4.3 指数函数与对数函数的关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系.　2.会求简单函数的反函数.　3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 知识点1　反函数的概念 内容索引 知识点2　求反函数 课时作业 巩固提升 知识点3　互为反函数的图象与性质的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　反函数的概念 1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中　　　　　　y的值,只有 　　　　　　x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.  2.反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作　　　　　　.  任意一个 唯一的 y=f-1(x) 下列函数中,存在反函数的是(　　) A. B. C. D. 例1 x x>0 x=0 x<0 f(x) 1 0 -1 x x是有理数 x是无理数 g(x) 1 0 x 1 2 3 4 5 h(x) -1 2 0 4 2 x 1 2 3 4 5 l(x) -2 -1 0 3 4 D 因为f(x)=1时,x为任意的正实数,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在; 因为g(x)=1时,x为任意的有理数,即对应的x不唯一,因此g(x)的反函数不存在; 因为h(x)=2时,x=2或x=5,即对应的x不唯一, 因此h(x)的反函数不存在; 因为l(x)的值域{-2,-1,0,3,4}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此l(x)的反函数存在. 判断下列函数是否有反函数. (1)f(x)=; [解]　(1)令y=f(x),因为y==1+,是由反比例函数y=向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,在(-∞,1),(1,+∞)上都是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数. 例2 (2)g(x)=x2-2x. [解]　(2)令g(x)=3,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3, 即对应的x不唯一,因此g(x)的反函数不存在. 判定函数存在反函数的方法 1.逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值,如果都是唯一的,则函数的反函数存在. 2.确定函数在定义域上的单调性,如果函数是单调函数,则函数的反函数存在. 3.利用原函数的解析式,解出自变量x,如果x是唯一的,则函数的反函数存在. 思维提升 1.判断下列函数是否存在反函数. (1)y=-2; 解:(1)y=-2是由函数y=向左平移1个单位,向下平移2个单位得到,在 (-∞,-1),(-1,+∞)上是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x值与之对应,所以函数存在反函数. 跟踪训练 (2)y=-2x2+4x,x∈(1,+∞). 解: (2)y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,对称轴为x=1,在(1,+∞)上是减函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x值与之对应,所以函数存在反函数. 知识点2　求反函数 求下列函数的反函数. (1)y=2x+1(x∈R); [分析]　按照求反函数的步骤求反函数. [解]　(1)函数y=2x+1,当x∈R时,y>0. 法一:∵x+1=log2y,∴x=-1+log2y,x,y互换得反函数为y=-1+log2x(x>0). 法二:对y=2x+1中的x,y互换得x=2y+1,∴y+1=log2x,即反函数为y=-1+log2x(x>0). 例3 (2)y=1+ln(x-1)(x>1); [分析]　按照求反函数的步骤求反函数. [解]　(2)由y=1+ln(x-1),得x=ey-1+1,又由x>1, 知y∈R,∴反函数为y=ex-1+1(x∈R). (3)y=(x∈R且x≠-1). [分析]　按照求反函数的步骤求反函数. [解]　(3)y==1+(x∈R且x≠-1), ∴y∈R且y≠1. 对y=,x,y互换得x=, ∴反函数为y=(x∈R且x≠1). 求反函数的一般步骤 1.求值域:由函数y=f(x)求y的范围. 2.解出x:由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出的x不唯一,要根据条件中x的范围决定取舍,只取一个. 3.得反函数:将x,y互换得y=f-1(x),注意定义域得反函数. 思维提升 2.求下列函数的反函数. (1)y=(1≤x≤2); 解:(1)∵1≤x≤2,∴0≤2x-x2≤1,∴y∈[0,1]. ∵y=, ∴y2=2x-x2,-(x-1)2=y2-1,(x-1)2=1-y2, ∵x∈[1,2],∴x-1=, ∴反函数为y=1+(0≤x≤1). 跟踪训练 (2)y=x2-1(x≤0); 解: (2)∵y=x2-1(x≤0),∴y≥-1. ∴x=-,x,y互换得反函数为y=-(x≥-1). (3)y=log2(x>0). 解: (3)∵x>0,∴1+>1,y=log2>0, ∴1+=2y,即x=, x,y互换得反函数为y=(x>0). 知识点3　互为反函数的图象与性质的应用 1.反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的　　　　与y=f-1(x)的 　　　　　　相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线　　　　　　对称.  (2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在,此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数. 值域 定义域 y=x 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)　　　　　　　.  (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线 　　　　对称.  互为反函数 y=x (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=logax的图象只能是(　　) (1)y=ax与y=logax的单调性一致,故排除A,B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确. 例4 C (2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是图中的(　　) A (2)因为a>1时,y=a-x=,0<<1是减函数,恒过(0,1)点,y=logax为增函数,恒过(1,0)点. 原函数的图象与反函数的图象关于直线y=x对称,点P(x,y)关于y=x的对称点是P1(y,x),利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上,直接求点或求值. 思维提升 3.设函数f(x)=2lg(2x-1),则f-1(0)的值为(　　) A.0　　　 B.1　　　　C.10　　　　D.不存在 令f(x)=0得:2lg(2x-1)=0⇒x=1, 所以f-1(0)=1. 跟踪训练 B 〈课堂达标·素养提升〉 1.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点(　　) A.(1,1)　　　　　　　　　 B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) C 原函数与它的反函数的图象关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图象过点(1,5),而点(1,5)关于y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图象必过点(5,1). 2.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是(　　) A.(0,+∞) B.R C.(-∞,0) D.(0,1) 由原函数与反函数间的关系知,反函数的值域为原函数的定义域. A 3.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象过点Q(5,2),则b=　　　　.  f-1(x)的图象过Q(5,2),则f(x)的图象过点(2,5),则f(2)=5,即22+b=5,解得b=1. 1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.函数y=-x2(x≤0)的反函数是(　　) A.y=-(x≥0) B.y=(x≤0) C.y=-(x≤0) D.y=-|x| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由y=-x2(x≤0),得x2=-y(y≤0),所以x=-(y≤0),互换x,y得y=-x2(x≤0)的反函数为y=-(x≤0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.函数y=-x(x+2)(x≥0)的反函数的定义域是(　　) A.[0,+∞)　　　　　　　 B.(-∞,1] C.(0,1] D.(-∞,0] y=-x(x+2)=-(x+1)2+1(x≥0)的值域为(-∞,0],因为一个函数与其反函数的定义域与值域互为“倒置”,所以y=-x(x+2)(x≥0)的反函数的定义域为(-∞,0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 3.设点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,那么f-1(x)的图象上一定有点(　　) A.(a,f-1(a)) B.(f-1(b),b) C.(f-1(a),a) D.(b,f-1(b)) ∵点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,∴b=f(a),即a=f-1(b),∴f-1(x)的图象一定过点(b,a),即(b,f-1(b)). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 4.已知y=的反函数为y=f(x),若f(x0)=-,则x0=(　　) A.-2 B.-1 C.2 D. 由原函数与反函数的关系得x0===2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 5.已知一次函数y=ax+3与y=4x-b的图象关于直线y=x对称,则a+b= 　　　　.  由题意知y=ax+3与y=4x-b互为反函数,由y=4x-b,得x=,互换x,y得y=x+,所以y=4x-b的反函数为y=x+,所以a=,=3,b=12,所以a+b=+12=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于　　　　.   由题意,得 ∴解得或 ∵a>0,∴a=3,b=1,∴a+b=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 7.求函数y=2x+1(x<0)的反函数. 解:因为y=2x+1,0<2x<1,所以1<2x+1<2. 所以1<y<2. 由2x=y-1,得x=log2(y-1). 所以f-1(x)=log2(x-1)(1<x<2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知f-1(x)=2-3,x≥1,求f(x). 解:令y=f-1(x)=2-3, ∵x≥1,∴2-3≥-1,∴y≥-1. 由y=2-3,得2=y+3, ∴x=(y≥-1). 互换x,y,得y=(x≥-1), ∴f(x)=(x≥-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知a,b均为不等于1的正数,且满足lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 13 14 法一:∵lg a+lg b=0,∴ab=1. ∵g(x)=-logbx的定义域是(0,+∞),∴排除A; 若a>1,则0<b<1,此时f(x)=ax是增函数,g(x)=-logbx是增函数;若0<a<1,则b>1,此时f(x)=ax是减函数,g(x)=-logbx是减函数.结合图象知选B. 法二:∵lg a+lg b=0,∴ab=1,即b=, ∴g(x)=-x=logax,∴f(x)与g(x)互为反函数,图象关于y=x对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.函数y=的反函数是(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 当x<0时,y=x2,y>0,其反函数为y=-;当x≥0时,y=-x,y≤0,其反函数为y=-2x,所以函数y=的反函数是y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.若函数f(x)=x-(x>0)的反函数为y=f-1(x),则关于x的不等式f-1(x)≤3的解 集为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 易得f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,值域为R.则其反函数在R上也单调递增,又因为f(3)=3-=, 则f-1=3,∴f-1(x)≤3, 即f-1(x)≤f-1,∴x≤, 即关于x的不等式f-1(x)≤3的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为　　　　.  由y=可得x=,则原函数的反函数是y=, 所以=,得a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若[f-1(m)+6][f-1(n)+6]=27,求f(m+n)的值. 解:令y=log3(x+6),则x+6=3y, x=3y-6,互换x,y得y=3x-6, ∴f-1(x)=3x-6. ∵[f-1(m)+6][f-1(n)+6]=27, ∴3m·3n=27,即3m+n=33, ∴m+n=3, ∴f(m+n)=log3(3+6)=log39=2. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)为f(x)的反函数. (1)写出函数g(x)的解析式; 解:(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1), 所以g(x)=logax(a>0且a≠1). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解关于x的不等式g(x)-loga(2-3x)≤loga1. 解: (2)由g(x)-loga(2-3x)≤loga1, 得logax≤loga(2-3x). 当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增, 所以解得0<x≤. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当0<a<1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递减, 所以解得≤x<. 综上,当a>1时,原不等式的解集为; 当0<a<1时,原不等式的解集为. 13 14 $$