7.4 数学建模活动周期现象的描述-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.4　数学建模活动:周期现象的描述 第七章　三角函数 [学习目标]　1.能利用三角函数解决简单的实际问题.　2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型. 知识点1　三角函数模型在物理学中的应用 内容索引 知识点2　三角函数模型在生活中的应用 课时作业 巩固提升 知识点3　函数模型的拟合 课堂达标·素养提升 3 知识点1　三角函数模型在物理学中的应用 1.单摆、弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中x表示时间,y表示位移,A表示振幅,表示频率,φ表示初相位. 2.音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx,其中x表示时间,y表示纯音振动时音叉的位移,表示纯音振动的频率(对应音高),A表示纯音振动的振幅(对应音强). 3.交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中x表示时间,y表示电流,A表示最大电流,表示频率,φ表示初相位. 4.潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y=Asin(ωx+φ)(x∈[0,+∞),A>0,ω>0)来表示. [例1]　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少? [解]　(1)由题图知A=300, 设t1=,t2=, 则T=2(t2-t1)=2×=, ∴ω==150π. 又当t=时,I=0,即sin=0, 而|φ|<,∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin,t≥0. (2)依题意,T≤,即≤(ω>0), ∴ω≥300π>942,又ω∈N+, 故所求最小正整数ω=943. 处理物理学问题的策略 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,它们共同的特点是具有周期性. 2.明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 思维提升 1.弹簧振子以O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次到达C点,求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移. 跟踪训练 解:(1)设振幅为A,则2A=20 cm,所以A=10 cm. 设周期为T,则=0.5 s, 所以T=1 s,所以f=1 Hz. (2)振子在1 s内通过的路程为4A,故在5 s内通过的路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm). 5 s末物体处在B点,所以它的位移为0 cm. 知识点2　三角函数模型在生活中的应用 [例2]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: 经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期和函数解析式. (2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8∶00到20∶00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行活动? t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 [解]　(1)由表中数据可知,T=12,∴ω==. 又当t=0时,y=1.5,∴A+b=1.5; 当t=3时,y=1.0,得b=1.0,∴A=0.5=, ∴函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24). (2)∵当y>1时,才对冲浪爱好者开放,∴y=cost+1>1, 即cost>0(0≤t≤24), 则-+2kπ<t<+2kπ(k∈Z), 解得12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24,∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24, ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动,即9<t<15. 解三角函数应用问题的基本步骤 思维提升 2.已知钟楼上的一个钟盘的分针尖端到中心的距离为3.5米,尖端最低位置距地面约60米,若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周,分针尖端与地面的距离h(单位:米)与时间t(单位:分)的函数关系式为h(t)=Acos(ωt+θ)+b(A>0,ω>0,0≤θ<2π,0≤t≤60),则函数h(t)= 　　　 　　.  跟踪训练 3.5cost+63.5 解析:h(t)=Acos(ωt+θ)+b(A>0,ω>0,0≤θ<2π,0≤t≤60), 由题意可得A=3.5,b=63.5,T=60=,可得ω=,当t=0时,h=67,可得h(0)=67,即3.5cos θ+63.5=67,又0≤θ<2π,所以θ=0, 所以函数的解析式为h(t)=3.5cost+63.5. 知识点3　函数模型的拟合 [例3]　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴. (1)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据. (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A. (3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据? ①=cos;②=cos; ③=cos. [解]　(1)如图. (2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差, 即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8. (3)因为x=月份-1, 所以不妨取x=2-1=1,y=26.0. 代入①得=>1≠cos,故①不适合; 代入②得=<0≠cos,故②不适合. 所以应选③. 根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题. 思维提升 3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　　　　　.  跟踪训练 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 y=-4cos t 解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0), 则从表中数据可以得到A=4,ω===, 又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1, 取φ=-,则y=4sin, 即y=-4cost. 〈课堂达标·素养提升〉 1.如图所示的一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ <π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是(　　) A., B.2, C.,π D.2,π A 解析:当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知,单摆的周期为=π,故单摆的频率为. 2.已知简谐振动的振幅是,图象上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点,则该简谐振动的频率和初相分别是(　　) A., B., C., D., B 解析:由题意可知A=,32+=52, 则T=8,ω==,∴y=sin. 由图象过点得sin φ=,∴sin φ=. ∵|φ|<,∴φ=,因此频率是,初相为. 3.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为 　　　　℃.  20.5 解析:当x=6时,ymax=a+A=28;当x=12时,ymin=a-A=18.解得a=23,A=5. 所以当x=10时,y=23+5cos=20.5. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin,s2=10cos 2t确定,则当t=s时,s1与s2的大小关系是(　　) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:当t=时,s1=5sin=5sin=-5, s2=10cos=10×=-5,故s1=s2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知电流强度I与时间t的关系为I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其在一个周期内的图象如图所示,则该函数的解析式为(　　) A.I=300sin B.I=300sin C.I=300sin D.I=300sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由题图可推知, A=300,T=2=,ω==100π,I=300sin(100πt+φ).代入点,得100π×+φ=0,得φ=,故I=300sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A.T=6,φ= B.T=6,φ= C.T=6π,φ= D.T=6π,φ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:由题意知f(0)=2sin φ=1,又|φ|<,所以φ=,T==6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示: 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 1 2 3 Y 10 000 9 500 ? C 14 解析:因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9 500.当x=3时,y=9 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t∈[0,+∞),则这种交流电在0.5 s内往复运动 　　　　次.  解析:据I=5sin知ω=100π rad/s, 该电流的周期为T=== s, 从而频率为每秒50次,0.5 s往复运行25次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 14 6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=　　　 　,其中t∈[0,60].  解析:将解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10sin 14 7.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮放入如图所示的坐标系中,轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系,并求出P的运动周期; (2)当φ=,r=ω=1时,作出其图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)过P作x轴的垂线,设垂足为M(图略), 则MP就是正弦线.∴y=rsin(ωt+φ),因此T=. (2)当φ=,r=ω=1时,y=sin,如图, 其图象是将y=sin t的图象向左平移个单位得到的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为t=t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12(t≥0). (2)由10sint+12≥17,得sint≥, 则≤t≤. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.2023年春节期间,G市某天从8~16时的温度变化曲线(如图)近似满足函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ <π,x∈[8,16])的图象.下列说法正确的是(　　) A.8~13时这段时间温度逐渐升高 B.8~16时最大温差不超过5 ℃ C.8~16时0 ℃以下的时长恰为3小时 D.16时温度为-2 ℃ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:由题图可知:8~13时这段时间温度先下降再升高,A错误; 8~16时最高温度2 ℃,最低温度-2 ℃,最大温差为4 ℃,B错误; 8~16时0 ℃以下的时长超过3小时,C错误; T=4×(13-11)=8=,ω=,又过点(13,2), 故2cos=2,解得φ=, 故f(x)=2cos,f(16)=2·cos=-2,故16时温度为 -2 ℃,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.设y=f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 14 经长期观测,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象.下面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　) A.y=12+3sint,t∈[0,24] B.y=12+3sin,t∈[0,24] C.y=12+3sint,t∈[0,24] D.y=12+3sin,t∈[0,24] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:由已知数据可得y=f(t)的周期T=12,所以ω==. 由已知可得振幅A=3,k=12. 又当t=0时,y=12,所以令×0+φ=0得φ=0, 故y=12+3sint,t∈[0,24]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.一个单摆的平面图如图所示.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系式α=Asin,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=　　　　;α关于t的函数解析式是　 　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 α=sin,t∈[0,+∞) 14 解析:因为当t=0时,α=, 所以=Asin,所以A=. 又因为周期T=π,所以=π,解得ω=2. 故所求的函数解析式是α=sin,t∈[0,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),0<φ<,函数图象如图所示, 则φ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:根据图象,知,两点的距离刚好是个周期,所以T=-=, 所以T=1,则ω==2π.因为当t=时,函数取得最大值, 所以2π×+φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ=. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16]. (1)求该地区这一段时间内的最大温差. (2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为x∈[4,16],则x-∈. 由函数解析式易知,当x-=,即x=14时,函数取得最大值,最大值为30,即最高温度为30 ℃,当x-=-,即x=6时,函数取得最小值,最小值为10,即最低温度为10 ℃,所以最大温差为30-10=20(℃). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)令10sin+20=15,可得sin=-, 而x∈[4,16],所以x-=-,即x=. 令10sin+20=25,可得sin=, 而x∈[4,16],所以x-=即x=. 故该细菌在这段时间内能存活-=(小时). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [C组　素养培优练] 14.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系. (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物? 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500. 根据上述分析可得=12, 故ω=,且解得 根据分析可知,当x=2时,f(x)最小, 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当x=8时,f(x)最大, 故sin=-1,且sin=1. 又因为0<|φ|<π,故φ=-. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300. 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)由条件可知200sin+300≥400,化简得 sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z, 解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物. 14 $$