4.5 增长速度的比较-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.5　增长速度的比较 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.　2.了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长的含义. 知识点1　比较函数值增加的快慢 内容索引 知识点2　比较函数的平均变化率大小 课时作业 巩固提升 知识点3　几种常见函数模型的增长差异的比较 课堂达标·素养提升 3 知识点1　比较函数值增加的快慢 函数y=f(x)从x1到x2(x1≠x2)的平均变化率 (1)定义式:=　　　　 　　.  (2)实质:　　　　　　的改变量与　　　　　的改变量之比.  (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上变化的 　　　　.  函数值 自变量 快慢 (4)平均变化率的几何意义:设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点, 函数y=f(x)的平均变化率==为直线AB的　　　　,如图所示.  斜率 已知函数y=4x,分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律. [分析]　按照平均变化率的公式进行计算,再说明变化规律. [解]　因为==,所以y=4x在区间[1,2]上的平均变化率为=12,在区间[3,4]上的平均变化率为=192,所以当自变量每增加1个单位时,区间的左端点值越大,函数值增加越快. 例1 平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用 1.计算函数在不同区间上的平均变化率,利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢. 2.平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小,通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响. 思维提升 1.已知函数y=x2-2x-3. (1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率,分析当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律; 解:(1)==x2+x1-2,所以在区间[1,2]上的平均变化率为1,在区间[3,4]上的平均变化率为5,所以自变量每增加1个单位,区间长不变的条件下,端点之和越大,函数值增加越快. 跟踪训练 (2)设f(x)=x2-2x-3.记A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),比较直线AB的斜率与直线CD的斜率的大小关系. 解: (2)直线AB的斜率为1,直线CD的斜率为5,直线AB的斜率小于直线CD的斜率. 知识点2　比较函数的平均变化率大小 已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,h(x)=log3x,比较这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率的大小. [分析]　计算出平均变化率,再利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 例2 [解]　因为==2×3a,==2, ==log3, 又因为a>1,所以2×3a>2×31=6, log3<log3=log32<log33=1<6, 因此在区间[a,a+1]上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的平均变化率最小. 不同函数平均变化率大小的比较 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率;利用指数、对数函数的性质比较大小,一般选取一个中间值进行比较,以确定平均变化率的大小. 思维提升 2.已知函数f(x)=4x,g(x)=5x,分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比较它们的大小. 解:==48,==100, 所以在区间[2,3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小. 跟踪训练 知识点3　几种常见函数模型的增长差异的比较 　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 __________ ___________ _________ 图象的 变化 随x的增大逐渐变“陡峭” 随x的增大逐渐变“平缓” 增长速度不变 单调递增 单调递增 单调递增 　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=kx(k>0) 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax 已知x∈(10,+∞),下列函数中,函数值随x的增大而增大,且函数值增长速度最快的是(　　) A.y=10ex B.y=10ln x3　 C.y=x10　 D.y=10·2x 因为e>2,所以10ex比10·2x增长速度快. 例3 A 常见的函数模型及增长特点 1.线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是“直线上升”,其增长速度不变. 2.指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度加剧,形象地称为“指数爆炸”. 思维提升 3.对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓,可称为“对数增长”. 3.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示. 设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. 跟踪训练 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; 解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 021),g(2 021)的大小. 解: (2)∵f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),∴1<x1<2,9<x2<10, ∴x1<6<x2,2 021>x2. 从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6). 当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2 021)>g(2 021). 又∵g(2 021)>g(6), ∴f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6). 〈课堂达标·素养提升〉 1.我们常用函数y=f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率,当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy等于(　　) A.f(x0+Δx)　　　　　　　 B.f(x0)+Δx C.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0) D ∵自变量x由x0改变到x0+Δx,当x=x0时,y=f(x0),当x=x0+Δx时,y=f(x0+Δx), ∴Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 2.函数f(x)=x3-ln x在区间[1,e]上的平均变化率是(　　) A. B. C. D. ∵f(e)-f(1)=e3-1-1=e3-2,∴函数f(x)在区间[1,e]上的平均变化率是. B 3.下列函数中,增长速度最快的是(　　) A.y=2 024x B.y=x2 024 C.y=log2 024x D.y=2 024x 比较幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快. A 4.已知函数f(x)=x+,则f(x)在[1,2]上的平均变化率为　　　　,f(x)在[3,5] 上的平均变化率为　　　　.  自变量x从1变化到2时,函数f(x)的平均变化率为==. 自变量x从3变化到5时,函数f(x)的平均变化率为==. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a的值为(　　) A.-3　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.-2 根据平均变化率的定义,可知==a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 2.函数f(x)=x2在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,其中Δx>0,则k1,k2的大小关系是(　　) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 ∵==x2+x1,∴k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx.∴k1-k2=2Δx.又∵Δx>0,∴k1-k2>0,即k1>k2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 3.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=5t2+mt,且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s,则实数m的值为(　　) A.2　　　 B.1　　　　C.-1　　　　D.6 由已知,得=26,即(5×32+3m)-(5×22+2m)=26,解得m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 4.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表: 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　) A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 C 13 14 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度成倍增长,变量y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,变量y1随x的变化符合此规律. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.函数f(x)=xex在区间[1,3]上的平均变化率为　 　　　.  ===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.函数y=x2与函数y=xln x在区间(1,+∞)上增长较快的一个是　　　　.  当x变大时,x比ln x增长要快,∴x2要比xln x增长的要快. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y=x2 13 14 7.已知函数f(x)=2x2+3,g(x)=2x2+x,h(x)=2x2-x,分别计算这三个函数在区间[2,3]上的平均变化率,并比较它们的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:因为= ===10, ===11, ===9, 11>10>9,因此在区间[2,3]上,g(x)的平均变化率最大,h(x)的平均变化率最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x. (1)计算函数f(x)及g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率,并比较它们的大小; 解:(1)函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为==2. 函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2. 因为2>-2,所以函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率大于g(x)在[-3,-1]上的平均变化率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求使f(1+Δx)<g(1+Δx)的Δx的取值范围. 解: (2)f(1+Δx)=3+2Δx,g(1+Δx)=-2-2Δx, 解f(1+Δx)<g(1+Δx)得Δx<-, 即Δx的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.下列函数中,在区间[2,4]上的平均变化率最大的是(　　) A.y= B.y=x3 C.y=2x D.y=x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 对于函数y=x,其在区间[2,4]上的平均变化率为=1;对于函数y=x3,其在区间[2,4]上的平均变化率为=28;对于函数y=2x,其在区间[2,4]上的平均变化率为=6;对于函数y=,其在区间[2,4]上的平均变化率为=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法正确的是(　 　) A.投资3天以内(含3天),采用方案一 B.投资4天,不采用方案三 C.投资6天,采用方案一 D.投资12天,采用方案二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABC 13 14 由图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确; 投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确; 投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),都高于方案三 的回报,C正确; 投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时 采用方案三,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过　　　　小时.   设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x,令2x=4 096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 13 14 12.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: 关于x呈指数函数变化的变量是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 y2 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化. 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数函数变化. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况,哪段时间体温变化更快? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:当时间x从0 min变到20 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.025(℃/min); 当时间x从20 min变到30 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.05(℃/min). 这里负号表示体温下降,显然,绝对值越大,下降得越快,又因为|-0.025|< |-0.05|,故体温从20 min到30 min这段时间变化得更快. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.某公司对营销人员有如下规定: ①年销售额x(万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x(万元)在[8,64]内时,奖金为y万元,且y=logax(a>0且a≠1),y∈[3,6],且年销售额越大,奖金越多;③年销售额x(万元)超过64万元,按年销售额的10%发奖金. (1)求y关于x的函数解析式; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意知y=logax是增函数,∴a>1, 当x∈[8,64]时,y∈[3,6], ∴∴a=2, ∴y= 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元),求年销售额x所在的范围. 解: (2)由题意得解得16≤x≤100, ∴年奖金y∈[4,10](万元)时,年销售额x的取值范围为[16,100]. 13 14 $$