7.3.5 已知三角函数值求角-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.5　已知三角函数值求角 第七章　三角函数 [学习目标]　1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.　2.了解符号arcsin x,arccos x,arctan x的含义,并能用这些符号表示非特殊角. 知识点1　已知正弦值求角 内容索引 知识点2　已知余弦值求角 课时作业 巩固提升 知识点3　已知正切值求角 课堂达标·素养提升 知识点4　三角函数的求解 3 知识点1　已知正弦值求角 对于正弦函数y=sin x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在上有唯一的x值和它对应,记为x=__________.  arcsin y [例1]　已知sin x=. (1)当x∈时,求x的取值集合; (2)当x∈[0,2π]时,求x的取值集合; (3)当x∈R时,求x的取值集合. [分析]　尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解. [解]　(1)∵y=sin x在上是增函数,且sin=,∴x=,∴是所求集合. (2)∵sin x=>0,∴x为第一或第二象限角,且sin=sin=, ∴在[0,2π]上符合条件的角有x=或x=π,∴x的取值集合为. (3)当x∈R时,x的取值集合为. 1.给值求角问题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用. 2.对于已知正弦值求角有如下规律: 思维提升 sin x= a(|a|≤1) x∈ x∈[0,2π] x=arcsin a 0≤a≤1 -1≤a<0 x1=arcsin a x2=π-arcsin a x1=π-arcsin a x2=2π+arcsin a 1.已知sin x=,求满足x∈的x的取值集合. 解:∵≤x≤,∴-≤x-π≤. 又∵sin(x-π)=-sin x=-, ∴x-π=arcsin=-arcsin, ∴x-π=-,∴x=,故x的取值集合为. 跟踪训练 知识点2　已知余弦值求角 对于余弦函数y=cos x,如果已知函数值y(y∈[-1,1]),那么在[0,π]上有唯一的x值和它对应,记为x=　　　　　　(-1≤y≤1,0≤x≤π).  arccos y [例2]　已知cos x=-. (1)当x∈[0,π]时,求x的值; (2)当x∈R时,求x的取值集合. [解]　(1)∵cos x=-且x∈[0,π],∴x=arccos. (2)当x∈R时,先求出x在[0,2π]上的解. ∵cos x=-,故x是第二或第三象限角. 由(1)知x=arccos是第二象限角, 又cos=cos=-, 且2π-arccos∈, ∴由余弦函数的周期性知,当x=arccos+2kπ或x=2π-arccos+2kπ(k∈Z)时,cos x=-, 即所求x值的集合是. cos x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,x=arccos a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得:{x|x=2kπ±arccos a,k∈Z}. 思维提升 2.已知cos x=-且x∈[0,2π),求x的取值集合. 跟踪训练 解:由于余弦函数值是负值且不为-1,所以x是第二或第三象限角, 由cos=-cos=-, 所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x=π-=. 又cos=-cos=-, 所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x=+π=. 故所求角x的取值集合为. 知识点3　已知正切值求角 一般地,如果y=tan x(y∈R)且x∈,那么对每一个正切值y,在开区间内,有且只有一个角x,使tan x=y,记为x=___________ . arctan y [例3]　已知tan α=-3. (1)若α∈,求角α; (2)若α∈R,求角α. [解]　(1)由正切函数在开区间上是增函数可知,符合条件tan α=-3的角只有一个, 即α=arctan(-3). (2)α=kπ+arctan(-3)(k∈Z). 1.已知角的正切值求角,可先求出内的角,再由y=tan x的周期性表示所给范围内的角. 2.tan α=a,a∈R的解集为{α|α=kπ+arctan a,k∈Z}. 思维提升 3.已知tan x=-1,写出在区间[-2π,0]内满足条件的x. 跟踪训练 解:∵tan x=-1<0, ∴x是第二或第四象限角. 由tan=-tan=-1可知, 所求符合条件的第四象限角为x=-. 又由tan=-tan=-1,得所求符合条件的第二象限角为x=-π, ∴在[-2π,0]内满足条件的x是-与-. 知识点4　三角函数的求解 [例4]　若cos x=cos,求x的值. [分析]　先求出一个周期内的角,然后利用周期性找出所有的角. [解]　在同一个周期[-π,π]内, 满足cos x=cos的角有两个:和-. 又y=cos x的周期为2π,所以满足cos x=cos的x为2kπ±(k∈Z). 已知三角函数值求角的步骤 1.由三角函数值的符号确定角的象限. 2.求出[0,2π)上的角. 3.根据终边相同的角写出所有的角. 思维提升 4.已知sin x=,且x∈[0,2π],则x的取值集合为　　 　　.  跟踪训练 解析:∵x∈[0,2π],且sin x=>0, ∴x∈(0,π),当x∈时, y=sin x递增且sin=, ∴x=,又sin=sin=, ∴x=也符合题意. ∴x的取值集合为. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)以下各式中正确的是(　 　) A.arcsin 1= B.arccos(-1)=π C.arctan 0=0 D.arccos 1=2π 解析:arcsin x∈,arccos x∈[0,π],arctan x∈,故arccos 1=0,故D错,A,B,C均正确. ABC 2.cos的值为(　　) A. B. C.- D.- B 解析:∵在上,arcsin=, ∴cos=cos=. 3.函数y=+π-arccos(2x-3)的定义域是　　　　.  解析:由题意可得,解得1≤x≤,所以函数的定义域为. 4.等腰三角形的一个底角为α,且sin α=,用含符号arcsin x的关系式表示顶角β=　　　 　.  解析:由题意,α∈,又sin α=, 所以<α<,<2α<,<π-2α<,所以β=π-2arcsin. π-2arcsin 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知sin x=,x∈,则x=(　　) A.arcsin B.+arcsin C.π-arcsin D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为arcsin∈,所以π-arcsin∈, 所以sin x=,x∈,x=π-arcsin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.若cos(π-x)=,x∈(-π,π),则x的值为(　　) A., B.± C.± D.± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由cos(π-x)=-cos x=得,cos x=-, 又因为x∈(-π,π),所以x在第二或第三象限,所以x=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知tan x=,则x=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:由tan x=,得x=kπ+,k∈Z,即方程的根为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)以下为三角方程sin x=(x∈[0,2π))的解的是(　　) A.arcsin B.π-arcsin C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AB 解析:因为sin x=,x∈[0,2π),所以x=arcsin,或x=π-arcsin, 所以方程的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知cos=-,x∈[0,2π],则x的取值集合为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:令θ=2x+,所以cos θ=-. 当0≤θ ≤π时,θ=,当π≤θ ≤2π,θ=. 所以当x∈R时,θ=∈R,所以2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z), 即x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),又x∈[0,2π], 所以x∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.集合A=,B=,则A∩B= 　 　 　　.  解析:因为sin x=,所以x=2kπ+或2kπ+π,k∈Z.又因为tan x=-,所以x=kπ-,k∈Z.所以A∩B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知sin=-,且α是第二象限的角,求角α. 解:因为α是第二象限角,所以是第一或第三象限的角. 又因为sin=-<0,所以是第三象限角. 又sin=-,所以=2kπ+π(k∈Z), 所以α=4kπ+π(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.设α=arcsin,β=arctan(-),γ=arccos,则α,β,γ的大小关系是(　　) A.α<β <γ B.α<γ<β C.β <α<γ D.β <γ<α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:⇒-<α<0,⇒-<β<-, ⇒<γ<π,所以β <α<γ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.在△ABC中,sin-cos=0,则A等于(　　) A. B. C.或 D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:sin=cos, 若cos=0,则sin=0, 与sin2+cos2=1矛盾, ∴cos≠0,∴tan=1, ∴2A-=+kπ,k∈Z,∴A=+,k∈Z, 又A∈(0,π),∴A=或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.函数y=arctan-的值域是　 　　　.  解析:因为≥0,所以arctan∈, 则arctan-∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.方程cos x=sin的解集为　　　 　.不等式cos x>sin 的解集为　　 　　.  解析:因为cos x=sin,又由诱导公式可得sin=cos=cos, 所以x=2kπ±,k∈Z,方程cos x=sin的解集为. 所以不等式cos x>sin的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心; (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由-≠kπ+(k∈Z), 得到函数的定义域为; 周期T=2π; 单调递增区间为(k∈Z), 无单调递减区间;对称中心为(k∈Z). (2)由题意,kπ-≤-≤kπ+(k∈Z), 可得不等式-1≤f(x)≤的解集为. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知θ为锐角,在以下三个条件中任选一个,并解答以下问题. ①=; ②2sin2θ-cos θ-1=0; ③·sin·cos=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)若选　　　　(填序号),求θ的值;  (2)在(1)的条件下,求函数f(x)=tan(2x+θ)的定义域和周期; (3)求(2)中满足f(x)>-1时x的取值集合. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)若选①,因为 ===cos θ=,又θ为锐角,所以θ=. 若选②,由2sin2θ-cos θ-1=0,得2cos2θ+cos θ-1=0,即(2cos θ-1)(cos θ+1)=0,解得cos θ=或cos θ=-1,因为θ为锐角,所以cos θ=,即θ=. 若选③,因为·sin·cos=·(-cos θ)·(-sin θ)=cos2θ=, 解得cos θ=±,又θ为锐角,所以cos θ=,即θ=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知θ=,则函数的解析式f(x)=tan. 由2x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z, 所以函数的定义域为. 函数的周期T=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)由(2)知f(x)=tan. 因为tan>-1, 令kπ-<2x+<kπ+,k∈Z, 解得-<x<+,k∈Z, 所以满足f(x)>-1时x的取值集合为. 13 $$