7.3.4 正切函数的性质与图象-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.4　正切函数的性质与图象 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.　2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 知识点1　正切函数的定义、定义域和值域 内容索引 知识点2　正切函数的周期性、奇偶性 课时作业 巩固提升 知识点3　正切函数的单调性 课堂达标·素养提升 知识点4　正切函数图象与性质的综合应用 3 知识点1　正切函数的定义、定义域和值域 1.正切函数:对于任意一个角x,只要x≠+kπ,k∈Z,就有　　　　确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数.  2.正切函数的定义域为 x x≠+kπ,k∈Z ,值域为R. 唯一 [例1]　(1)函数y=+lg(1-tan x)的定义域是 　 　　　.  (2)函数y=tan(sin x)的值域为　 　　　.  [-tan 1,tan 1] [解析]　(1)要使函数y=+lg(1-tan x)有意义,则即-1≤tan x<1. 在上满足上述不等式的x的取值范围是. 又因为y=tan x的周期为π,所以所求x的定义域为. (2)因为-1≤sin x≤1,且[-1,1]⊆, 所以y=tan x在[-1,1]上是增函数, 因此tan(-1)≤tan x≤tan 1, 即函数y=tan(sin x)的值域为[-tan 1,tan 1]. [例2]　求函数y=-tan2 x+2tan x+5,x∈的值域. [分析]　换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题. [解]　令t=tan x, ∵x∈,∴t=tan x∈[-,), ∴y=-t2+2t+5=-(t-1)2+6,抛物线开口向下,对称轴为t=1, ∴t=1时,y取最大值6,t=-时,y取最小值2-2, ∴函数y=-tan2 x+2tan x+5,x∈时的值域为[2-2,6]. 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤: 思维提升 1.求函数y=的定义域. 跟踪训练 解:根据题意, 得 解得k∈Z. 所以函数的定义域为∪,k∈Z. 知识点2　正切函数的周期性、奇偶性 1.周期性:由诱导公式tan(x+π)=tan x,且x≠+kπ,k∈Z,可知正切函数是 　 　　　,周期是π.  2.奇偶性:由诱导公式tan(-x)=-tan x,x≠+kπ,k∈Z,可知正切函数是　　　　.  周期函数 奇函数 [例3]　函数y=4tan的周期为　　　　.  [分析]　可用定义法求,也可用公式法求,也可作出函数图象来求. [解析]　由于ω=3,故函数的周期为T==. [例4]　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=; (2)f(x)=tan+tan. [分析]　可按定义法的步骤判断. [解]　(1)由 得f(x)的定义域为,不关于原点对称, 所以函数f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为,关于原点对称, 又f(-x)=tan+tan =-tan-tan=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 1.一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=,常常利用此公式来求周期. 2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称,若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系. 思维提升 2.函数f(x)=cos+tan x为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 跟踪训练 A 解析:因为f(x)=sin x+tan x,,定义域关于原点对称, f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数. 知识点3　正切函数的单调性 正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是　　　　的.  单调递增 [例5]　(1)求函数y=tan的单调区间; (2)比较tan 1,tan 2,tan 3的大小. [分析]　(1)可先令y=-tan,从而把x-整体代入,k∈Z这个区间内解出x即可. (2)可先把角化归到同一单调区间内,即利用tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),最后利用y=tan x在上的单调性判断大小关系. [解]　(1)y=tan=-tan, 由kπ-<x-<kπ+(k∈Z),得2kπ-<x<2kπ+π(k∈Z), ∴函数y=tan的单调递减区间是(k∈Z),无单调递增区间. (2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), 又∵<2<π,∴-<2-π<0.∵<3<π,∴-<3-π<0, 显然-<2-π<3-π<1<,且y=tan x在内是增函数, ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,即tan 2<tan 3<tan 1. 1.y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 思维提升 3.(1)求函数y=tan的单调区间; (2)比较tan与tan的大小. 跟踪训练 解:(1)∵y=tan单调区间为(k∈Z), ∴kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),+<x<+(k∈Z), ∴函数y=tan的单调递增区间为(k∈Z),无单调递减区间. (2)由于tan=tan=tan=-tan, tan=-tan=-tan,又0<<<, 而y=tan x在上单调递增, ∴tan<tan,-tan>-tan,即tan>tan. 知识点4　正切函数图象与性质的综合应用 1.一般地,y=tan x的函数图象称为正切曲线. 2.正切函数的对称中心为(k∈Z).没有对称轴. 3.正切函数y=tan x的零点为　　　(k∈Z).  kπ [例6]　画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. [解]　由y=|tan x|得, y= 其图象如图所示. 由图象可知,函数y=|tan x|是偶函数, 单调递增区间为(k∈Z), 单调递减区间为(k∈Z),周期为π. 1.作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是: (1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分; (2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. 2.若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期性,延拓到定义域上即可. 思维提升 4.设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的周期,对称中心; (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图. 跟踪训练 解:(1)∵f(x)=tan,∴ω=,周期T===2π. 令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z), ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). (2)令-=0,则x=. 令-=,则x=. 令-=-,则x=-. ∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得函数f(x)=tan-在一个周期 内的简图(如图). 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=tan x的值域是(　　) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,1] D.[-1,+∞) B 2.函数f(x)=tan的定义域是　　　 　, f=　　　　.  解析:由题意知x+≠kπ+(k∈Z),即x≠+kπ(k∈Z). 故定义域为,且f=tan=. 3.函数y=tan的单调增区间为　　 　　.  解析:令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-π<x<kπ+, 即y=tan的单调增区间为,k∈Z ,k∈Z 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知函数y=tan,则其定义域是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由x+≠kπ+(k∈Z),得x≠2kπ+(k∈Z), 因此函数y=tan的定义域为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知函数y=tan ωx在内是增函数,则(　　) A.0<ω≤2　　　　　　　 B.-2≤ω<0 C.ω≥2 D.ω≤-2 解析:根据函数y=tan ωx在内是增函数,可得 解得0<ω≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 3.函数y=cos x|tan x|,x∈的大致图象是(　　) 解析:当-<x<0时,y=-sin x;当0<x< 时,y=sin x;x=0时,y=0.图象为C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 4.(多选)下列说法错误的是(　　) A.函数y=tan x的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z) B.直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两交点之间的距离为π C.y=2tan x,x∈的值域为[0,+∞) D.y=tan x在其定义域上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 14 解析:A错,对称中心为(k∈Z);B对,同y=tan x的周期为π;C对,x∈时,tan x≥0;D错,它的单调区间只在(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是增函数,由此可知D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.直线y=a(a为常数)与函数y=tan ωx(ω>0)的图象相邻两支的交点的距 离为　　　　.  解析:直线y=a与函数y=tan ωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.已知函数y=tan ωx在内是单调减函数,则ω的取值范围是　　　　.  解析:函数y=tan ωx在内是单调减函数,则有ω<0,且周期T≥-=π,即≥π,故|ω|≤1,所以-1≤ω<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [-1,0) 14 7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),ω>0,φ∈(0,π)的部分图象如图所示,求f的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:依题意=-=, ∴T=,∴=,∴ω=2, ∴f(x)=Atan(2x+φ). 又f(x)过点,∴Atan=0,∴+φ=kπ,k∈Z,∴φ=-+kπ,k∈Z. 又φ∈(0,π),∴φ=,∴f(x)=Atan. 又f(x)过点(0,1),∴Atan=1,∴A=, ∴f(x)=tan,∴f=tan=tan=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的定义域与单调区间; (2)比较f与f的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)由函数f(x)=3tan, 可得2x-≠kπ+,k∈Z,求得x≠+,k∈Z, 故函数的定义域为. 令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,求得-<x<+,k∈Z. 故函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)f=3tan=-3tan<0, f=3tan=3tan>0, 所以f<f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知a,b是不等于1的正数,θ∈,若atan θ>btan θ>1,则下列关系式成立的是(　　) A.a>b>1 B.a<b<1 C.b<a<1 D.b>a>1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:因为θ∈,所以-tan θ>0. 由atan θ>btan θ>1,即>>1,知>>1,所以a<b<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)已知函数f(x)=tan x,x1,x2∈(x1≠x2),则下列结论中正确的是(　　) A.f(x1+π)=f(x1) B.f(-x1)=f(x1) C.>0 D.f>(x1x2>0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 解析:f(x)=tan x的周期为π,故A正确;函数f(x)=tan x为奇函数,故B不正确;函数f(x)=tan x为区间上的增函数,且x1,x2∈,故C正确;由函数f(x)=tan x的图象可知,函数在区间上有f>,在区间上有f<,故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.函数y=tan2x-2tan x+3的最小值是　　,这时x=　　　 　.  解析:因为y=tan2x-2tan x+3=(tan x-1)2+2,所以当tan x=1, 即x=kπ+,k∈Z时,ymin=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 kπ+,k∈Z 14 12.函数f(x)=lg为　　　　(填“ 奇”“ 偶”或“非奇非偶”)函数.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 奇 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由>0,得tan x>1或tan x<-1, 所以函数定义域为∪(k∈Z)关于原点对称. f(-x)+f(x)=lg+lg =lg=lg 1=0. 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.当x∈时,f(x)=k+tan不存在正的函数值,求实数k的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:当x∈时,2x-∈, f(x)=k+tan不存在正的函数值, 即f(x)≤0,即k≤-tan恒成立, 故k≤-tan的最小值. 因为tan∈[0, ],所以-tan∈[-,0], 所以k≤-, 故实数k的取值范围为(-∞,- ]. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)当x∈[-π,π],且x≠±时,画出f(x)的简图,并指出函数的单调区间. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由函数f(x)=的解析式可得函数的定义域为关于原点对称, 又因为f(x)==,所以f(-x)===-f(x), 所以函数f(x)=为奇函数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可得f(x)= 其图象如图所示: 由图象可知增区间为,减区间为,. 13 14 $$