第4章 章末检测(一) 指数函数、对数函数与幂函数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 章末检测(一)　指数函数、对数函数与幂函数 (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f=的定义域为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 对于函数f=,有1-≥0,可得≤1=,解得x≥0, 因此,函数f的定义域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.设函数f(x)=若f=9,则a等于(　　) A. B.2 C. D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 由于函数f=且<1, 则f=5×-1=3,且3>1, 所以f=f(3)=a3+1=9,即a3=8, 得a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知函数f=ax(a>0,且a≠1),若点A,B都在f的图象上,则下列各点一定在f的图象上的是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 因为点A,B都在f的图象上, 所以y1=,y2=,则=·=y1·y2, 即点在f的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知函数f=lg在上单调递增,则实数k的取值范围是(　　) A.k>0 B.0<k< C.k> D.k≥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 设g=kx-1>0, ∵f(x)=lg(kx-1)在[10,+∞)上单调递增,∴g(x)=kx-1在[10,+∞)上单调递增, ∴∴k>,即实数k的取值范围为k>. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.某工厂生产一种溶液,按市场要求其杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×≤,即≤,由nlg ≤-lg 20,即n≤-,得n≥≈7.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.若函数f(x)=loga(a>0,a≠1)在R上的最大值是2,则a的值为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 令g=x2-2ax-a2+,则g=(x-a)2-2a2+, 故当x=a时,g在R上取得最小值为-2a2+, 又因为函数f=loga(a>0,a≠1)在R上的最大值是2, 所以0<a<1且loga=2,即-2a2+=a2,解得a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知a<b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.> B.< C.ln>0 D.3a-b<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 ∵y=x为定义在上的单调减函数,故由已知a<b可得0<b<a, ∵反比例函数y=在上的单调减函数, ∴<,故A错误; ∵a>0,∴幂函数y=xa在上的单调递增,又∵<,∴<; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵0<<1,∴指数函数y=在R上的单调递减,又∵b<a,∴<. ∴<,故B正确; 由已知只能得到0<b<a,a-b>0, 当a-b<1时ln<0,故C错误; 由a-b>0可得3a-b>30=1,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为接近的是(　　) A.y=0.2x B.y=0.1x2+0.1x C.y=0.2+log4x D.y= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 由题意,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,即,,, 对于A中,函数y=0.2x,当x=3时,y=0.6和0.76相差较大; 对于B中,函数y=0.1x2+0.1x,当x=2时,y=0.6和0.4相差较大; 对于C中,函数y=0.2+log4x,当x=2时,y=0.7和0.4相差较大; 对于D中,函数y=,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4, 当x=3时,y=0.8和0.76相差0.04, 综合可得,选用函数关系y=较为近似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若a>b,则(　　) A.a3-b3>0 B.ln<0 C.ea-b>1 D.->0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 对于A,因为y=x3在R上单调递增,a>b, 所以a3>b3,即a3-b3>0,故A正确; 对于B,取a=1,b=0,满足a>b,但ln=ln 1=0,故B错误; 对于C,因为a>b,所以a-b>0,则ea-b>e0=1,故C正确; 对于D,取a=0,b=-1,此时-=-1<0,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知函数f=log2-log2,则下列说法正确的是(　　) A.函数f的定义域为 B.函数f的值域为 C.函数f是定义域上的奇函数 D.函数f是定义域上的偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AC 15 16 17 18 19 对于函数f=log2-log2, 令解得-2<x<2, 函数f(x)的定义域为,故A正确; 因为y=2-x在上单调递减,y=log2x在定义域上单调递增, 所以y=log2(2-x)在上单调递减, 所以y=-log2(2-x)在上单调递增, 同理可得y=log2(x+2)在上单调递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以f=log2-log2为上的增函数, 又因为f=log2-log2=log2, 其中y==-=-1-, 因为-2<x<2,所以-4<x-2<0,所以<-,所以<-1, 则->1,所以-1->0,即>0,又因为y=log2x的值域为R, 所以函数f(x)的值域为R,故B错误; 又因为f(-x)+f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)+log2(x+2)-log2(2-x)=0, 所以函数f(x)是定义域(-2,2)上的奇函数,C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax(a>0,且a≠1),则( 　　) A.g(x)≥1 B.∀x∈R,f(2x-1)≤f恒成立,则0<m≤1 C.[g(x)]2≥[f(x)]2+sin x D.f(x)f(y)+g(x)g(y)=g(x+y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 15 16 17 18 19 由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ax,得f(-x)+g(-x)=a-x, 于是 解得f(x)=,g(x)=,a>0且a≠1, 对于A,ax>0,a-x>0,则g(x)=≥=1,当且仅当x=0时取等号,A正确; 对于B,当a>1时,函数y=ax在R上递增,y=a-x在R上递减,则f(x)在R上递增, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因此∀x∈R,f≤f⇔2x-1≤mx2⇔mx2-2x+1≥0, 当m≤0时,取x=1,mx2-2x+1=m-1<0不符合题意,则解得m≥1,B错误; 对于C,[g(x)]2-[f(x)]2=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]=ax·a-x=1≥sin x,C正确; 对于D,f(x)f(y)+g(x)g(y)=·+·==g(x+y),D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.当a>0且a≠1时,函数f=ax-2-3必过定点　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法一:y=ax必过定点,将y=ax向右平移2个单位得到y=ax-2, 所以y=ax-2必过定点,将y=ax-2向下平移3个单位得到f=ax-2-3, 所以函数f=ax-2-3必过定点. 法二:令x-2=0,得到x=2,所以f=a0-3=1-3=-2, 所以函数f=ax-2-3必过定点. 13 14 15 16 17 18 19 13.若函数f=,函数f与函数g互为反函数,则g(-2x2-5x+3)的 单调递减区间是　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 因为f与函数g互为反函数, 所以g=x,在定义域上为减函数, 令y=-2x2-5x+3,y>0解得:-3<x<, 可知g的定义域为, 则y=-2x2-5x+3在上单调递增,在上单调递减, 利用复合函数的单调性可知: g(-2x2-5x+3)在上单调递减,在上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知f是定义在R上的单调函数,f(f-2x)=3,对x∈R恒成立,则f的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 15 16 17 18 19 因为函数y=f是定义在R上的单调函数,且对x∈R,f(f-2x)=3恒成立,所以存在常数c,使得f=3, 则f-2x=c,即f=2x+c, 又因为f=3,则2c+c=3, 注意到g=2x+x在R上单调递增,且g=3,可得c=1, 所以f=2x+1,即f=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)++-100π0; 解:(1)原式=+102+-100=+100+-100=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知x+y=11,xy=9,求的值. 解: (2)因为x+y=11,xy=9, 所以+==,x2+y2=-2xy=103, 所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数f(x)=log2·log2(x>0). (1)若x∈,求f的取值范围; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)当x∈,令t=log2x,所以t∈, 则y=t2-3t+2在t∈上单调递减, 所以ymin=02-3×0+2=2,ymax=-3×+2=,故f(x)的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若f=f=n,且x2>2x1>0,求实数n的取值范围. 解: (2)设log2x1=t1,log2x2=t2,因为x2>2x1,所以log2x2>log2x1+1,即t2>t1+1, 则g(t)=t2-3t+2=n的两根为t1,t2,整理得t2-3t+2-n=0,Δ=9-4>0,n>-, 所以t1+t2=3,t1·t2=2-n,所以t2=3-t1>t1+1,则t1<1, 所以t1t2=-+3t1=-+=2-n,则n=-∈, 即实数n的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知函数f=π-x-πx. (1)证明:f在上单调递减; (1)证明:任取x1,x2∈,且x1<x2, 则f-f(x2)=--(-)=(-), 又易知y=πx单调递增,且x1<x2,所以>,即->0, 所以f-f(x2)>0,即f>f(x2), 所以f在上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求不等式f+f>0的解集. (2)解:易知f=π-x-πx的定义域为R, 又因为f=πx-π-x=-f(x),所以f=π-x-πx为奇函数, 由(1)知f在上单调递减,所以当x∈,f(x)<f(0)=0, 由奇函数的性质知,f在上单调递减,所以当x∈时,f(x)>f(0)=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又易知f(0)=0,所以f在定义域上单调递减, 又因为f+f>0,即f>f,所以m2-3<-2m,即m2+2m-3<0,解得m<-3或m>1, 所以原不等式的解集为∪(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),从下面两个条件中选择一个进行解答. ①f的反函数经过点;②-f(x)=0的解集为. (1)求实数a的值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)若选①:由题知,函数f(x)=logax的反函数为y=ax,则a1=,即a=; 若选②:由题知,f(x)[f(x)-1]=0的解集为, 因为f=loga1=0,所以f=loga=1,即a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若g(x)=f·f,x∈,求g的最值及对应x的值. 解: (2)由(1)知,f(x)=lox, 则g(x)=(lox+1)(lox+2), 令t=x∈,则g(x)=h(t)=(t+1)(t+2)=-, 当t=-,即x=2时,g(x)min=-;当t=-3,即x=8时,g(x)max=2, 综上:当x=8时,g(x)max=2;当x=2时,g(x)min=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中,常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律:C=C0e-rt,其中t表示衰减的时间,C0表示放射性物质的原始质量,C表示经衰减了t年后剩余的质量.为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5 730年.人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比.1950年,在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭,当时测定,其14C的衰减速度为4.09个/(g·min),而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:因为14C的半衰期大约是5 730年,所以由衰减规律,得=e-5 730r. 解得r=.因此14C的衰减规律服从指数型函数C=C0=C0·. 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年),该木炭已衰减了t0年. 因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比,所以=, 于是=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 两边取以2为底的对数,得-=log2. 解得t0=5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055. 所以该木炭已衰减了约4 055年,即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$