7.2.4 第2课时 诱导公式(二)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

7.2　任意角的三角函数 7.2.4　诱导公式 第2课时　诱导公式(二) 第七章　三角函数 [学习目标]　1.了解诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导方法.　2.能够准确记忆诱导公式⑤⑥⑦⑧.　3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点1　利用诱导公式⑤~⑧求值 内容索引 知识点2　利用诱导公式⑤~⑧化简 课时作业 巩固提升 知识点3　诱导公式的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用诱导公式⑤~⑧求值 诱导 公式⑤ 角α与-α的三角函数值之间的关系 sin=　　　　,  cos=　　　  诱导 公式⑥ 角α与+α的三角函数值之间的关系 sin=　　　　,  cos=　　　  cos α sin α cos α -sin α 诱导 公式⑦ 角α与+α的三角函数值之间的关系 cos=　　　　,  sin=　　　  诱导 公式⑧ 角α与-α的三角函数值之间的关系 cos=　　　　,  sin=　　　  sin α -cos α -sin α -cos α [例1]　(1)已知sin=,那么cos α=(　　) A.-　　　　　　　　 B.- C. D. (2)已知cos=,则sin=　　　　　.  (3)已知角α的终边在第二象限,且与单位圆交于点P,则=　　　　.  C 2 [解析]　(1)sin=sin =sin=cos α=. (2)sin=sin =cos=. (3)因为角α的终边在第二象限,且与单位圆相交于点P,所以a2+=1(a<0),所以a=-, 所以sin α=,cos α=-, 所以原式==-·=×=2. 已知三角函数值求其他三角函数值的解题思路 1.观察:(1)观察已知的角和所求角的差异,寻求角之间的关系; (2)观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异. 2.转化:运用诱导公式将不同的角转化为相同的角;将不同名的三角函数化为同名的三角函数. 思维提升 1.计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　　.  解析:因为1°+89°=90°,所以sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,同理sin22°+sin288°=1,sin23°+sin287°=1,所以原式=44×1+=. 跟踪训练 2.已知sin=,求cos的值. 解:∵+α+-α=,∴-α=-, ∴cos=cos=sin=. 知识点2　利用诱导公式⑤~⑧化简 [例2]　化简,其中k∈Z. [解]　k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则 原式= ===1. k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z). 仿上化简得:原式=1. 故原式=1. 用诱导公式进行化简时,若遇到kπ±α的形式,需对k进行分类讨论,然后再运用诱导公式进行化简. 思维提升 3.化简: -. 跟踪训练 解:∵sin(4π-α)=sin(-α)=-sin α, cos=cos =cos=-sin α, sin=sin=sin =sin=-sin=-cos α, tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α, sin(3π-α)=sin(π-α)=sin α, ∴原式=- =-+ ===1. 知识点3　诱导公式的综合应用 [例3]　已知f(x)= . (1)化简f(x); (2)若x是第三象限角,且cos=,求f(x)的值; (3)求f. [解]　(1)原式= = = =tan x. (2)∵cos=-sin x,∴sin x=-. ∵x是第三象限角,∴cos x=-=-, ∴f(x)=tan x===. (3)f=tan=-tan =-tan=-. 诱导公式综合应用要“三看” 1.看角:(1)化大为小;(2)看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系. 2.看函数名称:一般是弦切互化. 3.看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 思维提升 4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角, 求·tan2(π-α)的值. 跟踪训练 解:方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2, 由α是第三象限角,得sin α=-,则cos α=-, ∴·tan2(π-α) =·tan2α =·tan2α=-tan2α=-=-. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若sin(3π+α)=-,则cos等于(　　) A.- B. C. D.- A 解析:∵sin(3π+α)=-sin α=-,∴sin α=, ∴cos=cos=-sin α=-. 2.已知sin=,则cos的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析:cos=cos=-sin=-. A 3.sin(π+θ)=,sin=,则θ角的终边在第　　　　　象限.  解析:因为sin(π+θ)=, 所以sin θ=-<0. 因为sin=, 所以cos θ=>0, 所以θ角的终边在第四象限. 四 4.设tan α=3,则=　　　　.  解析:= ===2. 2 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知sin(75°+α)=,则cos(15°-α)的值为(　　) A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:因为(75°+α)+(15°-α)=90°, 所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知sin= ,α∈,则tan α的值为(　　) A.-2 B.2 C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:由已知得,cos α= ,又α∈, 所以sin α=-=-=-.因此,tan α==-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析:f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 4.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(2π-α)的值为(　　) A.- B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:因为sin(π+α)+cos=-sin α-sin α=-m, 所以sin α=.故cos+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.化简:sin(-α-7π)·cos=　　　　.  解析:原式=-sin(7π+α)·cos=-sin(π+α)·=sin α·(-sin α)=-sin2α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -sin2α 6.sin2+sin2=　　　　.  解析:因为+= ,所以sin2+sin2=sin2+cos2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 7.已知sin α=,且α是第一象限角. (1)求cos α的值; (2)求tan(α+π)+的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)因为α是第一象限角, 所以cos α>0. 因为sin α=, 所以cos α==. (2)因为tan α==, 所以tan(α+π)+ =tan α+=tan α+1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由已知得 消去sin β,得tan α=3, 所以sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1, 化简得sin2α=,则sin α=(α为锐角). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)下列结论正确的是(　　) A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角 B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α= C.若α≠(k∈Z),则tan=- D.在△ABC中,sin=cos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 CD 解析:由诱导公式知α∈R时,sin(π+α)=-sin α,所以A错误;当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时cos α=,当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此时cos α=-,所以B错误;若α≠(k∈Z),则tan===-,所以C正确;因为在△ABC中,B+C=π-A,所以sin=sin=cos,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知角α的终边经过点P(-4,3),则tan α=　　　　,=　　　　.  解析:因为角α的终边经过点P(-4,3), 所以tan α==-,所以==tan α=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - - 11.已知sincos=,且0<α<,则sin α=　　　　, cosα=　　　　.  解析:sincos=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=. 因为0<α<,所以0<sin α<cos α. 又因为sin2α+cos2α=1,所以sin α=,cos α=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知sin α= ,求tan(α+π)+的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为sin α= >0,所以α为第一或第二象限角. tan(α+π)+=tan α+=+=. ①当α为第一象限角时,cos α== ,原式==. ②当α为第二象限角时,cos α=-=- ,原式==-. 综合①②知,原式= 或-. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知f(α)=. (1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值; (2)若f(α)-f=,且α∈,求tan α的值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)f(α)= ===sin α. 所以f(α)=sin α=-. 因为α∈(0,2π),则α=或α=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知,f(α)=sin α, 所以f(α)-f=sin α-sin=sin α+cos α=, 所以sin α=-cos α, 所以cos2α+=1, 即(5cos α-4)(5cos α+3)=0, 可得cos α=或cos α=-. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为α∈,则cos α=-, 所以sin α=-cos α=-=, 所以tan α==-. 13 $$