4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图象 第2课时　指数函数的图象与性质的应用 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.　2.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式. 知识点1　利用指数函数性质比较大小 内容索引 知识点2　形如y=af(x)类型函数的单调性与值域 课时作业 巩固提升 知识点3　利用指数函数性质解不等式 课堂达标·素养提升 3 知识点1　利用指数函数性质比较大小 比较下列各组数的大小: (1)1.72.5,1.73; [分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小,一般用y=ax的单调性;指数相同的幂值ac与bc比较大小,可在同一坐标系中,画出y=ax与y=bx的图象考察x=c时,函数值的大小;底数与指数均不同的一般考虑先化同底.不方便化时,常借助中间量0,1等过渡. 例1 [解]　(1)由于底数1.7>1,∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. (2)0.8-0.1,0.8-0.2; [分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小,一般用y=ax的单调性;指数相同的幂值ac与bc比较大小,可在同一坐标系中,画出y=ax与y=bx的图象考察x=c时,函数值的大小;底数与指数均不同的一般考虑先化同底.不方便化时,常借助中间量0,1等过渡. [解]　(2)由于0<0.8<1, ∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数. ∵-0.1>-0.2, ∴0.8-0.1<0.8-0.2. (3)1.70.3,0.93.1; [分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小,一般用y=ax的单调性;指数相同的幂值ac与bc比较大小,可在同一坐标系中,画出y=ax与y=bx的图象考察x=c时,函数值的大小;底数与指数均不同的一般考虑先化同底.不方便化时,常借助中间量0,1等过渡. [解]　(3)由指数函数的性质得 1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, ∴1.70.3>0.93.1. (4),,. [分析]　底数相同的幂值ab与ac比较大小,一般用y=ax的单调性;指数相同的幂值ac与bc比较大小,可在同一坐标系中,画出y=ax与y=bx的图象考察x=c时,函数值的大小;底数与指数均不同的一般考虑先化同底.不方便化时,常借助中间量0,1等过渡. [解]　(4)∵==(23=, ==(32=而8<9. ∴<,即<, 又∵==(25=3,==(52,而25<32, ∴<. 总之,<<. 比较指数式大小的3种类型及处理方法 思维提升 1.比较下列各题中两个值的大小. (1)0.3x与0.3x+1; 解:(1)∵y=0.3x为减函数, 又∵x<x+1,∴0.3x>0.3x+1. 跟踪训练 (2)与. 解: (2)化同底为=22与, ∵函数y=2x为增函数,2>. ∴22>,即>. 知识点2　形如y=af(x)类型函数的单调性与值域 求函数y=的单调递增区间、值域. [分析]　利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解. 例2 [解]　令t=-x2+x+2,则y=, 因为t=-+,可得t的减区间为,因为函数y=在R上是减函数, 所以函数y=的单调递增区间; 又因为t≤,所以≥, 所以函数y=值域为. 复合函数的单调性、值域 1.分层:一般分为外层y=at,内层t=f(x). 2.单调性复合:复合法则“同增异减”,即内外层的单调性相同则为增函数,单调性相反则为减函数. 3.值域复合:先求内层t的值域,再利用单调性求y=at的值域. 思维提升 2.函数f(x)=的单调递减区间是　　　　,值域是　　　 　.  跟踪训练 [1,+∞) 令t =x2-2x=(x-1)2-1,则f(x)=,利用二次函数的性质可得函数t的增区间为[1,+∞),所以函数f(x)=的减区间是[1,+∞);因为t≥-1, 所以≤, 所以函数f(x)=的值域为. 知识点3　利用指数函数性质解不等式 若不等式<成立,则实数x的取值范围是　　　　.  由于<等价于<5-x, 又因为y=5x为增函数,故x2+x-3<-x, 即x2+2x-3<0,解得-3<x<1. 即实数x的取值范围是(-3,1). 例3 (-3,1) 解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1). [解]　①当0<a<1时,∵a2x+1≤ax-5, ∴2x+1≥x-5,解得x≥-6. ②当a>1时,∵a2x+1≤ax-5, ∴2x+1≤x-5,解得x≤-6. 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x≥-6}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}. 例4 指数型不等式的解法 1.指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法: 当a>1时,f(x)>g(x); 当0<a<1时,f(x)<g(x). 2.如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0且a≠1),a-x =(a>0且a≠1)等. 思维提升 3.已知不等式≤3x<27,则x的取值范围为(　　) A.-≤x<3 B.≤x<3 C.R D.-≤x< 跟踪训练 A 由题意可得≤3x<33,再根据函数y=3x在R上是增函数,可得-≤x<3. 4.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是　　 　　.  ∵a2+a+2=+>1, ∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x⇔x>1-x⇔x>. ∴x∈. 〈课堂达标·素养提升〉 1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　　　　　 B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a ∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故1.50.6>0.60.6,又∵函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减函数,且1.5>0.6,所以0.61.5<0.60.6,故0.61.5<0.60.6<1.50.6. C 2.已知集合A={x|x<3},B={x|2x>4},则A∩B=(　　) A.∅ B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|2<x<3} 因为函数y=2x是增函数,所以B={x|2x>4}={x|x>2},故A∩B={x|2<x<3}. D 3.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为 　　　　(用“<”连接).  因为a=,即0<a<1,所以f(x)=ax在R上为减函数.又因为f(m)>f(n),所以m<n. m<n 4.设0<a<1,则关于x的不等式>的解集为　　　　.   因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数. 又因为>, 所以2x2-3x+2<2x2+2x-3,解得x>1. (1,+∞) 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知a=,b=2-1.5,c=,则下列关系中正确的是(　　) A.c<a<b　　　　　　　　　 B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a ∵b=2-1.5=,y=是R上的减函数,<<,∴b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 由已知,得0<1-2a<1,解得0<a<,即实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 3.若<,则实数a的取值范围是(　　) A.(4,+∞) B. C.(-∞,4) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为y=在R上是减函数,所以由已知得2a+1>3-2a,即a>. 故a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.函数y=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是(　　) A.6 B.1 C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是增函数,当x=1时, ymax=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.满足方程4x+2x-2=0的x值为　　　　. 设t=2x(t>0),则原方程化为t2+t-2=0, ∴t=1或t=-2. ∵t>0,∴t=-2舍去.∴t=1,即2x=1,∴x=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 13 14 6.已知方程|2x-1|=a有两个不等实根,则实数a的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (0,1) 13 14 函数y=|2x-1|=其图象如图所示.方程|2x-1|=a有两个不等实根等价于直线y=a与y=|2x-1|的图象有两个交点,所以由图可知0<a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知a-5x<ax-7(a>0且a≠1),求x的取值范围. 解:当a>1时,∵a-5x<ax-7, ∴-5x<x-7,解得x>; 当0<a<1时,∵a-5x<ax-7, ∴-5x>x-7,解得x<. 综上所述,当a>1时,x的取值范围是; 当0<a<1时,x的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1). (1)若函数f(x)的图象不经过第二象限,求a,b的取值范围; 解:(1)①当0<a<1时,f(x)单调递减,根据指数函数的图象可知,函数图象必然经过第二象限,故不成立. ②当a>1时,f(x)单调递增,f(x)的图象与y轴的交点为(0,b+1),根据指数型函数的图象可知,要使f(x)的图象不经过第二象限,则b+1≤0,b≤-1. 所以a>1,b≤-1. 综上,a,b的取值范围是a>1,b≤-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当b=1时,f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值之比为3∶2,求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)当b=1时,f(x)=ax+1. ①当0<a<1时,f(x)单调递减,f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=a+1,最小值为f(2)=a2+1,由题意可得=,无解. ②当a>1时,f(x)单调递增,f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=a2+1,最小值为f(1)=a+1,由题意可得=,解得a=, 因为a>1,所以a=. 综上,a的值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是(　　) A.a>0 B.a>1 C.a<1 D.0<a<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 因为-2>-3,f(-2)>f(-3), 又因为f(x)=a-x=,所以>, 所以>1,所以0<a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 函数f(x)的图象如图所示, 观察图象可知解得x<0, 所以满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(-∞,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　,值域为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-∞,0] (0,2] 13 14 令x2-2x≥0,解得x≥2或x≤0, ∴f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞), 令t=-1,则其在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 又∵y=为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,0]. ∵t=-1, ∴t≥-1,∴∈(0,2]. 故f(x)的值域为(0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.若在区间[-1,1]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [6,+∞) (-2,2) 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y=在(-∞,3)上单调递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6,a∈[6,+∞). 若函数在[-1,1]上不单调, 则-1<<1, 解得-2<a<2,a∈(-2,2). 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x); 解:(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得 结合a>0且a≠1, 解得∴f(x)=3·2x. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)要使+≥m在(-∞,1]上恒成立, 只需保证函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可. ∵函数y=+在(-∞,1]上为减函数, ∴当x=1时,y=+有最小值, ∴只需m≤即可, ∴实数m的取值范围为. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.若定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (1)解:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1. 又因为f(-1)=-f(1),得a=1. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数; 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=- = =, 因为x1<x2,所以->0,又因为(+1)(+1)>0, 故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)为R上的减函数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)<f(-2t2+k)恒成立,求k的范围. (3)解:因为t∈R,不等式f(t2-2t)<f(-2t2+k)恒成立, 由f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2, 即k<3t2-2t恒成立, 而3t2-2t=3-≥-,所以k<-. 即k的取值范围是. 13 14 $$