4.4 幂函数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.4　幂函数 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.了解幂函数的概念.　2.掌握y=xα的图象与性质.　3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 知识点1　幂函数的概念 内容索引 知识点2　幂函数的图象和性质 课时作业 巩固提升 知识点3　幂函数性质的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　幂函数的概念 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数. (1)下列函数中不是幂函数的是(　　) A.y=　　　　　　　　 B.y= C.y=22x D.y=x-1 [分析]　(1)根据幂函数的定义去判断,只有形如y=xα的函数才是幂函数. (1)由幂函数的定义知y==,y=,y=x-1均为幂函数,而y=22x=4x是指数函数. 例1 C (2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=　　　　.  [分析]　(2)根据幂函数的特征,系数等于1求解. (2)因为f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,所以m2-4m-4=1,解得m=5或m=-1. 5或-1 判断一个函数是否为幂函数的方法 1.幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备y=xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数. 2.如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断. 思维提升 1.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于(　　) A.2 B.1 C. D.0 因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数, 所以a=1,-b+1=0, 即a=1,b=1,则a+b=2. 跟踪训练 A 2.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f 的值为(　　) A.-3 B.- C.3 D. D 设f(x)=xα(α为常数), 因为=3,所以=2α=3, 即α=log23, 所以f(x)=, 则f ==. 知识点2　幂函数的图象和性质 1.五个幂函数的图象 2.五个幂函数的性质   y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) 　　 　  值域 R 　　　  R 　　 　  　　 　  奇偶性 　　 　  　 　　  　 　　  　　 　  　　 　  　　 　  {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数   y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 单调性 在R上是 　　　  在[0,+∞)上是 　　　　,在(-∞,0]上是减函数  在R上是 　　　　  在　　 　上是　　　　　  在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是　　 　  公共点 (1,1) 增函数 增函数 增函数 [0,+∞) 增函数 减函数 (1)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取±1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　)   A.-1,,1,2　　　　　　 B.2,1,,-1 C.,-1,2,1 D.2,,-1,1 [分析]　(1)根据各个函数的图象特征选取. 例2 B (1)函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图象为C4;y=x对应的图象为一条过原点的直线,对应的图象为C2;y=x2对应的图象为抛物线,对应的图象应为C1;y=在第一象限内的图象是C3,所以曲线C1,C2,C3,C4的n依次为2,1,,-1. (2)已知函数f(x)=xk(k为常数),在下列函数图象中,不是函数y=f(x)的图象的是(　　) [分析]　(2)根据幂函数图象所在的象限判断. C (2)函数f(x)=xk(k为常数)为幂函数,图象不过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1.依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1 或y=或y=x3)来判断. 思维提升 3.在同一坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 跟踪训练 D 对A,没有幂函数的图象;对B,f(x)=xa(x>0)中a>1,g(x)=logax中0<a<1,不符合题意;对C,f(x)=xa(x>0)中0<a<1,g(x)=logax中a>1,不符合题意;对D,f(x)=xa(x>0)中0<a<1,g(x)=logax中0<a<1,符合题意. 知识点3　幂函数性质的应用 角度1　利用幂函数的单调性比较大小 已知a=,b=,c=2,则(　　) A.b<a<c　　　　　　　　 B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 例3 A 因为a==1,c=2, 由幂函数y=的单调性,所以a<c, 由a==1,b==1, 根据指数函数y=16x的单调性,所以a>b,可得b<a<c. 利用幂函数单调性比较大小的三种方法 思维提升 4.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 跟踪训练 A 点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上, 可得m-1=1,即m=2,2n=8,可得n=3, 则f(x)=x3,且f(x)在R上单调递增, 由a=f,b=f(ln π),c=f, 且0<<<1,ln π>1,可得a<c<b. 角度2　探究幂函数的图象及性质 讨论函数y=x-2的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性. 例4 [解]　因为y=x-2=, 所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-2, 则f(-x)=(-x)-2===x-2=f(x), 因此函数y=x-2是偶函数,因此函数图象关于y轴对称. 通过列表描点,可以先画出y=x-2在x∈(0,+∞)时的函数图象, 再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图象,如图所示. 由图象可以看出,函数y=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增. 关于函数图象、性质的探究 1.探究顺序:一般按照定义域、奇偶性、图象、单调性的顺序进行探究. 2.几点说明: (1)奇偶性决定了图象是否具有对称性,具有奇偶性的函数可先描点作出y轴右侧的图象,再根据对称性作左侧的图象; (2)作图时尽可能多地选取点,而且选取的点要具有代表性,这样作出的图象才更加准确; (3)此种方法是对函数图象和性质的粗略探究,适用的函数有限,更加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习. 思维提升 5.讨论函数y=x-3的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性. 跟踪训练 解:因为y=x-3=,所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-3,则f(-x)=(-x)-3 ===-x-3=-f(x),因此函数y=x-3是奇函数,因此函数图象关于原点对称.通过列表描点,可以先画出y=x-3在x∈(0,+∞)时的函数图象,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图象,如图所示. 由图象可以看出,函数y=x-3在区间(0,+∞),(-∞,0)上都是单调递减. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),则f等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.- D.2 B 幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4), 则2α=4,解得α=2,∴f(x)=x2, ∴f==. 2.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 A 可知当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数, 又因为y=xα的定义域为R,则α=1或α=3. 3.在函数y=,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为　　　　.  函数y==x-4为幂函数; 函数y=3x2中x2的系数不是1, 所以它不是幂函数; 函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数. 1 4.给出下列说法: ①幂函数图象均过点(1,1); ②幂函数的图象均在两个象限内出现; ③幂函数在第四象限内可以有图象; ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点. 其中说法正确的有　　　　(填序号).  ① 根据幂函数的图象特征可知①正确,②③④错误. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列函数是幂函数的是(　　) A.y=5x　　　　　　　　　 B.y=x5 C.y=5x D.y=(x+1)3 函数y=5x是指数函数,不是幂函数;函数y=5x是正比例函数,不是幂函数;函数y=(x+1)3的底数不是自变量x,不是幂函数;函数y=x5是幂函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 设幂函数为f(x)=xα,又因为图象过点,所以=,解得α=-1,故f(x)=x-1,又因为f(-x)=(-x)-1=-f(x)且f(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上也为减函数 ,因此A正确,B,C,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(　　) A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x-1,④y= D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,排除选项C,D;①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,排除A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知函数f(x)=(3m2-2m)xm是幂函数,若f(x)为增函数,则m等于(　　) A.- B.-1 C.1 D.-或1 ∵函数f(x)=(3m2-2m)xm是幂函数, ∴3m2-2m=1,即3m2-2m-1=0,解得m=1或m=-,又∵f(x)为增函数,∴m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 5.已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象经过点(8,4),则不等式f(6x+3)≤9的解集为　　　　.  由题意知8α=4,故α=log84=,由于f(x)==为R上的偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故f(6x+3)≤9即为f(6x+3)≤f(27),所以|6x+3|≤27,解得-5≤x≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [-5,4] 6.设a=,b=,c=,则a,b,c从小到大的顺序是　　　　.  由a=,b=,可利用幂函数的性质,得a>b,可由指数函数的单调性得c>a,∴b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b<a<c 7.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称,且在R上单调递增. (1)求f(x)的解析式; 解:(1)由幂函数f(x)=x9-3m(m∈N+)的图象关于原点对称,且在R上单调递增,可得9-3m>0, 解得m<3,m∈N+,可得m=1或m=2, 若m=1,则f(x)=x6,图象不关于原点对称,舍去; 若m=2,则f(x)=x3,图象关于原点对称,且在R上单调递增,成立.则f(x)=x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围. 解: (2)由(1)可得f(x)是奇函数,且在R上单调递增, 由f(a+1)+f(3a-4)<0, 可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a), 则a+1<4-3a,解得a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)= loga(x+m)的单调递增区间为(　　) A.(-2,+∞) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(2,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 由题意得m+2=1,解得m=-1, 则f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得, 2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1), 令x-1>0,解得x>1, 故g(x)的单调递增区间为(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3,5) ∵f(x)==(x>0), 易知f(x)在(0,+∞)上为减函数, 又∵f(a+1)<f(10-2a), ∴解得∴3<a<5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.函数f(x)=xα+b,不论α为何值f(x)的图象均过点(m,0),则实数b的值为　　　　.  ∵不论α为何值,幂函数y=xα的图象均过点(1,1),∴不论α为何值f(x)的图象均过点(1,1+b), 又∵不论α为何值f(x)的图象均过点(m,0),∴1+b=0,即b=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 11.已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x). (1)求g(x)的解析式; 解:(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数). 因为幂函数g(x)过点, 所以2α=,解得α=-1,所以g(x)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由. 解: (2)由(1)得f(x)=x2+.①当a=0时,f(x)=x2. 由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数. ②当a≠0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数. 综上,当a=0时,f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.若(a+1<(3-2a,试求a的取值范围. 解:对于(a+1<(3-2a,可分三种情况讨论. ①a+1和3-2a都在(-∞,0)内,此时方程组无解; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②a+1和3-2a都在(0,+∞)内,解得<a<; ③若a+1和3-2a不在同一单调区间内, 则有解得a<-1. 综上可知,a的取值范围为(-∞,-1)∪. $$