8.1.1 向量数量积的概念-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景．　2.掌握两个向量的夹角的定义．　3.掌握向量数量积的定义和性质．　4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义． 知识点1　两个向量的夹角 内容索引 知识点2　向量数量积的定义 课时作业 巩固提升 知识点3　向量的投影与向量数量积的几何意义 课堂达标·素养提升 3 知识点1　两个向量的夹角 非零 ∠AOB 垂直 [例1]　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 思维提升 跟踪训练 C 知识点2　向量数量积的定义 1．一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 2．向量数量积的性质 (1)|a·b|≤|a||b|. C 求平面向量数量积的步骤 1．求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]. 2．分别求|a|和|b|. 3．求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. 思维提升 跟踪训练 角度2　向量数量积性质的应用 [例4]　(1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| ABC B [解析]　(1)A中，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题；D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题． 思维提升 60° 跟踪训练 知识点3　向量的投影与向量数量积的几何意义 投影向量 投影 共线 相同 相反 3．一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的 ，投影的数量与投影的 有关，投影的数量既可能是 ，也可能是 ．a·b等于a在向量b上的投影的数量与b的 的乘积，即a·b＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|.特别地，a·e＝|a|cos 〈a，e〉，其中e为单位向量． 投影的数量 长度 非负数 负数 模 [例5]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上投影的数量为 ________，b在a方向上投影的数量为________． [分析]　依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定义求值． －4 求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法 1．关注点：注意a在b上的投影与b在a上的投影不同，审题时要看清． 2．向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数． 思维提升 跟踪训练 A 6 〈课堂达标·素养提升〉 B ABC 3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影的数量为________． 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析：因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析：如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，所以△OAB是等边三角形， 所以〈a，b〉＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．若|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1．给定两个 向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的 为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． (1)〈a，b〉的取值范围是[0，π]. (2)〈a，b〉＝〈b，a〉． 2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量 ． [解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形． 又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30°　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. (2)a·a＝|a|2，即|a|＝，a2＝|a|2. (3)a⊥b⇔a·b＝0. (4)如果a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝. 角度1　求向量的数量积 [例2]　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于(　　) A．－6 B．6 C．－6 D．6 [解析]　a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×＝－6. [例3]　如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： (1)·；(2)·. [解]　(1) ·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. 2．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° (2)∵cos θ＝＝＝－， 又∵0°≤θ ≤180°，∴θ＝135°. 求非零向量的夹角，主要是利用公式cos 〈a，b〉＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． 3．在△ABC中，||＝3，||＝4，·＝－6，则B＝________． 解析：cos 〈，〉＝＝＝－， 又0°<〈，〉<180°，∴〈，〉＝120°， 又与的夹角为∠B的补角， ∴B＝180°－120°＝60°. 1．设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量为向量a在直线l上的 或 ． 2．给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量 ，但它们的方向既有可能 ，也有可能 ． － [解析]　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－12， 所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|·cos 〈a，b〉＝＝＝－； 向量b在向量a方向上投影的数量为|b|·cos 〈a，b〉＝＝＝ －4. 3．计算方法： a在b方向上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝， b在a方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝. 4．(1)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________． 解析：(1)因为向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则|b|cos 〈a，b〉＝， 得cos 〈a，b〉＝.因为〈a，b〉∈[0, π]， 所以〈a，b〉＝. (2)因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6. 1．已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．0 解析：因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝|a||b|·cos ＝2×3×＝3. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．a⊥b⇒a·b＝0 B．向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉 C．数量积a·b的几何意义等于a的长度|a|与b在a方向上的投影的数量|b|cos 〈a，b〉的乘积 D．在△ABC中，·＜0，则△ABC的形状是钝角三角形 解析：由数量积的几何意义知A，B，C都正确．·<0可得B为锐角，不能判定三角形的形状． 2 解析：a在b方向上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝4×cos 30°＝2. 2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是，则a·b为(　　) A.3 B． C．2 D． 解析：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|·|a|cos 〈a，b〉＝3×＝. 3．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是(　　) A．－25 B．25 C．－24 D．24 解析：因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2， 所以∠ABC＝90°， 所以原式＝·＋·(＋)＝0＋·＝－||2＝－25. 12 解析：∵a与b的夹角为135°，∴a与－b的夹角为45°，∴a·(－b)＝ |a||－b|cos 45°＝4×6×＝12. 6．已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________． － 解析：法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量在上的投影的数量为||cos 90°＝0，在上的投影的数量为||cos 135°＝2×＝－. 法二：如图，正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量在上的投影的数量为0，在上的投影的数量为，所以在上的投影的数量为－. 7．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·；(2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 解：∵||＝5，||＝4，||＝3， ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°， ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝||·||cos (π－B) ＝5×4×(－cos B)＝20×＝－16. (2)在上的投影的数量为||cos 〈，〉＝3×cos A＝3×＝. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，在上的投影的数量为＝＝－4. [B组　关键能力练] 8．如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为(　　) A．r B．2r C．1 D．2 解析：如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos ∠CAB，所以·＝||||cos ∠CAB＝||||＝2. 9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：∵Δ＝|a|2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即|a|2－4|a||b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ ≤.又0≤θ ≤π，∴≤θ ≤π. 10．在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且＝2，则·＝________，·＝________． － 解析：∵＝2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示， ∴||＝||＝2， ||＝||＝1. 又〈，〉＝〈，〉＝60°，〈，〉＝〈，〉＝120°， ∴·＝||||cos 60°＝3×2×＝3， ·＝||||cos 120°＝3×1×＝－. 11．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，2＋＋＝0，且||＝||，则·等于__________． 解析：∵2＋＋＝0， ∴＋＋＋＝0， ∴＋＝0，即＝－， ∴O，B，C共线，BC为圆的直径， ∴AB⊥AC. 又||＝||， ∴||＝||＝1，||＝2，||＝， 故∠ACB＝，则·＝×2cos ＝3. 12．如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点．求·的取值范围． 解：如图，过点E作EE′⊥AB，垂足为E′，过点C作CC′⊥AB，垂足为C′. 则在上的投影为， ∴在上的投影的数量为||， 由向量数量积的几何意义知·＝||·||＝4||. ∵点E在腰BC上运动，∴点E′在线段C′B上运动， ∴||≤||≤||，即2≤||≤4， ∴8≤4||≤16， ∴·的取值范围是[8，16]. [C组　素养培优练] 13．已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围． 解：因为在△ABC中，·＝3，与的夹角θ＝π－B，所以·＝||||cos 〈，〉＝3， 即||||cos θ＝3，得||||＝. 又S＝||||sin B＝||||sin (π－θ) ＝||||sin θ＝tan θ， 由≤2S≤3得≤3tan θ ≤3，所以≤tan θ ≤1，由于θ∈[0, π]，所以≤θ ≤， 所以与夹角的取值范围是. $$