8.2.3 倍角公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．2　三角恒等变换 8．2.3　倍角公式 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．　2.能熟练运用倍角公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用． 知识点1　倍角公式 内容索引 知识点2　利用二倍角公式解决条件求值问题 课时作业 巩固提升 知识点3　利用二倍角公式进行化简证明 课堂达标·素养提升 知识点4　倍角公式与三角函数性质的综合应用 3 知识点1　倍角公式 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 思维提升 跟踪训练 知识点2　利用二倍角公式解决条件求值问题 [答案]　(1)D　(2)C 直接应用二倍角公式求值的三种类型 思维提升 跟踪训练 知识点3　利用二倍角公式进行化简证明 三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分． 思维提升 跟踪训练 角度2　恒等式证明问题 [例5]　求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B. [分析]　可考虑从左向右的证题思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式． 证明三角恒等式的原则与步骤 1．观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角．如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． 2．证明恒等式的一般步骤 (1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； (2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 思维提升 5．求证：cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ. 跟踪训练 知识点4　倍角公式与三角函数性质的综合应用 倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k(或y＝A cos (ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 D B π 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S2α：sin 2α＝________________． C2α：cos 2α＝______________＝______________＝________________． T2α：tan 2α＝. [例1]　化简求值． (1)sincos cos ； (2)1－2sin2750°； (3)tan150°＋. [分析]　灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． [解]　(1)原式＝cos ＝sin ·cos ＝＝sin ＝， 所以原式＝. (2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝， 所以原式＝. (3)原式＝＝＝ ＝＝＝－＝－， 所以原式＝－. 二倍角公式的灵活运用 1．公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α. 2．公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝. 1．求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)2sin2＋1； (3)cos20°cos 40°cos 80°； (4). 解：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝－＋2＝2－cos＝. (3)原式＝ ＝ ＝＝＝. (4)原式＝＝＝2. [例2]　(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ (2)已知sin ＝，则cos 的值等于(　　) A． B． C．－ D．－ [分析]　(1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用π－2α＝2求值． [解析]　(1)因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝＝＝－. (2)因为cos＝sin ＝sin ＝， 所以cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. [例3]　已知cosα＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈. (1)求sin 2α的值；(2)求cos (2α＋β)的值． [分析]　可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos (2α＋β). [解]　(1)因为α是第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝. (2)因为β∈，sin β＝， 所以cos β＝－＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－. 2．已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________． － 解析：因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝. 3．已知sinsin ＝，且α∈，求tan 4α的值． 解：因为sin ＝sin ＝cos ， 则已知条件可化为sin cos ＝， 即sin ＝， 所以sin ＝，所以cos 2α＝. 因为α∈，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－＝－， 所以tan2α＝＝－2， 故tan 4α＝＝－＝. 角度1　化简问题 [例4]　化简：. [分析]　可先切化弦，再利用二倍角公式化简． [解]　法一：原式＝＝ ＝＝＝sin cos ·cos α＝sin αcos α＝sin 2α. 法二：原式＝＝cos2α·＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α. 4．化简：. 解：原式＝ ＝＝ ＝＝＝＝tan . [证明]　左边＝－＝ ＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2A sin 2B)＝cos 2A cos 2B＝右边，所以等式成立． 证明：法一：左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．故原式得证． 法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．故原式得证． [例6]　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinx cos x，x∈的最小值，并求其单调递减区间． [分析]　→ →→ [解]　f(x)＝5×＋×－2sin 2x ＝3＋2cos 2x－2sin 2x＝3＋4 ＝3＋4 ＝3＋4sin ＝3－4sin . 因为≤x≤，所以≤2x－≤， 所以sin ∈，所以当2x－＝，即x＝时， f(x)取最小值为3－2. 因为y＝sin 在上单调递增，所以f(x)在上单调递减．即f(x)的单调递减区间为. 6．求函数y＝sin4x＋2sinx cos x－cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间． 解：y＝sin4x＋2sinx cos x－cos4x ＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sinx cos x ＝－cos 2x＋sin 2x＝2 ＝2sin ， 所以T＝＝π，ymin＝－2. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈[0，π]，所以令k＝0，得函数的单调递减区间为. 1.的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝. 2．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α. 因为α∈，所以2sinα＝cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1， 所以sin2α＝.又α∈，所以sinα＝. 3．已知tan α＝－，则＝________． － 解析：＝ ＝＝tanα－＝－. 4．函数f(x)＝2cos2－1的最小正周期为________． 解析：f(x)＝cos＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π. [A组　必备知识练] 1．sin 105°cos 105°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：sin 105°cos 105°＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－. 2．若tan α＝3，则＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：＝＝＝2tan α＝6. 3．(多选)已知sin ＝，则的值可以等于(　　) A．　　 B． C．－　　　 D．－ 解析：因为＝＝， 由sin ＝， 得(sin θ－cos θ)＝，两边平方得sin 2θ＝， 所以cos 2θ＝±，所以原式＝＝±. 4．下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法错误的是(　　) A．最小正周期为π B．最大值为1，最小值为－1 C．函数图象关于直线x＝0对称 D．函数图象关于点对称 解析：函数f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确． 最大值为1，最小值为－1，B正确． 由2x＝kπ＋⇒x＝＋，k∈Z，得函数图象关于直线x＝＋，k∈Z对称，C错误． 由2x＝kπ⇒x＝，k∈Z，得函数图象关于点，k∈Z对称，D正确． 5．计算＝________． － 解析：＝×＝tan150°＝－tan 30°＝－. 6．函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是________． 解析：f(x)＝sin－2sin2x＝sin2x－cos 2x－2× ＝sin 2x＋cos 2x－＝sin －， 故最小正周期为π. 7．已知cos ＝，α∈. 求：(1)cos α－sin α的值； (2)cos 的值． 解：(1)因为cos ＝，α∈， 所以＝， cos α＋sin α＝，平方化简可得sin 2α＝－. 又α∈， 所以sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝ －＝－＝－. (2)cos ＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)－sin 2α＝. [B组　关键能力练] 8．(多选)若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，则关于f(x)的说法正确的是(　　) A．最小正周期为2π B．最大值为2 C．最大值为1 D．当x＝－时，可取最小值 解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝sin x＋cos x＝2sin ， 所以T＝2π，最大值为2，当x＝－时，f ＝2sin ＝2sin ＝－2，取最小值． 9．4cos 50°－tan 40°等于(　　) A． B． C． D．2－1 解析：4cos 50°－tan 40°＝ ＝＝ ＝＝＝. 10．函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为________． 解析：因为y＝sin2x＋(1－cos 2x)＝2sin ＋，所以最小正周期T＝π. 11．已知tan ＝2，则tan α的值为________，tan 的值为________． － － 解析：因为tan ＝2， 所以tan α＝＝＝－， tan＝＝＝－. [C组　素养培优练] 12．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f ＝0，其中a∈R，θ∈(0，π). (1)求a，θ的值； (2)若f ＝－，α∈，求sin 的值． 解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以 f(x)＝－sin 2x(a＋2cos2x)， 由f ＝0，得－(a＋1)＝0，得a＝－1. (2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f ＝－sin α＝－，即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，所以有sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝. $$