆心角所对弧长为(　　) A. B.π C.π D.π 解析:240°=240× rad=π rad,∴弧长l=α·r=π×10=π. A 3.将-1 485°化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为　　 　　.  解析:由-1 485°=-5×360°+315°,所以-1 485°可以表示为-10π+π. -10π+π 4.已知扇形的半径为R cm,面积为R2 cm2,那么这个扇形的圆心角的弧度数是　　　　.  解析:∵S=lR=R2,∴l=2R,∴=2,故圆心角为2. 2 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.-690°化为弧度是(　　) A.- B.- C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为1°=, 所以-690°=-690×=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知α=-3,则角α的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为1 rad≈57.3°,故α=-3≈-171.9°,所以α在第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 3.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ为(　　) A.- B. C. D.- 解析:∵-=-2π-,∴θ=-.又-=-4π+,∴θ=.∴使|θ|最小的θ=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数的绝对值为(　　) A. B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:设所在圆的半径为r,圆内接正三角形的边长为2rsin 60°=r,所以弧长r的圆心角的弧度数为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.“亲爱的考生,本场考试需要2个小时”,则在本场考试中,钟表的时针转 过的弧度数为　　　　.  解析:由题意知×2π=,因为是顺时针,故钟表的时针转过的弧度数为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - 6.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是　　　　　弧度,扇形面积是　　　　　.  解析:|α|===, S=l·r=×12×8=48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 7.把下列角化成2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角:(1);(2)-1 104°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)=6π+, ∵是第四象限角,∴是第四象限角. (2)-1 104°=-1 104×=-π=-8π+, ∵是第四象限角, ∴-1 104°是第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.扇形AOB的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设扇形的圆心角为θ,扇形所在圆的半径为R. 依题意有解得θ=或6. 即圆心角的大小为弧度或6弧度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设扇形所在圆的半径为 x cm, 则扇形的圆心角θ=. 于是扇形的面积是S=x2·=4x-x2=-(x-2)2+4. 故当x=2 cm时,S取到最大值. 此时圆心角θ==2弧度,弦长AB=2·2sin 1=4sin 1(cm). 即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度,弦长AB等于4sin 1 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.2 rad的角在第二象限 B.π与π是终边相同的角 C.π是第四象限角 D.75°化为弧度为 rad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析:<2<π,故是第二象限角,A正确;+3π=,故与终边不同,B错误;π=4π-是第四象限角,C正确;D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R,若扇形的周长是一定值C(C>0),该扇形的最大面积为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:设扇形的半径为R,则扇形的弧长为C-2R,则S=(C-2R)R=-R2+R= -+,当R=,即α==2时,扇形的面积最大,最大面积为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N= 　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由-π<-<π,得-<k<. 因为k∈Z,所以k=-1,0,1,2, 所以M∩N=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　　　　 m2(精确到1 m2).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:=120°,根据题意得, 弦=2×4sin=4(m),矢=4-2=2(m), 因此弧田面积=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒, 则t·+t·|-|=2π, 所以t=4秒,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒. P点走过的弧长为×4=, Q点走过的弧长为×4=. 13 $$