8.2.4 三角恒等变换的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．2　三角恒等变换 8．2.4　三角恒等变换的应用 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.能用倍角公式推导半角公式，体会其中的三角恒等变换的思想．　2.了解积化和差、和差化积两组公式的推导过程．　 3.掌握三角恒等变换的简单应用． 知识点1　半角公式 内容索引 知识点2　积化和差、和差化积 课时作业 巩固提升 知识点3　公式的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　半角公式 利用半角公式求值的思路 1．看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． 2．明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． 思维提升 跟踪训练 化简问题中的“三变” 1．变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． 2．变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． 3．变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 思维提升 跟踪训练 三角恒等式证明的五种常用方法 1．执因索果法：证明的形式一般化繁为简． 2．左右扫一法：证明左右两边都等于同一个式子． 3．拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． 4．比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． 5．分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 思维提升 跟踪训练 知识点2　积化和差、和差化积 [例4]　求值：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°； (2)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°. 在运用积化和差、和差化积求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系． 思维提升 4．求下列各式的值： (1)sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝________； (2)sin 54°－sin 18°＝________． 跟踪训练 知识点3　公式的综合应用 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 B 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析：原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)S：sin ＝± . (2)C：cos ＝± . (3)T：tan ＝± . tan ＝＝. 角度1　求值问题 [例1]　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . [解]　sin ＝± ＝± ＝±， cos ＝± ＝± ＝±， tan ＝± ＝±＝±. ∵α为第四象限角，∴为第二或第四象限角． 当为第二象限角时，sin ＝，cos ＝－，tan ＝－； 当为第四象限角时，sin ＝－，cos ＝，tan ＝－. 3．选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 4．下结论：结合2求值． 1．已知sin α＝－，则tan ＝__________． －或－2 解析：因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝＝＝－； 若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2. 角度2　化简问题 [例2]　已知<θ<2π，试化简：－. [解]　因为<θ<2π，所以<<π， 所以0＜sin ＜，－1＜cos ＜－， 从而sin ＋cos ＜0，sin －cos ＞0， 所以原式＝|sin ＋cos |－|sin －cos | ＝－－ ＝－2sin . 2．化简 ＋，其中3π<θ<4π. 解：由cos 2θ＝1－2sin2θ＝2cos2θ－1，可得＝cos2θ，＝sin2θ， 所以＋＝＋， 由3π<θ<4π，可知<<2π， 得原式＝cos －sin ＝cos . 角度3　三角恒等式的证明 [例3]　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2. (2)求证：＝. [分析]　(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后再整理可证． (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化． [证明]　(1)左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 3．已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin (2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求证：α＋β＝. 证明：因为3sinβ＝sin (2α＋β)， 即3sin (α＋β－α)＝sin (α＋β＋α)， 所以3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α， 所以2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α， 所以tan (α＋β)＝2tan α. 又因为4tan ＝1－tan2，所以tanα＝＝， 所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 因为α＋β∈，所以α＋β＝. 1．积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]. (2)sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. (3)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]. (4)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]. 2．和差化积公式 (1)cos x＋cos y＝2cos cos . (2)cos x－cos y＝－2sin sin . (3)sin x＋sin y＝2sin cos . (4)sin x－sin y＝2cos sin . [解]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. (2)原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20° ＝cos 20°＋－cos 20°＝. 解析：(1)原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°) ＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－ ＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70° ＝－sin 70°＋sin 70°＝. (2)原式＝2cos 36°sin 18° ＝2× ＝ ＝＝＝. [例5]　在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin ·sin cos . [分析]　利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π. [证明]　左边＝sin (B＋C)＋2sin cos ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2cos ＝4sin sin cos ＝右边， 所以原等式成立． 5．在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos ·cos . 证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)， 即＝90°－，所以cos ＝sin ， 所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin cos ＋sin (A＋B) ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ＝2cos ·2cos cos ＝4cos cos cos ， 所以原等式成立． 1．sin 75°－sin 15°的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析：sin 75°－sin 15°＝2cos sin ＝2××＝. 2．已知cos α＝，α为第四象限角，则tan 的值为__________． 解析：因为α为第四象限角，所以sin α＜0， 所以sin α＝－＝－＝－， 所以tan ＝＝＝. 3．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin αcos β＝________． 解析：sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)＝×＋×＝. [A组　必备知识练] 1．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：因为α∈，所以∈，sin ＝＝. 2．cos 15°sin 105°＝(　　) A．＋ B．－ C．＋1 D．－1 解析：cos 15°sin 105°＝[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]＝[sin 120°－sin (－90°)]＝×＋×1＝＋. 3．若sin 74°＝m，则cos 8°＝(　　) A. B．± C. D．± 解析：因为sin 74°＝m＝cos 16°，所以cos 8°＝＝ . 4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为(　　) A．0 B． C． D．1 5．设5π＜θ＜6π，cos ＝a，则sin =___________． － 解析：由sin2＝，因为θ∈(5π，6π)，所以∈， 所以sin ＝－＝－. 6．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos (α＋β)＝________． － 解析：∵cos α＋cos β＝2cos cos ＝2cos ·cos ＝cos ＝， ∴cos (α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 7．已知cos2θ＝，＜θ＜π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解：(1)因为cos 2θ＝，所以＝， 所以＝，解得tanθ＝±. 因为＜θ＜π，所以tan θ＝－. (2)因为＜θ＜π，tan θ＝－， 所以sin θ＝，cos θ＝－， 所以＝＝＝－4. 8．求证：tan －tan ＝. 证明：法一：因为tan －tan ＝－ ＝＝ ＝＝ ＝. 所以原式成立． 法二：因为＝ ＝＝－ ＝tan －tan ， 所以原式成立． [B组　关键能力练] 9．(多选)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 的结果可能为(　　) A．2 B． C．－2 D．不存在 解析：当1＋cos θ＝0时，tan 不存在．当1＋cos θ≠0时，tan ＝＝＝＝＝. 10．若sin ＋2cos ＝0，则tan ＝________，tan θ＝________． 解析：由sin ＋2cos ＝0，得tan ＝－2，则tan θ＝＝. 11．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________． 解析：因为A＋B＝，所以cos2A＋cos2B＝(1＋cos2A＋1＋cos 2B) ＝1＋(cos 2A＋cos 2B) ＝1＋cos (A＋B)cos (A－B)＝1＋cos cos (A－B) ＝1－cos (A－B)，所以当cos (A－B)＝－1时， 原式取得最大值； 当cos (A－B)＝1时，原式取得最小值. 12．已知sin sin ＝，α∈，求2sin2α＋tanα－－1的值． 解：因为sin sin ＝， 所以2sin cos ＝， 即sin ＝，所以cos 4α＝. 而2sin2α＋tanα－－1＝－cos 2α＋＝ －. 因为α∈，所以2α∈， 所以cos 2α＝－＝－， tan 2α＝－＝－， 所以－＝， 即2sin2α＋tanα－－1的值为. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数． (2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取＝1.414) 解：(1)由题意，可知M为的中点，所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F(图略)， 则BC＝2R sin θ，OF＝R cos θ， 所以AB＝OF－AD＝R cos θ－R sin θ， 所以S＝AB·BC＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ) ＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos 2θ) ＝R2sin －R2，θ∈. (2)因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值． Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2). 故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2. $$