7.4.1 二项分布-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 第七章　随机变量及其分布 学习单元4 [学习目标]　1.理解n重伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征. 　 2.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 知识点1　n重伯努利试验 内容索引 知识点2　二项分布 课时作业 巩固提升 知识点3　二项分布的均值与方差 微点突破5　体育比赛与n重伯努利试验 课堂达标·素养提升 3 知识点1　n重伯努利试验 1.伯努利试验 我们把　　　　　　　　　　　　试验叫做伯努利试验.  2.n重伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 　 　　　　　　　.  3.n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次. (2)各次试验的结果　　　 　.  只包含两个可能结果的 n重伯努利试验 相互独立 微提醒: 在相同条件下,n重伯努利试验是有放回地抽样试验. [例1]　判断下列试验是不是n重伯努利试验: (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中; (3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球. [分析]　理解n重伯努利试验的概念,利用概念解决问题. [解]　(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是n重伯努利试验. (2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验. (3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验. n重伯努利试验的判断依据 1.要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行. 2.每次试验相互独立,互不影响. 3.每次试验都只有两种结果,即事件发生或不发生. 思维提升 1.(多选)下列事件是n重伯努利试验的是(　　) A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环” C.一批产品的次品率为1%,有放回地随机抽取20件 D.在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标 跟踪训练 CD 解析:A符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互独立事件;C,D是n重伯努利试验. 知识点2　二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= 　　　　　　　　,k=0,1,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作　　　 　.  微提醒: 1.由二项式定理可知,二项分布的所有概率和为1. 2.两点分布与二项分布的关系:两点分布是只进行一次的二项分布. pk(1-p)n-k X~B(n,p) [例2]　某公司的一次招聘中,应聘者都要经过A,B,C三个独立项目的测试,如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是. (1)求甲被录用的概率; (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列. [分析]　(1)利用二项分布的定义可知甲通过测试的项目服从二项分布. (2)甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是,所以被录用的人数服从X~B. [解]　(1)通过两个项目测试的概率为×=, 通过三个项目测试的概率为=,则甲被录用的概率为+=. (2)因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是,由(1)可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是,所以X~B. 所以P(X=0)==, P(X=1)=×=, P(X=2)=×=, P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [变设问]　在本例条件下,求甲、乙、丙三人中至少2人被录用的概率. 解:由例题知,P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.所以甲、乙、丙三人中至少2人被录用的概率为. 1.利用二项分布求分布列的步骤是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率. 2.关于利用二项分布求分布列 (1)关键是确定随机变量服从二项分布,以及二项分布中的相关参数. (2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率. 思维提升 2.一名学生每天骑车上学,从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是. (1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列; (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 跟踪训练 解:(1)根据题意可知,途中遇到红灯的次数服从二项分布, 易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6, 可知P(X=0)==, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)==, P(X=4)===, P(X=5)===, P(X=6)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)由(1)可知,这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为P(X=0)=, 所以途中至少遇到一次红灯的概率为P=1-=. 知识点3　二项分布的均值与方差 1.若X服从两点分布,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  2.若X~B(n,p),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  p p(1-p) np np(1-p) [例3]　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,在下落的过程中,小球将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是,. (1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率; (2)在容器的入口处依次放入4个小球,记X为落入B袋中的小球的个数,求X的分布列、均值和方差. [分析]　(1)小球落入A袋每次遇到障碍物需要均向左或均向右下落即可; (2)利用二项分布均值和方差公式及方差的性质求解. [解]　(1)设M=“小球落入A袋”,N=“小球落入B袋”, 则P(M)=××+××=,所以P(N)=1-P(M)=1-=. (2)易知X~B,则X的分布列为 P(X=k)=(k=0,1,2,3,4), 故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)==, P(X=3)=,P(X=4)=. 故X的分布列为 E(X)=4×=,D(X)=4××=. X 0 1 2 3 4 P 若随机变量符合二项分布,则可直接利用公式求均值和方差. 思维提升 3.某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次. (1)求他们中成功咨询的人数X的分布列; (2)求E(X)与D(X)的值. 跟踪训练 解:(1)依题意知X~B,且P(X=k)=××,k=0,1,2,3. P(X=0)=××=, P(X=1)=××=, P(X=2)=××=, P(X=3)=×=. ∴X的分布列为 (2)由X~B及二项分布的性质得, E(X)=np=3×=,D(X)=np(1-p)=3××=. X 0 1 2 3 P 〈课堂达标·素养提升〉 1.某批产品正品率为,次品率为,抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. B 解析:由题意可知,5件产品恰有3次正品,则有2次测到次品,根据独立重复试验的概率公式可知,所求事件的概率为··. 2.在100件产品中有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则(　　) A.X~B(100,0.05) B.X~B(10,0.05) C.X~B(1 000,95) D.X~B(10,0.95) B 解析:有放回抽取,每次取到次品的概率都是=0.05,相当于10次独立重复的伯努利试验,所以服从二项分布X~B(10,0.05). 3.随机变量X服从二项分布X~B(10,0.5),则它的期望E(X)=(　　) A.0.5 B.2.5 C.5 D.10 解析:因为随机变量X服从二项分布X~B(10,0.5),所以它的期望E(X)=10×0.5=5. C 微点突破5　体育比赛与n重伯努利试验 常见的比赛规则 1.n局m胜制:这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛,所以若比赛提前结束,则一定最后一次比赛中某方达到m胜; 2.连胜制:规定某方连胜m场比赛即终止比赛,则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜. [例1]　在一次运动会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每场比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,且各场比赛结果相互独立.比赛方案采用五局三胜制(先胜3局者获胜,比赛结束). (1)求前2场比赛中,甲至少赢得一场的概率; (2)已知前2场比赛甲、乙各胜一场,求最终甲获胜的概率. [解]　(1)前2场比赛中,甲至少赢得一场有两种情况:甲赢一场和甲赢两场. ∴所求概率为×0.6×0.4+0.62=0.84. (2)已知前2场比赛甲、乙各胜一场,最终甲获胜有两种情况:比赛4场甲胜3场,比赛5场甲胜3场. 当比赛4场甲胜3场时,则第3,4场甲胜,其概率为0.62=0.36; 当比赛5场甲胜3场时,则第3,4场甲、乙各胜一场,第5场甲胜,其概率为×0.6×0.4×0.6=0.288, ∴已知前2场比赛甲、乙各胜一场,最终甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648. [例2]　甲、乙两队要举行一场排球比赛,双方约定采用“五局三胜”制赛规,即一场比赛全程最多打五局,比赛双方只要有一个队先胜三局,则比赛就此结束,且该队为获胜方.根据以往大量的赛事记录可知甲、乙两队在比赛中每局获胜的概率分别为,. (1)若在首局比赛中乙队以1∶0的比分暂时领先,求最后甲队、乙队各自获胜的概率; (2)求乙队以3∶2的比分获胜的概率; (3)设确定比赛结果需要比赛X局,求X的分布列及数学期望. [解]　(1)由题意,首局比赛已经结束,乙队以1∶0的比分暂时领先为必然事件, 若甲队要最后获胜有两种情况: 第一种情况:甲队在第二、三、四局比赛中胜; 第二种情况:甲队在第二、三、四局比赛中胜且只胜其中两局,且第五局再胜. 故最后甲队获胜的概率为P1=+·×=; 而最后乙队获胜的概率为P2=1-P1=. (2)乙队以3∶2的比分获胜,这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局,且第五局乙队胜,故乙队以3∶2的比分获胜的概率为P3=×=. (3)由题意,X=3,4,5, 且P(X=3)=+=+=; P(X=4)=××+××=; P(X=5)=·+·=+=. 所以X的分布列为 所以数学期望E(X)=3×+4×+5×=. X 3 4 5 P 1.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛,他们每次投中的概率均为p,且每次投篮相互独立,经商定共设定5个投篮点,每个投篮点投球一次,确立的比赛规则如下:甲分别在5个投篮点投球,且每投中一次可获得1分;乙按约定的投篮点顺序依次投球,如投中可继续进行下一次投篮,如没有投中,投篮中止,且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负. (1)若乙得6分的概率为,求p. (2)由(1)问中求得的p值,判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大? 跟踪训练 解:(1)若乙得6分,则需乙前3个投篮投中,第4个投篮未中, 其概率为p3·(1-p),又0<p<1, 故p3·(1-p)=,解得p=. (2)设X为甲累计获得的分数,则X~B, 所以E(X)=np=5×=, 设Y为乙累计获得的分数,则Y的可能取值为0,2,4,6,8,10, P(Y=0)=,P(Y=2)=×=, P(Y=4)=×=,P(Y=6)=×=, P(Y=8)=×=,P(Y=10)==, 所以Y的分布列为 所以E(Y)=0×+2×+4×+6×+8×+10×=, 因为E(X)>E(Y),所以甲获胜的可能性大. Y 0 2 4 6 8 10 P 2.甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率. (2)若比赛结果3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得3分的概率. 解:(1)甲队3∶0胜利的概率为P==; 甲队3∶1胜利的概率为P=··=; 甲队3∶2胜利的概率为P=··=. (2)由题意得:乙队得3分的概率为 P=+··=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:P=××=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有1位同学通过测试的概率为(　　) A.(1-p)n B.1-pn C.pn D.1-(1-p)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(多选)若随机变量X~B,下列说法中正确的有(　　) A.P(X=2)= B.期望E(X)= C.期望E(2X-1)=3 D.方差D(2X-1)=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:因为随机变量X~B,则P(X=2)=,E(X)=6×=2, D(X)=6××=,由期望的性质可得E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3, 由方差的性质可得D(2X-1)=4D(X)=4×=,A,C对,B,D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)若袋子中有4个白球,2个黑球,现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取一个球,取到白球记1分,取到黑球记0分,记4次取球的总分数为X,则(　　) A.X~B B.P(X=3)= C.E(X)= D.D(X)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 解析:对于A选项,由题意可知,每次摸到白球的概率为=,则X~B,A错; 对于B选项,P(X=3)=··=,B对; 对于C选项,E(X)=4×=,C对; 对于D选项,D(X)=4××=,D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)(0<p<1),若E(X)=2D(X),则 p=　　　　.  解析:X服从二项分布B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),所以np=2np(1-p),解得p=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.某学生将参加创新知识大赛,答题环节有6道题目,每答对1道题得2分,答错一道题减1分,已知该生每道题目答对的概率是,且各题目答对正确与否相互之间没有影响,X表示该生得分,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 12 解析:依题意,设Y表示该生答对问题的个数,则Y~B, 所以E(Y)=6×=4,D(Y)=6××=,又因为X=2Y-(6-Y)=3Y-6, 所以E(X)=3E(Y)-6=3×4-6=6,D(X)=32D(Y)=9×=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.为了增加系统的可靠性,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备),已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉,如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,它们之间相互不影响,设能正常工作的设备数为X. (1)写出X的分布列; (2)求出计算机网络不会断掉的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)可以看出,X服从参数为3,0.9的二项分布,即X~B(3,0.9). 因此 P(X=0)=×0.90×(1-0.9)3=0.001, P(X=1)=×0.91×(1-0.9)2=0.027, P(X=2)=×0.92×(1-0.9)1=0.243, P(X=3)=×0.93×(1-0.9)0=0.729, 从而X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1, 因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某运动员进行射击训练,射中10环的概率为,射不中10环的概率为,每次射击相互独立.射中10环得2分,射不中10环得-1分.运动员进行了三次射击训练,用随机变量Y表示3次所得分数之和,求: (1)3次射击全部射中10环的概率; (2)随机变量Y的分布列及数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由题意可知,3次射击全部射中10环的概率P==. (2)设三次射击射中10环的次数为X,则X~B, 可得Y=2X-(3-X)=3X-3,可知Y的可能取值有-3,0,3,6, 则P(Y=-3)=P(X=0)==,P(Y=0)=P(X=1)=××=, P(Y=3)=P(X=2)=××=,P(Y=6)=P(X=3)==, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以随机变量Y的分布列为 可得E(Y)=-3×+0×+3×+6×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Y -3 0 3 6 P [B组　关键能力练] 9.如图,一动点沿圆周在均匀分布的A,B,C三点之间移动,每次该动点逆时针方向移动的概率是顺时针方向移动概率的两倍,假设现在该点从A点出发,则移动三次之后到达B点的概率是(　　)   A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由题意可得逆时针移动的概率为,顺时针移动的概率为, 由A点出发,3次移动后到达点B,则3次移动中有2次逆时针,1次顺时针, 所以概率P=··=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)袋中有大小形状相同的5个小球,其中黑球3个,白球2个,从中有放回地取球3次,每次取1个,记X为取得黑球次数,Y为取得白球次数,则(　　) A.随机变量X的可能取值为0,1,2,3 B.随机变量Y的可能取值为0,1,2 C.随机事件{X=1}的概率为 D.随机变量X与Y的数学期望之和为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 解析:随机变量X,Y的可能取值都为0,1,2,3,A正确,B错误; 随机事件的概率为×=,C错误; 因为X=3-Y,且X~B,Y~B, 所以E(X)=3-E(Y),D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布,在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用,泊松分布的概率分布列为P(x=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.当n很大且p很小时,二项分布近似于泊松分布,其中λ=np.一般地,当n≥20而p≤0.05时,泊松分布可作为二项分布的近似.若随机变量X~B (1 000,0.001),P(X=1)的近似值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由题,n=1 000≥20,而p=0.001≤0.05, 所以泊松分布可作为二项分布的近似,λ=np=1,所以P(X=1)=e-1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在学校大课间体育活动中,甲、乙两位同学进行定点投篮比赛,每局比赛甲、乙每人各投篮一次,若一方命中且另一方未命中,则命中的一方本局比赛获胜,否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和,且每局比赛甲、乙命中与否互不影响,各局比赛也互不影响.进行1 局投篮比赛,甲获胜的概率为　　　　;设共进行了3局投篮比赛,其中甲 获胜的局数为X,则X的数学期望E(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:根据比赛规则可得,若甲获胜,则需满足甲投篮命中,乙投篮未命中, 所以甲获胜的概率为×=; 若进行3局比赛,每一局比赛甲获胜的概率为, 则在3次比赛中甲获胜的局数X服从二项分布, 即X~B, 所以X的数学期望E(X)=3×=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.为丰富校园文化生活,学校举办了乒乓球比赛.决赛采用五局三胜制的比赛规则(先赢得3局的队伍获胜并结束比赛).已知甲、乙两队进入决赛,且根据以往比赛统计得知,在每局比赛中甲队获胜的概率为p(0<p<1),乙队获胜的概率为1-p,每局比赛的结果互不影响. (1)若p=,比赛结束时甲队获胜的局数记为X,求X的分布列及均值; (2)若比赛打满5局的概率记为f(p),求f(p)的最大值及此时p的值,并解释此时的实际意义. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)=1---=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以X的分布列为 E(X)=0×+1×+2×+3×=. 13 X 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由题可知f(p)=p2(1-p)2=6p2(1-p)2. 因为6p2(1-p)2≤6=, 当且仅当p=1-p,即p=时,f(p)取得最大值. 实际意义:比赛双方水平越接近,他们决出胜负需要的局数相对越多. 13 $$