7.3.3 余弦函数的性质与图象-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.3　余弦函数的性质与图象 第七章　三角函数 [学习目标]　1.会用“五点法”和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图.　2.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心,并会简单应用. 知识点1　余弦函数的概念与图象 内容索引 知识点2　余弦函数的性质 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　余弦函数的概念与图象 1.余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数. 2.余弦函数的图象 [例1]　用“五点法”作函数y=2+cos x,x∈[0,2π]的简图. [分析]　在[0,2π]上找出五个关键点,用平滑的曲线连接即可. [解]　列表: 描点连线,如图: x 0 π π 2π y=cos x 1 0 -1 0 1 y=2+cos x 3 2 1 2 3 作余弦(型)函数图象的方法 1.五点作图法. 2.图象变换法. 思维提升 1.作出函数y=3+2cos x在闭区间[0,2π]上的图象,并求值域. 跟踪训练 解:法一:列表、描点、连线得函数y=3+2cos x在闭区间[0,2π]上的图象,如图中实线所示. 根据图象可知,函数y=3+2cos x的值域为[1,5]. x 0 π 2π y=cos x 1 0 -1 0 1 y=3+2cos x 5 3 1 3 5 法二:先利用五点法作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图中虚线所示,然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再把所得图象向上平移3个单位就得到函数y=3+2cos x,x∈[0,2π]的图象,如图中实线所示. 根据图象可知,函数y=3+2cos x的值域为[1,5]. 知识点2　余弦函数的性质 性质 内容 图象   定义域 R 值域 　　　  周期性 T=2kπ(k∈Z),最小正周期为2π [-1,1] 性质 内容 奇偶性 　　　  单调区间 在区间　　　　　　　　(k∈Z)上递增,在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减  最值 当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值　　;当x=π+2kπ(k∈Z)时,取得最小值　　　  对称性 对称轴为x=kπ,对称中心为,其中k∈Z 零点 +kπ(k∈Z) 偶函数 [-π+2kπ,2kπ] 1 -1 角度1　余弦函数的单调性及应用 [例2]　(1)函数y=cos的单调递增区间是 　 　　　.  (2)将cos(-1),cos(-2),cos(-3)按大小顺序排列,则　　 　　. (用“<”连接)  ,k∈Z cos(-3)<cos(-2)<cos(-1) [解析]　(1)函数y=cos =cos, 令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数y=cos的单调递增区间是,k∈Z. (2)y=cos x在区间(-π,0)上为增函数, ∵-π<-3<-2<-1<0, ∴cos(-3)<cos(-2)<cos(-1). 1.确定y=Acos(ωx+φ)单调区间的基本思想是整体换元思想,即将ωx+φ看作一个整体,代入y=cos x的单调区间即可. 2.关于三角函数值比较大小:利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小. 思维提升 2.(1)函数f(x)=5cos的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. (2)设a=cos ,b=sin,c=cos,则(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 跟踪训练 B A 解析:(1)f(x)=5cos, 由2kπ≤3x+≤π+2kπ,k∈Z,得-≤x≤+,k∈Z, ∴是f(x)的一个单调递减区间. (2)sin=sin=-sin=sin=cos, cos=cos=cos=cos, ∵y=cos x在上是减函数,∴cos>cos>cos,即a>c>b. 角度2　余弦函数的奇偶性、对称性及应用 [例3]　(1)函数y=3cos图象的一条对称轴可以是(　　) A.x=- B.x= C.x=- D.x= B (2)函数y=3cos 2x+4(x∈R)是(　　) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 A [解析]　(1)根据函数y=3cos的图象,要求函数的对称轴方程,令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),令k=1得x=. (2)f(x)=3cos 2x+4,x∈R, 所以f(-x)=3cos(-2x)+4=3cos 2x+4=f(x),为偶函数,最小正周期T==π. 1.令ωx+φ=kπ,k∈Z可解出y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴,令ωx+φ=+kπ,k∈Z可解出对称中心的横坐标. 2.若已知x=α是对称轴,则ωα+φ=kπ,k∈Z可求ω或φ;若(α,0)是对称中心,则ωα+φ=+kπ,k∈Z可求ω或φ. 3.特别地,当φ=kπ,k∈Z时,函数y=Acos(ωx+φ)为偶函数;当φ=+kπ,k∈Z时,函数y=Acos(ωx+φ)为奇函数. 思维提升 3.将函数f(x)=cos(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若点是函数y=g(x)图象的一个对称中心,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 跟踪训练 C 解析:由已知得g(x)=cos, 所以--+φ=+kπ(k∈Z), 解得φ=+kπ(k∈Z),又φ>0, 当k=-1时,φmin=. 角度3　余弦函数的最值(值域)问题 [例4]　函数y=2cos,x∈的值域为　　　　.  [解析]　∵-<x<,∴0<2x+<,∴-<cos<1, ∴函数y=2cos,x∈的值域为(-1,2). (-1,2) [例5]　求函数y=3cos2x-4cos x+1,x∈的值域. [解]　y=3cos2x-4cos x+1=3-. ∵x∈,∴cos x∈. 从而当cos x=-,即x=时,ymax=; 当cos x=,即x=时,ymin=-. ∴函数的值域为. 求三角函数最值的两种基本类型 1.将三角函数式化为y=Acos(ωx+φ)+k的形式,结合函数图象求最值. 2.将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式,利用二次函数的性质和有界性求最值. 思维提升 4.已知函数y=acos+3,x∈的最大值为4,求实数a的值. 跟踪训练 解:∵x∈,∴2x+∈, ∴-1≤cos≤. 当a>0,cos=时,y取得最大值a+3, ∴a+3=4,∴a=2. 当a<0,cos=-1时, y取得最大值-a+3, ∴-a+3=4,∴a=-1. 综上可知,实数a的值为2或-1. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下列函数中,周期为的是(　　) A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos 4x 解析:∵T==,∴ω=4. D 2.函数y=sin是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 B 解析:∵y=sin=sin =cos x,∴函数y=sin是偶函数. 3.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的单调递减区间是　　　　.  解析:y=cos(-x)=cos x,其单调递减区间为[0,π]. [0,π] 4.函数y=2cos,x∈的值域为　　　.  解析:∵x∈,∴2x+∈, ∴cos∈,∴函数的值域为[-1,2]. [-1,2] 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.函数y=-cos x的图象与余弦函数图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于原点对称 C.关于原点和x轴对称 D.关于原点和坐标轴对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由y=-cos x的图象知关于原点和x轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:因为函数的周期为π,所以排除C,D.又因为y=cos=-sin 2x在上为增函数,故B不符合.只有函数y=sin的周期为π,且在上为减函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.三个数cos,sin,-cos的大小关系是(　　) A.sin>cos>-cos B.cos>-cos>sin C.cos<sin<-cos D.-cos<sin<cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:sin=cos,-cos=cos. 因为π>>->π->0,而y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以cos<cos<cos,即cos<sin<-cos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知,f=0,即3cos=0, ∴+φ=+kπ(k∈Z), ∴φ=-+kπ(k∈Z), ∴|φ|的最小值为|φ|=|-+2π|=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.函数y=2cos的最小正周期为4π,则ω=　　　　.  解析:因为4π=,所以ω=±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ± 14 6.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为y=cos x在[-π,0]上为增函数, 又在[-π,a]上单调递增,所以[-π,a]⊆[-π,0], 所以a≤0. 又因为a>-π,所以-π<a≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (-π,0] 14 7.已知函数y=cos x+|cos x|. (1)画出函数的简图. (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期. (3)指出这个函数的单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)y=cos x+|cos x| = 函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由图象知函数是周期函数,且它的周期是2π. (3)由图象知函数的单调增区间为(k∈Z),单调减区间为(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈时,求f(x)的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)因为T=4×=π, 所以ω==2. 因为f(x)的图象经过点, 所以4cos=-4,即cos=-1,则+φ=π+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z. 又0<φ<π,所以φ=. 故f(x)的解析式为f(x)=4cos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)因为x∈,所以2x+∈, 从而cos∈, 故当x∈时,f(x)的值域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是(　　 ) A.f(x)的一个周期为2π B.y=f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f的一个零点为π D.f(x)在上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 14 解析:由函数f(x)=cos知, 在A中,由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π,故A正确;在B中,函数f(x)=cos的对称轴满足条件x+=kπ,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,所以y=f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;在C中,f=cos=-sin x,-sin π=0,所以f的一个零点为π,故C正确;在D中,函数f(x)=cos在上先减后增,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是(　　) A.-1 B.1 C.- D.-5 解析:由题意,得y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-. 因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=时,函数有最大值-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 11.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为 ,且满足f(x)=则f=　　　　.  解析:因为T= ,所以f=f=f=sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:因为函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得到y=sin的图象, 即y=sin的图象向左平移个单位得到函数y=cos(2x+φ)的图象, 所以y=sin向左平移个单位后, 得y=sin=sin =-sin=cos =cos,又-π≤φ<π,所以φ=. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知函数y=2cos. (1)在该函数的对称轴中,求离y轴距离最近的对称轴的方程; (2)把该函数的图象向右平移φ个单位后,图象关于原点对称,求φ的最小正值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)令2x+=kπ,k∈Z, 解得x=-,k∈Z. 令k=0,x=-;令k=1,x=. ∴函数y=2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x=. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设该函数的图象向右平移φ个单位后对应的解析式为y=f(x), 则f(x)=2cos=2cos. ∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称, ∴f(0)=2cos=0, ∴-2φ=kπ+,k∈Z, 解得φ=-,k∈Z. 令k=0,得φ=,∴φ的最小正值是. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知函数y=5cos(其中k∈N),对任意实数a,在区间[a,a+3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次,求k的值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由5cos= , 得cos=. 因为函数y=cos x在每个周期内出现函数值为 有两次,而区间[a,a+3]长度为3,所以为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次,必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度. 即2×≤3,且4×≥3,所以≤k≤. 又k∈N,故k=2,3. 13 14 $$