7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.　2.利用正弦线理解正弦函数的性质.　3.掌握正弦函数的性质及其应用. 知识点1　函数的周期性、正弦函数的奇偶性与周期性 内容索引 知识点2　正弦函数的定义域与值域 课时作业 巩固提升 知识点3　正弦函数的单调性 课堂达标·素养提升 3 知识点1　函数的周期性、正弦函数的奇偶性与周期性 1.周期性:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的　　　　,都满足f(x+T)=　　,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数　　称为这个函数的周期.  2.最小正周期:如果函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期.  3.正弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数. 4.正弦函数y=sin x为　　函数,最小正周期为　　　.  每一个x f(x) T 最小的正数 奇 2π [例1]　(1)函数y=cos的最小正周期为　　　　.  (2)函数f(x)=cos+x2sin x的奇偶性是　　　　.  [解析]　(1)因为函数y=cos=sin x,所以最小正周期为2π. (2)f(x)=sin 2x+x2sin x, 因为∀x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x), 所以f(x)是奇函数. 2π 奇函数 1.定义法求函数的周期:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T,该方法主要适用于抽象函数. 2.定义法判断函数的奇偶性:从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. 思维提升 1.函数f(x)=xsin(π+x)(　　) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 跟踪训练 B 解析:易知函数f(x)的定义域R关于原点对称, ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x)≠-f(x),∴f(x)是偶函数,不是奇函数. 知识点2　正弦函数的定义域与值域 　　名称 性质　　 y=sin x 定义域 　  值域 　　  最值 当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最大值ymax=　　;  当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin x的最小值ymin=　　  R [-1,1] 1 -1 [例2]　(1)函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是(　　) A.[1,3]　　　　　　　　 B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] (2)函数f(x)=-2sin2x+2cos x的最小值和最大值分别是(　　) A.-2,2 B.-2, C.-,2 D.-,2 B D [解析]　(1)∵x∈,∴sin x∈[-1,1], ∴-2sin x+1∈[-1,3]. (2)f(x)=-2sin2x+2cos x=2cos2x+2cos x-2 =2-. ∵-1≤cos x≤1, ∴当cos x=-时,f(x)min=-, 当cos x=1时,f(x)max=2. [例3]　求函数y=的值域. [解]　原式可化为y=1-,∵-1≤sin x≤1,∴≤≤2,得-1≤y≤,所以函数y=的值域为. 与正弦函数有关的最值 1.一次型:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项系数的正负确定最值. 2.二次型:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值. 3.分式型:含有sin x或cos x的分式型函数求值域,往往先分离常量,进而求解,有时用反解法求出sin x或cos x,利用有界性建立不等式求解. 思维提升 2.(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是,值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　) A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 跟踪训练 AC 解析:因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是, 所以0≤sin x≤1. 当a<0时,由题意得解得 当a>0时,由题意得解得 3.求函数y=-2cos2x+2sin x+3,x∈的最大值和最小值. 解:f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1 =2+. ∵x∈,∴≤sin x≤1. 当sin x=1时,y取最大值ymax=5; 当sin x=时,y取最小值ymin=. 知识点3　正弦函数的单调性 一般地,正弦函数y=sin x在区间(k∈Z)上递增;在(k∈Z)上递减. [例4]　(1)下列关系式中正确的是(　　) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° (2)y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　 　　,若 x∈[0,π],则y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　.  C (k∈Z) [解析]　(1)sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=cos(90°-80°)=sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°<sin 12°<sin 80°,即sin 11°<sin 168°<cos 10°. (2)当-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时, y=-3sin x+1单调递减, ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). 若x∈[0,π], ∵(k∈Z)∩[0,π]=, ∴当x∈[0,π]时,y=-3sin x+1的单调递减区间为. 1.求形如y=asin x+b的三角函数的单调性,当a<0时,要求y=asin x+b的单调递增区间,即求y=sin x的单调递减区间. 2.用正弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小. 思维提升 4.比较sin与sin的大小. 解:sin=sin=sin,sin=sin=sin. ∵y=sin x在上单调递增,且-<-<<, ∴sin<sin,即sin<sin. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.函数y=-2sin x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 解析:设f(x)=-2sin x,x∈R, ∵f(-x)=-2sin(-x)=2sin x=-f(x), ∴函数y=-2sin x是奇函数. A 2.已知M和m分别是函数y=sin x-1的最大值和最小值,则M+m等于(　　) A. B.- C.- D.-2 解析:因为M=ymax=1-1=0,m=ymin=-1-1=-2,所以M+m=-2. D 3.函数y=log2(sin x)的定义域为　　　　 　.  解析:据题意知sin x>0,得x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z). (2kπ,2kπ+π)(k∈Z) 4.sin与sin的大小关系为　　 　　.(用“>”连接)  sin>sin 解析:sin=sin =sin=sin=sin, sin=sin=sin, 因为0<<<,且y=sin x在上单调递增,所以sin>sin,即sin>sin. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.三角函数y=sin是(　　) A.周期为4π的奇函数 B.周期为的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 解析:三角函数y=sin是奇函数,它的周期为=4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.使函数f(x)=sin(2x+φ)为奇函数的φ的值可以是(　　) A. B. C.π D. 解析:由函数f(x)是R上的奇函数,知f(0)=0,即sin(2×0+φ)=sin φ=0,故φ=kπ(k∈Z),故C符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 3.函数y=9-sin x的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.[2kπ,π+2kπ](k∈Z) D.[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 解析:y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f等于(　　) A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 解析:f=f=f=f=f=f=sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.比较大小:sin　　　　sin.  解析:因为0>->->-,且正弦函数y=sin x在上单调递增,所以sin>sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 6.函数y=2sin x-的零点为　　　 　.  解析:令2sin x-=0,得sin x=,所以x=+2kπ或+2kπ,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +2kπ或+2kπ,k∈Z 7.比较下列各组值的大小: (1)sin和sin; (2)sin和sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)sin=sin=sin. ∵0<<<,且y=sin x在区间上单调递增, ∴sin<sin,即sin<sin. (2)sin=sin=sin,sin=sin=sin. ∵0<<<,且y=sin x在区间上单调递增, ∴sin <sin,即sin<sin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知|x|≤,求函数y=cos2x+sin x的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. 令t=sin x,∵|x|≤, ∴-≤sin x≤,即-≤t≤, 则y=-t2+t+1=-+, ∴当t=-,即x=-时y有最小值,最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.设函数y=sin x,下列结论不成立的是(　　) A.f>0 B.-1≤y≤1 C.最小正周期是2π D.f>f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 解析:对于A,f=sin=>0,故A正确, 对于B,-1≤sin x≤1,故B正确, 对于C,正弦函数的最小正周期为2π,故C正确, 对于D,由于y=sin x在上为增函数, f<f,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:f=f=f=sin=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.若f(n)=sin π,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=　　　　.  解析:因为f(1)=sin=,f(2)=1,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-1,f(7)=-,f(8)=0,f(9)=,…,所以周期为8, 则f(1)+f(2)+…+f(8)=0. 因为2 024=253×8,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=f(1)+f(2)+…+f(8)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 14 12.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调 递减,则ω的最小正值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题意知函数在x=时取最大值. ∴=2kπ+,k∈Z, ∴ω=6k+,k∈Z,当k=0时,ω的最小正值为. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.函数y=asin x+1的最大值为1-a,最小值为-3. (1)求实数a的值; (2)求该函数的单调递增区间; (3)若x∈[-π,π],求该函数的单调递增区间. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵ymax=1-a,∴a<0,故ymin=1+a=-3, ∴a=-4. (2)由(1)得y=-4sin x+1,当+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时, 函数y=-4sin x+1单调递增, ∴y=-4sin x+1的单调递增区间为(k∈Z). (3)∵x∈[-π,π],(k∈Z)∩[-π,π]=∪, ∴当x∈[-π,π]时,y=-4sin x+1的单调递增区间为,. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-(f(x)≠0). (1)求证:函数f(x)是周期函数; (2)若f(x)满足在[-4,-3]上单调递增,且α,β为锐角三角形的两个内角,试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:因为f(x+1)=-, 所以f(x+2)=-=-=f(x), 所以f(x)是周期函数,2就是它的一个周期. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:因为2是f(x)的一个周期,且f(x)在[-4,-3]上单调递增, 所以f(x)在[0,1]上单调递增. 又α,β为锐角三角形的两个内角,所以α+β>, 所以0<-β<α<. 因为y=sin x在上单调递增, 所以sin α>sin=cos β. 又因为sin α∈(0,1),cos β∈(0,1), 所以f(sin α)>f(cos β). 13 14 $$