4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.　2.掌握指数函数图象的性质.　3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域. 知识点1　指数函数的概念 内容索引 知识点2　简单指数函数的图象 课时作业 巩固提升 知识点3　简单指数型函数的性质 课堂达标·素养提升 3 知识点1　指数函数的概念 一般地,函数　　　　称为指数函数,其中a是常数,　　　 　　　.  y=ax a>0且a≠1 (1)函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为　　　　.  [分析]　(1)根据指数函数解析式的特征列方程求解. (1)由题意得a2-3a+3=1, 即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍). 例1 2 (2)指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e),则f(-π)=　　　　.  [分析]　(2)设出指数函数的解析式,代入点的坐标求f(-π). (2)设指数函数为y=ax(a>0且a≠1), 则e=aπ,所以f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1=. 判断一个函数是否为指数函数的方法 1.看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式. 2.明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数. 思维提升 1.(1)若函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,则f(x)=　　　　.  (1)由题意设f(x)=ax(a>0且a≠1),则f(2)=a2=9, 又因为a>0,所以a=3,所以f(x)=3x. 跟踪训练 3x (2)已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值范围是 　 　 　　.  (2)由题意可知 解得a>且a≠1, 所以实数a的取值范围是∪(1,+∞). ∪(1,+∞) 知识点2　简单指数函数的图象 函数y=ax(a>0且a≠1)的图象   a>1 0<a<1 图象     (1)下列几个函数的图象如图所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.则a,b,c,d与0和1的关系是(　　) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d (1)由指数函数图象知当底数大于1时为增函数,并且底数越大增加越快,因此得到c>d>1,当底数大于0小于1时,1>a>b>0,所以0<b<a<1<d<c. 例2 B (2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有(　　) A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0 C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0 C (2)函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y=ax(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度,即b-1<-1,所以b<0. 处理指数函数图象问题的策略 1.抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. 2.巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). 3.利用函数的性质:奇偶性与单调性. 思维提升 2.(1)函数y=a|x|(a>1)的图象是(　　) 跟踪训练 B (1)函数y=a|x|是偶函数,当x>0时,y=ax. 由已知a>1,所以y=ax在(0,+∞)上是增函数. 又当x=0时,函数y=a0=1,即过定点(0,1), 所以选项B的图象符合. (2)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.  (2)因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数 y=ax-3+3中,令x-3=0,得x=3,此时y=1+3=4,即函数y=ax-3+3的图象过定点(3,4). (3,4) 知识点3　简单指数型函数的性质 函数y=ax(a>0且a≠1)的性质   a>1 0<a<1 性 质 定义域 定义域为R 值域 值域为　　　　  过定点 过定点　　　　  函数值 的变化 当x>0时,　　　　;  当x<0时,　　　  当x>0时,　　　　;  当x<0时,　　　  单调性 在R上是　　　　  在R上是　　　　  对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 (0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 (1)当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值域为(1,+∞),则实数a的取值范围是(　　) A.(-,-1)∪(1,) B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞) [分析]　(1)根据指数函数的图象,函数值恒大于1,底数应该大于1可得. 例3 D (1)当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则底数a2-1>1,a2>2,所以|a|>,所以实数a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞). (2)函数y=的定义域为　　　 　.  [分析]　(2)根据根式的性质,被开方数大于或等于0求解. (2)要使函数y=有意义,则2x-1≥0,所以x≥.所以函数y=的定义域为. 函数y=af(x)的定义域与值域的求法 1.形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. 2.形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论. 思维提升 3.(1)已知集合A={x|y=},B={0,2,4},A∩B=　　　　　　;  (1)要使y=有意义需x-4≠0,则x≠4,即A={x|x≠4,x∈R},∴A∩B={0,2}. 跟踪训练 {0,2} (2) 函数y=的定义域为　　　　,值域为　　　　.  R (0,1) (2) 函数的定义域为R. ∵y===1-, 又∵3x>0,∴1+3x>1, ∴0<<1,∴-1<-<0, ∴0<1-<1, ∴函数的值域为(0,1). 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为(　　) A.y=(e-1)x B.y=(1-e)x C.y=3x+1 D.y=πx 由指数函数的定义可知选A,D. AD 2.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是(　　) 当x=1时,y=0,排除A,B,D. C 3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  令x+1=0,得x=-1,此时y=1+2=3, 即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1,3). (-1,3) 4.函数f(x)=3x+1的值域为　　　 　.  ∵3x>0,∴3x+1>1,即函数的值域是(1,+∞). (1,+∞) 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列函数中,指数函数的个数为(　　) ①y=;②y=ax(a>0,且a≠1);③y=1x; ④y=-1. A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 由指数函数的定义可判定,只有②正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.函数y=的定义域是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.(0,+∞) 由2x-1≥0,得2x≥20,所以x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 3.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax+1-1的图象一定过点(　　) A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0) 当x=-1时,显然f(x)=0,因此图象必过点(-1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 4.函数f(x)=ax与g(x)=-x+a的图象大致是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 因为g(x)=-x+a的斜率为-1,所以g(x)=-x+a在定义域内单调递减,所以C,D选项错误.当a>1时,函数f(x)=ax单调递增,当x=0时,g(0)=a>1,此时两函数的图象大致为选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 　　　　.  由已知得解得 所以f(x)=+3,所以f(-2)=+3=4+3=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 13 6.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是　　　 　.  由x<0,得0<2x<1;由x>0,所以-x<0,0<2-x<1,所以-1<-2-x<0.所以函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (-1,0)∪(0,1) 13 7.求下列函数的定义域和值域: (1)y=-1; 解:(1)要使y=-1有意义,需x≠0,则>0且≠1,故-1>-1且-1≠0, 故函数y=-1的定义域为{x|x≠0},函数y=-1的值域为(-1,0)∪(0,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)y=. 解: (2)函数y=的定义域为实数集R,由于2x2≥0,则2x2-2≥-2, 故0<≤9,所以函数y=的值域为(0,9]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1. (1)求a的值; 解:(1)函数图象经过点,所以a2-1=,则a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域. 解: (2)由(1)知f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-1≥-1.于是0<≤=2,所以函数的值域为(0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.函数y=的值域是(　　) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) 要使函数式有意义,则16-4x≥0.又因为4x>0,所以0≤16-4x<16,即函数y=的值域为[0,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 10.二次函数y=ax2+2bx的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),则y=-1的图象大致为(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 因为二次函数y=ax2+2bx的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1), 所以-∈(-2,-1),即∈(1,2), 所以0<-1<1, 则函数y=是减函数,又因为函数y=-1的图象是由函数y=的图象向下平移一个单位得到的, 故函数y=-1是减函数且过原点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 13 由已知,得f(1)=2; 又当x>0时,f(x)=2x>1, 而f(a)+f(1)=0, ∴f(a)=-2,即a≤0, ∴a+1=-2,解得a=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知函数f(x)=-1. (1)作出f(x)的简图; 解:(1)f(x)=如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m的取值范围. 解: (2)作出直线y=3m,当-1<3m<0时,即-<m<0时,函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解.故m的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知函数y=. (1)画出函数的图象(简图); 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)法一:y== 其图象由两部分组成: 一部分:y=(x≥0)的图象 y=(x≥-1)的图象; 另一部分:y=3x(x<0)的图象 y=3x+1(x<-1)的图象. 得到的函数图象如图中实线部分所示. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:①可知函数y=是偶函数,其图象关于y轴对称,故先作出y=(x≥0)的图象,当x<0时,其图象与y=(x≥0)的图象关于y轴对称,从而得出y=的图象. ②将y=的图象向左平移1个单位即可得 y=的图象,如图中实线部分所示. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由图象指出函数的单调区间; 解: (2)由图象知函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞). (3)由图象指出当x取何值时函数有最值,并求出最值. 解: (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 13 $$