单元练2 (范围6.3)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

单元练2　(范围6.3) 1.(x-1)5的展开式中含x2的项是(　　) A.-5x2　　　　　　　 B.5x2 C.-10x2 D.10x2 解析:(x-1)5的展开式的通项公式为Tk+1=·x5-k·(-1)k,则5-k=2,得k=3,所以含x2的项是T4=·x2·(-1)3=-10x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 2.设n∈N*,化简+61+62+63+…+6n=(　　) A.6n B.6n-1 C.7n D.7n-1 解析:+61+62+63+…+6n=(1+6)n=7n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 3.若x6=a0+a1(x-6)+a2(x-6)2+…+a6(x-6)6,则a5=(　　) A.6 B.16 C.26 D.36 解析:因为x6=[6+(x-6)]6,展开式的通项为Tr+1=×66-r×(x-6)r,令r=5,可得T6=×61×(x-6)5=36(x-6)5,所以a5=36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 4.已知(x+m)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,若a0+a1+a2+a3+a4=81,则m的取值可以为(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:令x=1,有(1+m)4=a4+a3+a2+a1+a0=81,即m=2或m=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 5.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开式中x的系数为(　　) A.-80 B.-10 C.10 D.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 解析:因为展开式中所有项的二项式系数之和为32,即2n=32,所以n=5. 又的展开式的通项Tr+1=x5-r·=(-2)r, 令5-=1,则r=3,∴的展开式中x的系数为(-2)3=-80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)8的展开式中,含x2的系数是(　　) A.83 B.84 C.55 D.88 解析:(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)8展开式中, 含x2项的系数为+++++=3+6+10+15+21+28=83. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 7.已知a=1+2+22+23+…+220,则a被10除所得的余数为(　　) A.9 B.3 C.1 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 解析:a=1+2+22+23+…+220=(1+2)20=320=910=(10-1)10, 由(10-1)10=1010-109+…-10+=10(109-108+…-)+1, 故a被10除所得的余数为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+++…+=-128,则a3=(　　) A.240 B.-240 C.280 D.-280 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 解析:令x=,则有(1-m)7=a0+++…+=-128, 即(1-m)7=-128=(-2)7,故m=3, 即有(2x-m)7=(2x-3)7=[-1-2(1-x)]7, 对[-1-2(1-x)]7,有Tk+1=·(-1)7-k·[-2(1-x)]k=(-1)7-k·(-2)k·(1-x)k, 令k=3,则有T4=(-1)4·(-2)3·(1-x)3=-280(1-x)3,即a3=-280. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.(多选)在(2x-1)5的展开式中,则(　　 ) A.二项式系数最大的项为第3项和第4项 B.所有项的系数和为1 C.常数项为-1 D.所有项的二项式系数和为64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ABC 解析:对于A,所有项的二项式系数为,,…,,最大的为和, 对应的是第3项和第4项,故A正确; 对于B,设f(x)=(2x-1)5,所有项的系数为a0,a1,…,a5, 所以a0+a1+…+a5=f(1)=(2×1-1)5=1,故B正确; 对于C,二项式展开式的通项公式为(2x)5-r(-1)r(r=0,1,2,3,4,5), 令5-r=0,解得r=5,所以常数项为·20·(-1)5=-1,故C正确; 对于D,所有项的系数之和为++…+=25=32,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(多选)已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则(　　 ) A.a3=160 B.a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 C.此二项式展开式的二项式系数和为64 D.此二项式系数最大项为第4项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BCD 解析:通项为Tr+1=×16-r×(-2x)r=(-2)rxr, 当r=3时,a3=(-2)3=-160,故A错误; 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1-2)6=1, 令x=0,a0=(1-0)6=1,所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,故B正确; 此二项式展开式的二项式系数和为26=64,故C正确; 因为二项式系数为,所以当r=3时,最大,即第4项最大,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选)在二项式展开式中,所有项的系数和为a,所有奇数项的二项式系数和为b,且满足64b=243a时,下列说法正确的有(　　) A.n=6 B.n=5 C.展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 D.展开式中各项的系数最大的为第三项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BC 解析:对于,令x=1,可得所有项的系数和为a=, 又所有奇数项的二项式系数和为b=2n-1,因为64b=243a,即243×=64×2n-1, 所以==,所以n=5,故A错误,B正确; 所以二项式展开式一共有6项,则其展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 又二项式展开式的通项为Tr+1=·=·(其中0≤r≤5且r∈N),令第r+1项的系数最大,则即 解得≤r≤,又r∈N,所以r=4,即展开式中系数最大的为第五项,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.在的展开式中,常数项为　　　　.(用数字作答)  解析:因为展开式的通项公式为Tr+1=(2x3)4-r=(-1)r· 24-r·x12-4r,r=0,1,2,3,4,令12-4r=0,解得r=3, 所以常数项为T4=-2×=-8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -8 13.已知(ax-1)2(2x-1)3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,则a3=　　　　.  解析:令x=1,则有(a-1)2=a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即a=1, 即有(x-1)2(2x-1)3,则a3=·2··(-1)2+(-)·22··(-1)+1·23=38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 38 14.若(x-2)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0=　　　　;=　　　　.  解析:令x=0,可得(0-2)4=a0,即a0=24=16, 令x=1,可得(1-2)4=a4+a3+a2+a1+a0,即a4+a3+a2+a1+a0=(-1)4=1, 令x=-1,可得(-1-2)4=a4-a3+a2-a1+a0,即a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81, 则(a4+a3+a2+a1+a0)+(a4-a3+a2-a1+a0)=2(a4+a2+a0)=1+81=82, 即a4+a2+a0==41,则a1+a3=1-(a4+a2+a0)=1-41=-40, 故=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 - 15.在二项式的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为64,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若展开式中第2项与第4项的系数之比是4∶5,求展开式中的有理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)由已知得++…+=64,2n=64 ,∴n=6, 展开式中二项式系数最大的项是T4==20··=-. (2)∵=,=,则n2-3n-28=0,n∈N*,∴n=7, 则Tr+1==(0≤r≤7,r∈N), 令-r=∈Z,得r=4, 可得项为T5=x-1,故有理项为T5=x-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.把+++…+称为(a+b)n的二项展开式所有项的二项式系数之和,其中n是正整数. (1)若的所有项的二项式系数的和为64,求展开式的常数项; (2)若展开式中第2项系数为-12,求(2x-1)n的展开式中x3的系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)若的所有项的二项式系数的和为64, 则2n=64,n=6,展开式的通项公式为Tr+1=·x6-r·= (-2)r··x6-2r, 令6-2r=0,r=3,所以展开式的常数项为(-2)3·=-160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)展开式的通项公式为Tr+1=·xn-r·=(-2)r··xn-2r, 若展开式中第2项系数为-12,即(-2)1·=-2n=-12,n=6, 则(2x-1)n=(-1+2x)6, 含x3的项为x××(-1)4×(2x)2+××(-1)2×(2x)4=60x3-240x3=-180x3, 所以x3的系数为-180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.从①第4项的系数与第2项的系数之比是;②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36;这两个条件中任选一个,再解决补充完整的题目. 已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且(2x-1)n的二项展开式中,　　　　.  (1)求n的值; (2)①求二项展开式的中间项; ②求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是, 则有= ==, 化简可得n2-4n-40=0,求得n=8或n=-7(舍去). 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36, 则有+=+=+n==36, 化简可得n2+n-72=0,求得n=8或n=-9(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)由(1)可得n=8, ①(2x-1)8的二项展开式的中间项为T5=·(2x)4·(-1)5=1 120x4. ②二项式(2x-1)8展开式的通项公式为·(2x)8-r·(-1)r=(-1)r·28-r··x8-r, ∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7为负数. 在(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8中,令x=0,a0=1. 再令x=-1,可得38=a0-a1+a2-a3+…+a8=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|, ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$