5.1.1 第2课时 分层抽样-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.1　统计 5.1.1　数据的收集 第2课时　分层抽样 第五章　统计与概率 [学习目标]　1.理解并掌握分层抽样.　2.会用分层抽样从总体中抽取样本.　3.会用分层抽样解决实际问题. 知识点1　分层抽样的概念 内容索引 知识点2　分层抽样中的计算 课时作业 巩固提升 知识点3　分层抽样的设计 课堂达标·素养提升 3 知识点1　分层抽样的概念 一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成 、 的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按层在总体中所占 进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 有明显差别的 互不重叠 比例 下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是(　　) A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况 C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量 [分析]　依据分层抽样方法的特点依次进行判断. 例1 B 由分层抽样方法的特点知,选项B适合用分层抽样. 1.使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小. 2.使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则. (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比. 思维提升 1.(1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一层(类),然后每层抽取若干个个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行(　　) A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 跟踪训练 C (1)保证每个个体等可能地被抽取是基本抽样的共同特征,为了保证这一点,分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取. (2)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是　　　 　.  (2)因为三个年级的学生视力会存在明显差异,因此使用分层抽样. 分层抽样 知识点2　分层抽样中的计算 某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师　　　　人.  设该校其他教师有x人,则=, 解得x=52,经检验,x=52是原方程的根,故全校教师共有26+104+52=182(人). 例2 182 某网站针对“今年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查,调查结果如下: 例3   支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 的人数 200 400 800 35岁以上 (含35岁)的人数 100 100 400 (1)从所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值. [解]　(1)由题意得=, 解得n=40. (2)从支持B方案的人中,用分层抽样的方法抽取5人,这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少?35岁以下的人数是多少? [解]　(2)35岁以下的人数为×400=4(人),35岁以上(含35岁)的人数为5-4=1(人). 分层抽样中的计算常用比例关系 1.=. 2.总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 思维提升 2.(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查,假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A.101　　　　　　　　　 B.808 C.1 212 D.2 012 跟踪训练 B (1)因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人,所以抽取驾驶员的比例为=, 所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)÷=808(人). (2)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为　　　　.  (2)设应在丙专业抽取的学生人数为x, 则=,即=, 解得x=16. 16 知识点3　分层抽样的设计 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取? 例4 [解]　因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层抽样. 步骤如下: ①分层.按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工. ②确定每层抽取个体的个数.抽样比为=,则在不到35岁的职工中抽125×=25(人); 在35岁至49岁的职工中抽280×=56(人); 在50岁及50岁以上的职工中抽95×=19(人). ③在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本. ④综合每层抽样,组成样本. [变条件]　本例把50岁及50岁以上的人数改为96人,其他条件不变,问应该怎样抽取? 解:因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层抽样,步骤如下: ①分层:按年龄将职工分成三层:不到35岁职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工. ②确定每层抽取个体的个数.抽样比为=, 则在不到35岁职工中抽125×=25(人); 在35岁至49岁职工中抽280×=56(人); 在50岁及50岁以上职工中先随机剔除1人, 再在剩余职工中抽95×=19(人). ③在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本. ④综合每层抽样,组成样本. [变设问]　本例条件不变,若要从中抽取200名职工作为样本,则各年龄段依次抽取多少人? 解:按=的比例抽样,所以依次抽取125×=50(人),280×=112(人),95×=38(人). 分层抽样的步骤 思维提升 3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本,应在甲、乙、丙这三校分别抽取学生(　　) A.30人,30人,30人　　　 B.30人,45人,15人 C.20人,30人,40人 D.30人,50人,10人 跟踪训练 B 先求抽样比==,再各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3 600×=30(人),乙校抽取5 400×=45(人),丙校抽取1 800×=15(人). 〈课堂达标·素养提升〉 1.简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是(　　) A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取 C.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D.将总体分成几层,分层进行抽取 两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同. C 2.某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生为　　　　人.  男生人数为560×=160(人). 160 3.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3,已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取　　　　人.  因为高一年级抽取学生的比例为=,所以=,解得k=2,故高三年级抽取的人数为1 200×=360(人). 360 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是(　　) A.简单随机抽样　　　　　 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定,即为分层抽样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.一批灯泡400只,其中20 W,40 W,60 W的数目之比是4∶3∶1,现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本,三种灯泡依次抽取的个数为(　　) A.20,15,5 B.4,3,1 C.16,12,4 D.8,6,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 三种灯泡依次抽取的个数为40×=20,40×=15,40×=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析,其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5,若采用分层抽样的方法抽取一个样本,且中学生中被抽到的人数为150,则抽取的样本容量n等于(　　) A.1 500 B.1 000 C.500 D.150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x,3x,5x,由3x=150,得x=50,所以n=100+150+250=500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为(　　) A.10 B.12 C.18 D.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为×60=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况.用分层抽样的方法从该学生中抽取一个容量为n的样本.已知高中学生抽取70人,则n的值为　　　　.  由题意,得=,解得n=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 13 6.一支田径队有男运动员49人,女运动员42人,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为13的样本.则应抽取男运动员　　　　人,女运动员　　　　人.  抽样比为=,所以抽取男运动员49×=7(人),女运动员42×=6(人). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 6 13 7.某电台在网站上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数如表所示. 电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应当怎样进行抽样? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2 435 4 567 3 926 1 072 13 解:可用分层抽样方法,其总体容量为12 000.“很喜爱”占=,应抽取60×≈12(人);“喜爱”占,应抽取60×≈23(人); “一般”占,应抽取60×≈20(人); “不喜爱”占,应抽取60×≈5(人). 因此采用分层抽样法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2 435人、 4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:∵机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样方法较妥 ∵=5,∴=2,=14,=4. ∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人. 因副处级以上干部与工人人数都较少,他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人进行00,01,…,69编号,然后用随机数表法抽取14人.这样便得到了一个容量为20的样本. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有(　 　) A.应该采用分层随机抽样法 B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C.乙被抽到的可能性比甲大 D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 13 由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样法.由于比例为=,因此高一年级1 000人中应抽取100人,高二年级1 350人中应抽取135人.甲、乙被抽到的可能性都是.因此只有C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.某服装加工厂某月生产A,B,C三种产品共4 000件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品 的数量是(　　) A.80 B.800 C.90 D.900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产品类型 A B C 产品数量/件   2 300   样本容量/件   230   B 13 由表可得抽样比为,所以样本总容量为400.因为A与C共170件,所以A有90件,C有80件.所以C产品的数量为800. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生1 600名,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是　　　　.  设该校的女生人数是x,则男生人数是1 600-x,抽样比是=,则x=(1 600-x)-10,解得x=760. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 760 13 12.某小学有1 800名学生,6个年级中每个年级的人数大致相同,男女生的比例也大致相同,要从中抽取48名学生,测试学生100米跑的成绩.你认为应该用什么样的方法?怎样抽样?为什么要用这个方法? 解:应该用分层抽样的方法.因为小学的不同年级之间,男女生之间百米跑的成绩有较大差异,所以将1 800名学生按不同年级、性别分成12组,每组随机抽取4名,一共抽取48名学生.这样的抽样方法可使样本的结构与总体的结构保持一致. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样. 因为样本容量为120,总体个数为500+3 000+4 000=7 500,则抽样比为=, 所以有500×=8,3 000×=48, 4 000×=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 分层抽样的步骤是: ①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层. ②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64. ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本. ④综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法.如果用抽签法,要做3 000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是: ①编号:将3 000份答卷都编上号码0001,0002,0003,…,3000. ②在随机数表上随机选取一个开始位置. ③规定读数方向:向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于3000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止. ④按照得到的编号找到相应答卷,组成样本. 13 $$