4.2.3 第2课时 对数函数的图象与性质的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象 第2课时　对数函数的图象与性质的应用 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.进一步理解对数函数的图象和性质.　2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题. 知识点1　对数函数图象的辨识 内容索引 知识点2　对数函数性质的应用 课时作业 巩固提升 知识点3　y=loga f(x)型函数性质的研究 课堂达标·素养提升 3 知识点1　对数函数图象的辨识 (1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　) A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 [分析]　(1)已知对数函数的图象⇒图象平移规律求解. 例1 D (1)∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,∴c>0,当x=0时,loga(x+c)=logac>0,即c<1.∴0<c<1. (2)已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(　　) A.(2,+∞)　　　　　　　 B.[2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞) [分析]　(2)作对数函数图象⇒图象变换⇒构建关于a,b的方程⇒研究函数单调性求解. C (2)∵f(a)=f(b),∴|lg a|=|lg b|, ∴a=b(舍去)或b=,∴a+2b=a+,又0<a<b, ∴0<a<1<b,令f(a)=a+. 由函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数,∴f(a)>f(1)=1+=3.即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1.对有关对数函数的图象问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变化得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维提升 2.常见的函数图象的变换技巧 (1)平移符合“左加右减,上加下减”的规律. (2)y=f(x) y=f(|x|). (3)y=f(x) y=|f(x)|. (4)y=f(x) y=f(-x). (5)y=f(x) y=-f(x). (6)y=f(x) y=-f(-x). 1.已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(　　) 跟踪训练 B 若0<a<1,则函数y=ax为减函数且过点(0,1),函数y=loga(-x)为增函数且过点(-1,0); 若a>1,则函数y=ax为增函数且过点(0,1),函数y=loga(-x)为减函数且过点(-1,0).故只有选项B中的图象符合. 2.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=b+logax的图象大致是(　　) D 由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知0<a<1,b<-1.所以函数g(x)=b+logax是减函数. 因为b<-1,所以函数g(x)=b+logax的图象与x轴的交点位于(0,0)与(1,0)之间. 知识点2　对数函数性质的应用 (1)比较下列各组中两个值的大小: ①ln 0.3,ln 2; ②loga3.1,loga5.2(a>0且a≠1); ③log30.2,log40.2; ④log3π,logπ3. 例2 [解]　(1)①因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3< ln 2. ②当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又因为3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 又因为3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 综上所述,当a>1时,loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2. ③因为0>log0.23>log0.24,所以<, 即log30.2<log40.2. ④因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数, 且π>3, 所以log3π>log33=1. 同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3. (2)求lox>lo(4-x)关于x的解集. [解]　(2)由题意得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. 1.比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 思维提升 2.常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解. 3.已知a=,b=log2,c=,则(　　) A.a>b>c　　　　　　　 B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b ∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c==1,∴c>a>b. 跟踪训练 D 4.若loga<1(a>0且a≠1),求实数a的取值范围. 解:loga<1,即loga<logaa. 当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数, 所以loga<logaa恒成立; 当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数, 由loga<logaa,得a<,即0<a<. 所以实数a的取值范围为∪(1,+∞). 知识点3　y=loga f(x)型函数性质的研究 1.定义域 由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域. 2.值域 在函数y=loga f(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性 在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定). 4.奇偶性 根据奇偶函数的定义判定. 5.最值 在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值. 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　) A.(-∞,-2)　　　　　　 B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) [解]　由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4. 令g(x)=x2-2x-8,函数g(x)在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞). 例3 D 求函数f(x)=lo(x2-6x+17)的值域. [分析]　利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解. 例4 [解]　∵x2-6x+17=(x-3)2+8>0, ∴函数f(x)的定义域为R, 令t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8, 又∵0<<1, ∴y=lot在[8,+∞)上是减函数, ∴f(x)≤lo8=-3, 故所求函数的值域是(-∞,-3]. 1.求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定树立定义域优先意识,即由f(x)>0,先求定义域. 2.求此类型函数单调区间的两种思路:(1)利用定义求解;(2)借助函数的性质,研究函数t=f(x)和y=logat在定义域上的单调性,从而判定y=logaf(x)的单调性. 3.对于形如y=logaf(x)(a>0,a≠1)的复合函数,求值域的步骤:(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数;(2)求logaf(x)的定义域;(3)求u的取值范围;(4)利用y=logau的单调性求解. 思维提升 5.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量),则a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 跟踪训练 B 设u=2-ax,由y=logau,得a>0,因此u=2-ax单调递减. 要使函数y=loga(2-ax)是减函数,则y=logau必须是增函数, 所以a>1,排除A,C.又因为a=2时,y=loga(2-2x)在x=1时没有意义, 但原函数x的取值范围是[0,1],所以a≠2,因此排除D. 6.求函数y=lo的值域. 解:∵3-2x-x2>0,∴-3<x<1, ∴函数的定义域为(-3,1). 令t=3-2x-x2=-(x+1)2+4, ∵-3<x<1,∴0<t≤4. 又∵0<<1,∴y≥lo=-1, ∴所求函数的值域为[-1,+∞). 〈课堂达标·素养提升〉 1.对数函数y=logax与y=logbx的图象如图,则(　　) A.a<0,b<0　　　　　　 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 由对数函数的图象与性质的关系可知,0<a<1,b>1. C 2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(　　) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) ∵3x>0,∴3x+1>1. ∴log2(3x+1)>0. ∴函数f(x)的值域为(0,+∞). A 3.函数f(x)=x|的单调递增区间是　　　　.  f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)的单调递增区间是[1,+∞). [1,+∞) 4.函数y=log(3a-1)x是(0,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是　　　　.  由题意可得0<3a-1<1, 解得<a<, 所以实数a的取值范围是. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是(　　) A.c<d<1<a<b　　　　　 B.1<d<c<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 在图中作出直线y=1,则1=logax1,1=logbx2,1=logcx3,1=logdx4,解得x1=a,x2=b,x3=c,x4=d,由图可知x3<x4<1<x1<x2,即c<d<1<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知a=log23.4,b=log43.6,c=log30.3,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b ∵a=log23.4>1,0<b=log43.6<1,c=log30.3<0,∴a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 3.若loga<1,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪(1,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 当a>1时,loga<1=logaa, 解得a>,此时a的取值范围是(1,+∞); 当0<a<1时,loga<1=logaa,解得0<a<,此时a的取值范围是. 综上,实数a的取值范围是∪(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是(　　) A.(0,1) B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 由题意,得 解得≤a<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.设a>1,函数f(x)=logax在[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=　　　　.  ∵a>1,∴f(x)=logax在[a,2a]上单调递增, ∴loga(2a)-logaa=, ∴loga2=,即=2,∴a=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 6.函数y=(1-3x)的值域为　　　　.  因为3x>0,所以-3x<0,所以1-3x<1. 设t=1-3x,0<t<1, 又因为y=t是关于t的减函数, 所以y=t>lo1=0, 即所求函数值域为(0,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (0,+∞) 13 14 7.求函数y=(1-x2)的单调递增区间,并求函数的最小值. 解:要使y=(1-x2)有意义,则1-x2>0, 所以x2<1,即-1<x<1, 因此函数y=(1-x2)的定义域为(-1,1). 令t=1-x2,x∈(-1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当x∈(-1,0]时,若x增大, 则t增大,y=t减小, 所以当x∈(-1,0]时,y=(1-x2)是减函数; 同理当x∈[0,1)时,y=(1-x2)是增函数. 故函数y=(1-x2)的单调递增区间为[0,1),且函数的最小值ymin=(1-02)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=f2(x)+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值. 解:∵f(x)=2+log3x, ∴y=f2(x)+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2 =(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=f2(x)+f(x2)有意义,必须满足 ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1, ∴6≤(log3x+3)2-3≤13, ∴函数y=f2(x)+f(x2)取得最大值13,此时x=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为(　　) A. B. C.(1,+∞) D.∪(1,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 ∵y=loga(3a-1)恒为正值, ∴或 解得<a<或a>1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知函数f(x)=|lg x|,0<a<b,且f(a)>f(b),则(　　) A.ab>1 B.0<ab<1 C.ab=1 D.(a-1)(b-1)>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 作出f(x)=|lg x|的图象,如图所示. 由图象可知,0<a<b<1或0<a<1<b. 当0<a<b<1时,显然0<ab<1; 当0<a<1<b时,由f(a)>f(b)得-lg a>lg b, 即lg a+lg b<0,所以lg(ab)<0,得0<ab<1. 综上可知,0<ab<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (0,1] 13 14 函数f(x)的图象如图所示, 要使y=a与f(x)的图象有两个不同交点,则0<a≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f =0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∪(2,+∞) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵f(x)是R上的偶函数, ∴它的图象关于y轴对称. ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0]上为减函数, 作出函数图象如图所示. 由f =0,得f=0. ∴fx)>0⇒x<-或x>⇒x>2或0<x<, ∴x∈∪(2,+∞). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.(1)已知y=(loa)x在R上为减函数,求实数a的取值范围; 解:(1)∵y=(loa)x在R上是减函数, ∴0<loa<1, ∴0<loa<lo, ∴<a<1, ∴实数a的取值范围是. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知x∈(1,2)时,(x-1)2<logax恒成立,求实数a的取值范围. 解: (2)设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax, ∵x∈(1,2)时,(x-1)2<logax恒成立, ∴f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象恒在f2(x)=logax图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立. 当a>1时,如图所示. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=logax图象的下方,只需f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 得loga2≥1,解得1<a≤2, ∴实数a的取值范围是(1,2]. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x). (1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数; (1)证明:由对数函数的定义得 解得即-1<x<1, 设-1<x1<x2<1, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg . ∵-1<x1<x2<1, ∴0<1+x1<1+x2,0<1-x2<1-x1, 于是0<<1,0<<1, 则0<<1, ∴lg <0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 即函数f(x)是(-1,1)上的增函数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集. (2)解:∵f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. ∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2). ∵f(x)在(-1,1)上是增函数, ∴解得2<x<3. ∴不等式的解集为{x|2<x<3}. 13 14 $$