8.2.1 两角和与差的余弦-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．2　三角恒等变换 8．2.1　两角和与差的余弦 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．　2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 知识点1　两角和与差的余弦公式 内容索引 知识点2　给值(式)求值 课时作业 巩固提升 知识点3　给值求角 课堂达标·素养提升 3 知识点1　两角和与差的余弦公式 对任意α与β，都有 Cα－β：cos (α－β)＝________________________________________． Cα＋β：cos (α＋β)＝________________________________________． cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β C [例2]　化简下列各式： (1)cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 思维提升 跟踪训练 知识点2　给值(式)求值 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． 1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 思维提升 跟踪训练 知识点3　给值求角 解决给值求角问题的一般步骤 1．求角的某一个三角函数值． 2．确定角的范围． 3．根据角的范围写出要求的角． 思维提升 跟踪训练 B 〈课堂达标·素养提升〉 A A 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．计算cos (α＋120°)cos α－sin (α＋120°)sin (－α)＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [例1]　cos 345°的值等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D．－ [解析]　cos 345°＝cos (360°－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝. [解]　(1)原式＝cos [(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)sin (360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝. 1．求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°)； (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α). 解：(1)cos ＝cos ＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－ ＝－＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)原式＝cos [(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos 60°＝. [例3]　已知cos α＝，α∈，则cos ＝ _____________． [分析]　可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos . [解析]　 因为cos α＝，α∈，所以sin α＝－， 所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. [例4]　α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值． [分析]　可考虑拆角，即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. [解]　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 又因为cos (α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.又因为cos (2α＋β)＝，所以0<2α＋β<， 所以sin (α＋β)＝，sin (2α＋β)＝， 所以cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos (2α＋β)cos (α＋β)＋sin (2α＋β)sin (α＋β)＝×＋×＝. 2．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值． 解：因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos α＝，cos (α＋β)＝－， 所以sin α＝ ＝， sin(α＋β)＝ ＝. 又因为β＝(α＋β)－α， 所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α ＝－×＋×＝. [例5]　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． [分析]　本题可先求出cos (α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值． [解]　因为α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α<sin β，所以0<α<β<，所以－<α－β<0.故α－β＝－. 3．若sin ＝－，sin ＝，其中＜α＜，＜β＜，则角α＋β的值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：因为＜α＜，所以－＜－α＜0. 因为＜β＜，所以＜＋β＜， 由已知可得cos ＝，cos ＝－， 则cos (α＋β)＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝－. 因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 1．下列式子中，正确的个数为(　　) ①cos (α－β)＝cos α－cos β；②cos ＝sin α； ③cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误；cos ＝－sin α，故②错误． 2．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin (α＋β)＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝－×＋×＝. 3．已知cos α＝，α∈，则cos ＝________． 解析：因为cos α＝，α∈， 所以sin α＝ ＝＝， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. [A组　必备知识练] 1．(多选)下列各式化简正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos ＝cos α－sin α 解析：根据两角和与差的余弦公式可知选项A，B，C都正确，选项D，cos ＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α. 2．已知cos ＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　) A． B． C． D． 解析：因为θ∈，所以θ＋∈， 所以sin ＝. 故cos θ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝. 3．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos (α－60°)为(　　) A． B． C． D． 解析：因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos (α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝. 4．若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 解析：由cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝可得 则sin αsin β＝，cos αcos β＝. 故tan αtan β＝＝＝. － 解析：法一：cos (α＋120°)cos α－sin (α＋120°)sin (－α)＝cos (α＋120°)cos (－α)－sin (α＋120°)sin (－α)＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－. 法二：cos (α＋120°)cos α－sin (α＋120°)sin (－α)＝cos (α＋120°)cos α＋sin (α＋120°)sin α ＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－. 6．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos (α－β)＝________． 解析：因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以|a|＝|b|＝1. 又因为a与b的夹角为， 所以a·b＝|a||b|cos ＝1×1×＝. 又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)， 所以cos (α－β)＝. 7．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.求cos (2α－β)的值． 解：因为α，β∈，所以α－β∈. 又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<， 由题意得，sin α＝ ＝， cos(α－β)＝ ＝， cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin α·sin (α－β) ＝×－×＝. 8．已知cos (α－β)＝－，sin (α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值． 解：因为<α－β<π，cos (α－β)＝－，所以sin (α－β)＝. 因为<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－，所以cos (α＋β)＝， 所以cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝×＋×＝－1. 因为<α－β<π，<α＋β<2π，所以<2β<，2β＝π，所以β＝. [B组　关键能力练] 9．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝π，β＝π B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析：由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意． 10．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　) A． B． C． D． 解析：cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin α·sin (α－β)， 由已知cos α＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin (α－β)＝， 代入上式得cos β＝×＋×＝＝，所以β＝. 11．已知α，β均为锐角，且满足sin α＝，cos β＝，则cos (α－β)＝________，cos 2β＝________． 解析：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝. 因为>，所以α>β， 因此cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝， sin (α－β)＝ ＝， cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，sin (α＋β)＝ ＝， cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α－β)cos (α＋β)＋sin (α－β)sin (α＋β)＝. 12．已知函数y＝sin (0<φ<π)的部分图象如图所示，其中， 点A(－1，)和点B(3，－)是图象上的两个点，设∠AOB＝θ，其 中O为坐标原点，θ∈(0，π)，则cos (θ－φ)＝_____________． 解析：将点(－1，)代入方程，得sin ＝1， ∴－＋φ＝＋2kπ，k∈Z. ∵0<φ<π，∴φ＝. 在Rt△AOC中，AC＝1，OC＝，∴∠AOC＝. 在Rt△BOD中，OD＝3，BD＝， ∴∠BOD＝，∴∠AOB＝θ＝， ∴cos (θ－φ)＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝. 13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin (α＋π)的值； (2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值． 解：(1)由角α的终边过点P得sin α＝－， 所以sin (α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的终边过点P， 得cos α＝－， 由sin (α＋β)＝得cos (α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. [C组　素养培优练] 14．已知向量a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)，且a·b＝2. (1)求cos (α＋β)的值； (2)若0<α<，0<β<，且sin α＝，求2α＋β的值． 解：(1)因为a＝(sin α，cos α－sin α)，b＝(cos β－sin β，cos β)， 所以a·b＝sin α(cos β－sin β)＋(cos α－sin α)·cos β ＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β). 因为a·b＝2，所以cos (α＋β)＝2，即cos (α＋β)＝. (2)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝. 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β <π. 因为cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝， 所以cos (2α＋β)＝cos [α＋(α＋β)]＝cos αcos (α＋β)－sin αsin (α＋β)＝. 因为0<α<，0<β<，所以0<2α＋β<，所以2α＋β＝. $$