4.1.1 实数指数幂及其运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念.　2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.　3.掌握根式与分数指数幂的互化.　4.掌握有理数指数幂的运算性质. 知识点1　n次方根 内容索引 知识点2　根式、分数指数幂的互化 课时作业 巩固提升 知识点3　利用分数指数幂的运算性质化简与求值 课堂达标·素养提升 知识点4　指数式的条件求值问题 3 知识点1　n次方根 1.a的n次方根的概念 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为 　　　　　　.  a的n次方根 2.根式的意义和性质 当有意义时,称为根式,　　　　称为根指数,a称为被开方数.  根式的性质: (1)()n=　　　　.  (2)= n a a |a| (1)求使等式=(3-a)成立的实数a的取值范围; [分析]　(1)利用=|a|进行讨论化简. 例1 [解]　(1)==|a-3|· , 要使|a-3|=(3-a)成立, 需解得-3≤a≤3,即实数a的取值范围为[-3,3]. (2)设-3<x<3,求-的值. [分析]　(2)利用限制条件去绝对值号. [解]　(2)原式=-=|x-1|-|x+3|, ∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2; 当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 1.对于,当n为偶数时,要注意两点:(1)只有a≥0时才有意义;(2)只要有意义,必不为负. 2.当n为偶数时,先化为|a|,再根据a的正负去绝对值符号. 思维提升 1.化简下列各式: (1)+()5; 解:(1)原式=(-2)+(-2)=-4. 跟踪训练 (2)+()6; 解: (2)原式=|-2|+2=2+2=4. (3). 解: (3)原式=|x+2|= 知识点2　根式、分数指数幂的互化 　分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数 指数幂 当a>0时,规定=,=()m=_______ 负分数 指数幂 当a>0时,规定=(n,m∈N+) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂_________ 0 没有意义 (1)若(x-2有意义,则实数x的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.(-∞,2) 例2 C (1)由负分数指数幂的意义可知,(x-2=, 所以x-2>0,即x>2, 所以x的取值范围是(2,+∞). (2)根式 (a>0)的分数指数幂的形式为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. A (2)===. (3)(多选)下列各式正确的是(　　) A.=(m+n B.=a-2b2 C.=(-3 D.= BD (3)选项A中,(m+n=,因此不正确; 选项B中,=a-2b2,因此正确; 选项C中,==,因此不正确; 选项D中,=(=[(22=,因此正确. 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 1.规律:根指数 分数指数幂的分母. 被开方数(式)的指数 分数指数幂的分子. 2.技巧:当表达式中的根号较多时,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简. 思维提升 2.将下列各式化为分数指数幂的形式: (1)(x>0); 解:(1)原式== ====. 跟踪训练 (2)(a>0,b>0). 解: (2)原式=[ab3(ab5=(a··b3· =(=. 知识点3　利用分数指数幂的运算性质化简与求值 1.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=　　　　(s,t∈Q);  (2)(as)t=　　　　(s,t∈Q);  (3)(ab)s=　　　　(s∈Q).  as+t ast asbs 2.实数指数幂 一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的　　　　,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理数指数幂的运算法则仍然成立.  实数 计算下列各式: (1)(4a2)(-2)÷(-); [分析]　化根式为分数指数幂,然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值. [解]　(1)(4a2)(-2)÷(-) =[4×(-2)÷(-1)]=8. 例3 (2)--(-1)0+(-1)2 024+2-1. [分析]　化根式为分数指数幂,然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值. [解]　(2)--(-1)0+(-1)2 024+2-1 =--1+1+=-+=. 指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质. 思维提升 3.化简与求值: (1)+(0.002-10(-2)-1+(-)0; 解:(1)原式=(-1+-+1=+(500-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. 跟踪训练 (2)·(a>0,b>0). 解: (2) 原式=···· =a0b0=. 知识点4　指数式的条件求值问题 已知+=3,求下列各式的值. (1)a+a-1; [解]　(1)∵+=3,∴=9, 即a+2+a-1=9,∴a+a-1=7. 例4 (2)a2+a-2; [解]　(2)∵a+a-1=7,∴(a+a-1)2=49, 即a2+2+a-2=49.∴a2+a-2=47. (3)+. [解]　(3)+=+ =(+)(a-1+a-1)=3×(7-1)=18. 条件求值问题的常用方法 1.整体代入:从已知条件中解出所含字母的值,然后再代入求值,这种方法一般是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值. 2.求值后代入:所求结果涉及的某些部分,可以作为一个整体先求出其值,然后再代入求最终结果. 思维提升 4.设-=m,则等于(　　) A.m2-2　　　　　　　 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 跟踪训练 C 将-=m平方得=m2, 即a-2+a-1=m2, 所以a+a-1=m2+2,即a+=m2+2, 得=a+=m2+2. 〈课堂达标·素养提升〉 1.的值是(　　) A.3　　　　　　　　　 B.-3 C.±3 D.81 =|-3|=3. A 2.(a>0)的化简结果是(　　) A.1 B.a C. D. 原式===. D 3.若8<x≤10,则-=　　　　.  因为8<x≤10,则-=x-8-(10-x)=2x-18. 2x-18 4.计算:-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　.  原式=-1-+ =-1-+=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下列各式:①=a;②(a2-3a+3)0=1;③=.其中正确的个数是(　　) A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 当n为偶数时,=|a|,故①错; a2-3a+3=+>0,故(a2-3a+3)0=1,故②对;=,=-,故③错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若=,则实数a的取值范围是(　　) A.a≥ B.a≤ C.-≤a≤ D.R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 因为=, 所以|2a-1|=1-2a. 则2a-1≤0,解得a≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.-(1-0.5-2)÷的值为(　　) A.- B. C. D. 原式=1-(1-22)÷=1-(-3)×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 4.(多选)下列结论正确的是(　　) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 =-3,故A不正确; 由n次方根的性质知,B正确; =3,故C不正确; ≥0,则=|x+y|,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.若有意义,则-|3-x|化简后的结果是　　　　.  ∵有意义,∴2-x≥0.∴x≤2. ∴-|3-x|=|x-2|-|3-x|=(2-x)-(3-x)=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 14 6.已知3a=2,3b=,则32a-b=　　　　.  32a-b====20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 13 14 7.化简与计算: (1)+0.1-2+-3π0+; 解:(1)原式=++-3+ =+100+-3+=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)÷(a>0,b>0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解: (2)原式=[·]÷(· =()÷( =()÷() ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值. 解:因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根, 所以 ===. 因为a>b>0,所以>,所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.已知x2+x-2=2,且x>1,则x2-x-2等于(　　) A.2或-2 B.-2 C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 法一:∵x>1,∴x2>1, 由x2+x-2=2,解得x2=+1, ∴x2-x-2=+1-=+1-(-1)=2. 法二:令x2-x-2=t,① 又∵x2+x-2=2,② 由①2-②2,得t2=4. ∵x>1,∴x2>x-2,∴t>0, ∴t=2,即x2-x-2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.计算(n∈N+)的结果为(　　) A. B.22n+5 C.2n2-2n+6 D.27-2n 原式===27-2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 11.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则 2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.  由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=. 则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知a<b<0,n>1,n∈N+,化简+= 　 　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵a<b<0,∴a-b<0,a+b<0, 当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. ∴+= 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.设2x=8y+1,9y=3x-9,求x+y的值. 解:因为2x=8y+1=23y+3,9y=32y=3x-9, 所以x=3y+3,① 2y=x-9,② 由①②解得所以x+y=27. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.(1)已知2x+2-x=a(a为常数),求8x+8-x的值; 解:(1)∵4x+4-x=(2x)2+(2-x)2 =(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2, ∴8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2] =(2x+2-x)(4x+4-x-1)=a(a2-2-1)=a3-3a. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知x+y=12,xy=9且x<y,求的值. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解: (2)==.① ∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 又∵x<y, ∴x-y=-6.③ 将②③代入①,得==-. 13 14 $$