单元练1 (范围6.1～6.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

单元练1　(范围:6.1~6.2) 1.现有语文读物5本,历史读物4本,地理读物3本,每本读物各不相同,从中任取1本,不同的取法共有(　　) A.3种　　　　　　　　　 B.12种 C.30种 D.60种 解析:由分类加法计数原理得,不同的取法共有3+4+5=12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 2.有5个不同的科研小课题,从中选3个分别交给高二(3)班的3个课外兴趣小组研究,每组研究一个课题,则不同的安排方法种数是(　　) A.15　　　　B.　　　　C.35　　　　D.53 解析:从5个课题中选出3个,由3个课外兴趣小组进行研究,每组研究一个,每一种安排方法对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列.因此不同的安排方法种数为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 3.从集合{1,2,3}和{3,4,5,6}中各取1个元素作为一个点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数为(　　) A.12 B.11 C.24 D.23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 解析:先在{1,2,3}中取出一个元素,共有3种取法,再在{3,4,5,6}中取出一个元素,共有4种取法, 取出的两个数作为点的坐标有2种方法,由分步乘法计数原理知点的个数为3×4×2=24, 又因点(3,3)计算了两次,所以共确定24-1=23个点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.用0,1,2,3,4组成无重复数字的三位偶数有(　　) A.24个 B.30个 C.40个 D.48个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 解析:根据题意,分2种情况讨论: ①0在个位,在剩下的4个数字中任选2个,安排在百位、个位,有=12种选法; ②0不在个位,需要在2,4中选1个,个位有2种选法,0不能在首位,则首位有3种选法,十位有3种选法,此时有2×3×3=18种选法,则一共可以组成12+18=30个无重复数字的三位偶数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成,按需要担任第1至5号位的任务,由于队长需要分出精力指挥队伍,所以不能担任1号位,副队长是队伍输出核心,必须担任1号位或2号位,则不同的位置安排方式有(　　) A.36种 B.42种 C.48种 D.52种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 解析:若副队长担任1号位,其他位置就没有任何限制,有=24种安排方式; 若副队长担任2号位,则从3名队员中选1人担任1号位,后面的3个位置无限制条件,有=3×6=18种安排方式.所以一共有:24+18=42种安排方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.中国古代文化博大精深,其中很多发明至今还影响着我们,例如中国象棋.中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字(可纵走如由A到C,也可横走如由A到D),在如图所示的棋盘上,“马”由A点到B点的最短走法有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 解析:如图,若到B,则先到M和N处,如图,最少4步,包含如下路线, D到N处有2种路线,D到M处有2种路线,C到M有2种路线,C到N处没有路线, 综上可知, A到B的最短走4步,有6种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则不同的栽种方案数有(　　) A.180 B.240 C.360 D.420 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 解析:若5个花池栽了5种颜色的花卉,方法有种, 若5个花池栽了4种颜色的花卉,则2,4两个花池栽同一种颜色的花,或者3,5两个花池栽同一种颜色的花,方法有2种,若5个花池栽了3种颜色的花卉,方法有种, 所以最多有+2+=420种栽种方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处,则它可以爬行的不同最短路径条数有(　　) A.40 B.60 C.80 D.120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 解析:从A出发沿着水平面的网格线爬行到B,需要走五段路,其中三纵二横,最短路径有=10条, 由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处,点B处出发有3条路径,爬过一条棱后又各有2条最短路径到C处,最短路径有3×2=6条, 所以从A到C可以爬行的不同最短路径条数有10×6=60条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.(多选)下列等式中,正确的是(　　 ) A.= B.= C.+= D.2+3=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BCD 解析:对于A,=5×4=20,=5×4×3=60,A错误; 对于B,==10,==10,B正确; 对于C,==20=+,C正确; 对于D,=2×1=2,=3×2×1=6,=4×3×2×1=24, ∴2+3=2×2+3×6=24-2=-,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(多选)有五名志愿者参加社区服务,共服务周六、周日两天,每天从中任选两人参加服务,则(　　) A.只有1人未参加服务的选择种数是30种 B.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C.只有1人未参加服务的选择种数是60种 D.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 AD 解析:由题意得只有1人未参加服务,先从5人中选1人,未参加服务,有=5种选法, 再从余下4人中选2人参加周六服务,剩余2人参加周日服务,有=6种选法, 故只有1人未参加服务的选择种数是5×6=30种,A正确,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 恰有1人连续参加两天服务,先从5人中选1人,服务周六、周天两天,有=5种选法, 再从余下4人中选1人参加周六服务,剩余3人选1人参加周日服务,有=12种选法, 故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是5×12=60种,B错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某中学在新学期计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的有(　 　) A.某学生从中选2门课程学习,共有12种选法 B.课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有240种排法 C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有144种排法 D.课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有504种排法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BCD 解析:对于A,6门中选2门共有=15种选法,故A错误; 对于B,课程“乐”“射”排在相邻的两周时,把这两个看成一个整体,有 种排法,然后全排列有=120 种排法, 根据分步乘法计数原理,“乐”“射”相邻的排法共有=240 种,故B正确; 对于C,课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,先排剩下的三门课程有=6种排法, 然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有=24种排法, 根据分步乘法计数原理,得共有=144种排法,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D,分2种情况讨论:若先把“礼”排在最后一周,再排“数”,有种排法, 若不先把“礼”排在最后一周,再排“数”,有 种排法, 所以共有+=504种排法,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.正值春耕备耕时节,某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机,现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择,则共有　　　　种不同的选择方案.  解析:第一步从6台不同的自动育秧机选2台,第二步从5台不同的自动插秧机选3台,由乘法原理可得选择方案数为=200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 200 13.4名男生和2名女生随机站成一排,每名男生至少与另一名男生相邻,则不同的排法种数为　　　　.  解析:4名男生先排,共有=24种方法,2名女生再排,共有2种方法,再将2名女生插空到男生中,共有3种方法,所以一共有24×2×3=144种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 144 14.甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车,已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车,且在每一个公交站点最多只有两人同时下车,从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序,则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是　　　　.  解析:由题意,3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自下车,共有=60种,3人中有2人在同一公交站点下车,另1人在另外一公交站点下车,共有=60种,故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60=120种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 120 15.已知4名男大学生和2名女大学生. (1)这6名学生站一排,2名女生相邻,共有多少种排法? (2)将这6名学生分成3组,每组人数分别为1人、1人和4人,共有多少种分法? (3)现从6名大学生中选4名学生分配到A,B,C三所学校支教,要求①男大学生选3名,女大学生选1名;②每所学校至少安排一名学生;③女生不能安排在A校,共有多少种安排方法? (注:以上各问结果全部用数字作答) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)依题意首先将2名女生看作一个整体与4名男生全排列,有种排法, 其中2名女生又有种排法,综上可得一共有=240种排法. (2)将这6名学生分成3组,每组人数分别为1人、1人和4人, 只需从6名学生选出4人作为一组,另外2人各自一组即可, 故有==15种分法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (3)分两种情况: ①A校安排一名男老师,则有=144种不同安排方法; ②A校安排两名男老师,则有=48种不同安排方法; 综上可得一共有144+48=192种不同安排方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.现有4名男生和3名女生. (1)若安排这7名学生站成一排照相,要求3名女生互不相邻,这样的排法有多少种? (2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动,其中男生甲和女生乙不能同时参加,求邀请的方法种数. (3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动,要求3名女生必须安排在同一个工厂,求这样安排的方法共有多少种? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)由题意可知,运用插空法,可得共有排法数为·=1 440种. (2)由题意可知,邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法, 男生甲和女生乙同时参加的方法有种, 共有邀请方法数为-=25种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (3)有两类不同情形: ①先选4个工厂,将3名女生和1名男生安排在同一个工厂,其余3名男生分别在另外三个工厂,一厂安排一人,其方法数为=480种; ②先选4个工厂,将3名女生安排在一个工厂,4名男生安排在另外三个工厂,有一厂两人,另两厂各一人,其方法数为·=720种. 所以共有480+720=1 200种不同的安排方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.如图,在一个3×3的网格中填齐1至9中的所有整数,每个格子只填一个数字,已知中心格子的数字为5. (1)求满足第二横排、第二竖排的3个数字之和 均为15的不同的数字填写方案种数; (2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大, 第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的 数字填写方案种数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解:(1)要使第二横排和第二竖排的3个数字之和均为15, 则第二横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10, 则要从1和9,2和8,3和7,4和6这四个组合中选出两个 组合填写, 首先选一个组合填到第二横排的两个空中,再选 一个组合填到第二竖排的两个空中,最后将其余 四个数全排列, 故有=1 152种填法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)先从1,2,3,4这四个数字中选2个数字分别排到5 的左边和上边,有种; 再从6,7,8,9这四个数字中选2个数字分别排到5的 右边和下边,有种; 最后将其余四个数字排到剩下的四个位置,有种; 按照分步乘法原理可得,一共有=3 456种填法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$