7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 第2课时　正弦函数的图象 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图象.　2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心.　3.能利用正弦函数解决简单问题. 知识点1　五点法与正弦曲线 内容索引 知识点2　利用正弦函数的图象解不等式 课时作业 巩固提升 知识点3　正弦函数图象的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　五点法与正弦曲线 1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图象称为正弦曲线.如图, 由图可以看出,正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x=+kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,对称中心为(kπ,0)(k∈Z). 2.“五点法”作正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的步骤 (1)列表: (2)描点:画正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是(0,0),,(π,0),,(2π,0). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线的简图. x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 [例1]　作函数y=sin x,x∈[0,2π]与函数y=-1+sin x,x∈[0,2π]的简图,并研究它们之间的关系. [解]　按五个关键点列表: x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=-1+sin x -1 0 -1 -2 -1 利用正弦函数的性质描点作图,如图: 由图象可以发现,把y=sin x,x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y=-1+sin x,x∈[0,2π]的图象. 作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即y=sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 思维提升 1.用“五点法”作出函数y=-sin x(0≤x≤2π)的简图. 跟踪训练 解:列表: 描点作图,如图: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 -sin x 0 -1 0 1 0 知识点2　利用正弦函数的图象解不等式 [例2]　(1)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值范围是 　 　　　.  (2)函数y=log2(2sin x+1)的定义域为 　　 　　.  [解析]　(1)不等式-2sin x≥0得sin x≤,作y=sin x的图象与y=的交点(图略),结合图象知2kπ-π≤x≤2kπ+,k∈Z. (2)要使函数有意义,则必有2sin x+1>0,即sin x>-,画出y=sin x,x∈的草图,如图所示. 当-<x<时,不等式sin x>-成立, 所以sin x>-的解集为. 可知函数y=log2(2sin x+1)的定义域为. 解三角不等式时,可利用三角函数的图象直观求解.一般先找出在一个周期内的符合不等关系的x的范围,再加上周期的整数倍即可. 思维提升 2.已知函数f(x)=sin x,x≥0,则不等式f(x)>的解集是 　 　　　.  跟踪训练 解析:在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=的图象(图略), 由图易得+2kπ<x<+2kπ,k∈N. 知识点3　正弦函数图象的应用 [例3]　若方程sin x=在x∈上有两个实数解,求a的取值范围. [解]　设y1=sin x,x∈,y2=. y1=sin x,x∈的图象如图所示. 由图象可知,当≤<1, 即-1<a≤1-时, y=sin x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程sin x=在x∈上有两个实数解. 故a的取值范围为(-1,1-]. 借助于y=sin x的图象研究两函数的交点问题,可利用数形结合法解决. 思维提升 3.方程xsin x=1在区间[0,2π]上根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 C 解析:当x=0时不满足题意,当x≠0时,方程xsin x=1变为=sin x,方程xsin x=1在区间(0,2π]上的根的个数可由函数y=与函数y=sin x的图象交点个数确定,在平面直角坐标系内作出函数y=与函数y=sin x在(0,2π]上的图象,如图所示. 由图象可知有2个交点. 〈课堂达标·素养提升〉 1.用“五点法”画函数y=1+sin x的图象时,首先应描出五个点的横坐标分别是(　　) A.0,,,,π B.0,,π,,2π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, B 解析:所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π. 2.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析:由函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象(如图所示),可知其与直线y=2只有1个交点. 3.如果方程sin x=a在x∈上有两个不同的解,则实数a的取值范围 是　　　　.  解析:画出y=sin x,x∈的图象,如图所示. 当≤a<1时,直线y=a与y=sin x,x∈交于两点,故≤a<1. 4.函数y=的定义域为 　 　 　　　　　　.  解析:依题意知-2sin x-1≥0, 即sin x≤-. 由y=sin x,x∈[0,2π]的图象(图略)知, 当≤x≤时,sin x≤-, 所以函数y=的定义域为. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.点M在函数y=sin x的图象上,则m等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:把x=代入y=sin x得y=sin=1,所以m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.函数y=-sin x,x∈的简图是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:函数y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是(　　) A.(0,π) B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如图所示. 因为sin=,所以sin=-,sin=-. 即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=. 可知不等式sin x<-的解集是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列关于函数y=|sin x|的说法正确的是(　　 ) A.函数的最大值为1 B.该函数为偶函数 C.图象关于原点对称 D.函数的最小值为0 解析:函数y=|sin x|是偶函数,图象关于y轴对称,且函数的最大值为1,最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 5.方程sin x=a在x∈上有且仅有一个实数解,则实数a的取值范围是　　 　　.  解析:作出y=sin x,x∈的图象,如图所示. 由图知,a的取值范围是[-1,0)∪{1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [-1,0)∪{1} 6.函数y=的定义域是　　　 　　　.  解析:由题意得 解得0<sin x≤1,由正弦函数图象(图略)知2kπ<x<π+2kπ,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.利用“五点法”画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:取值列表: 描点连线,图象如图所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2 8.求函数y=+的定义域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由题意得x满足不等式组 即 作出y=sin x,x∈[-2π,2π]的图象,如图所示. 结合图象可得x∈[-π,0]∪[π,5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.(多选)已知函数f(x)=|tan x|·cos x,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于中心对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)的值域为[-1,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BC 解析:因为函数f(x)=|tan x|·cos x = 画出函数f(x)的图象,如图所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以f(x+2π)=|tan(x+2π)|·cos(x+2π)=|tan x|·cos x, f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于中心对称,f(x)在区间上单调递增,f(x)的值域为(-1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.方程sin x=的根的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知函数y=sin x,x∈[m,n]的值域是,则n-m的最大值为 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:作出正弦函数y=sin x(x∈R)的图象,如图所示, ∵函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为,又sin=sin=-, 结合正弦函数y=sin x的图象与性质可知n-m的最大值为-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.已知函数f(x)=sin x-2|sin x|,x∈[0,2π]. (1)作出函数f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间; (2)讨论g(x)=sin x-2|sin x|-k,x∈[0,2π]的零点个数,并求此时k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)f(x)= 图象如图, 由图象可知f(x)的递增区间为,; f(x)的递减区间为,. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由图象可知: 当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点,即g(x)有0个零点; 当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点,即g(x)有1个零点; 当-3<k<-1时,直线y=k与函数f(x)有2个交点,即g(x)有2个零点; 当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点, 即g(x)有3个零点; 当-1<k<0时,直线y=k与函数f(x)有4个交点, 即g(x)有4个零点. $$