7.3.1 离散型随机变量的均值-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 第七章　随机变量及其分布 学习单元3 [学习目标]　1.理解离散型随机变量均值的概念和性质,能计算简单离散型随机变量的均值.　2. 掌握两点分布的均值.　3.会利用离散型随机变量的均值和性质,解决一些相关的实际问题. 知识点1　离散型随机变量的均值 内容索引 知识点2　离散型随机变量均值的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　离散型随机变量的均值的实际应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　离散型随机变量的均值 1.均值:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)=　　　　　　　　　　=　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称　　　　.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了 　　　 　　　的平均水平.  X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1+x2p2+…+xnpn xipi 期望 随机变量取值 2.两点分布的均值:一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=　　　　　　 　　.  微提醒:随机变量的均值是一个确定的数,样本均值具有随机性,它围绕随机变量的均值波动. 0×(1-p)+1×p=p [例1]　不透明的布袋子中有标记数字1,2,3,4的小球各3个,随机一次取出2个小球. (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率; (2)记取出的2个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X). [分析]　(1)先确定2个不同数字的小球,然后再从确定的每种小球中取1个,通过计算可求符合要求的取法数,再除以总的取法数可得结果; (2)先确定X的可取值为1,2,3,4,然后计算出不同取值的概率,由此可求分布列和期望E(X). [解]　(1)记“取出的2个小球上的数字两两不同”为事件M, 先确定2个不同数字的小球,有种方法,然后每种小球各取1个,有×种取法, 所以P(M)==. (2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3,4, 当X=1时,分为两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球, 所以P(X=1)==; 当X=2时,分为两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球, 所以P(X=2)==; 当X=3时,分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球, 所以P(X=3)==; 当X=4时,只有一种情况:有两个数字为4的小球,所以P(X=4)==, 所以X的分布列为 所以E(X)=1×+2×+3×+4×=. X 1 2 3 4 P 1.某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,若三道题目全部猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果某嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立.求该嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 跟踪训练 解:根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”,则X的可能取值为-4,1,3,6, ∴P(X=-4)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=3)=××+××+××=, P(X=6)=××==. ∴X的分布列为 ∴E(X)=(-4)×+1×+3×+6×=. X -4 1 3 6 P 知识点2　离散型随机变量均值的性质 若Y=aX+b,其中a,b均是常数(X是随机变量),则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=　 .  aE(X)+b [例2]　已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　.  [分析]　由离散型随机变量均值的性质,需要先求出E(X). X -2 -1 0 1 2 P m [解析]　由分布列的性质,得 +++m+=1,解得m=, ∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 即E(Y)=-2×=. [变设问1]　本例条件不变,若Y=2X-3,则E(Y)=　　 　　.  解析:由本例知E(X)=-,则E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-. - [变设问2]　本例条件不变,若Y=aX+3,且E(Y)=-,则a的值为　　　　.  解析:由本例知E(X)=-,则E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-, 所以a=15. 15 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 1.定义法:先列出Y的分布列,再求均值. 2.性质法:直接套用公式,E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,求解即可. 思维提升 2.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是(　　) A.E(X)= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 跟踪训练 D 解析:因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则P(X=1)=, 故E(X)=0×+1×=,故A错误; E(2X+3)=2E(X)+3=,故B错误; E(2X+2)=2E(X)+2=,故C错误; E(2X+1)=2E(X)+1=,故D正确. 3.设X的分布列如图,又Y=2X+a,则E(Y)=　　　　.  X 1 2 3 4 P a 6 解析:由分布列的性质得+++a=1,得a=,从而E(X)=1×+2×+3×+4×=,而Y=2X+a=2X+, 所以E(Y)=E=2E(X)+=2×+=6. 知识点3　离散型随机变量的均值的实际应用 [例3]　某学校组织知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. [分析]　(1)求出X的分布列;(2)根据求出的分布列,先利用定义分别计算均值,再对比均值大小. [解]　(1)由题可知,X的所有可能取值为0,20,100. P(X=0)=1-0.8=0.2; P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32; P(X=100)=0.8×0.6=0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100. P(Y=0)=1-0.6=0.4; P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12; P(X=100)=0.6×0.8=0.48. 所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题. 解答概率模型的三个步骤 1.建模:即把实际问题概率模型化. 2.解模:确定分布列,计算随机变量的均值. 3.回归:利用所得数据,对实际问题作出判断. 思维提升 4. 某超市为了促销,规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下:在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球,其中3个小球上标有数字1,3个小球上标有数字2,3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球,若取到的3个球上标有的数字都一样,则获得一张8元的代金券;若取到的3个球上标有的数字都不一样,则获得一张4元的代金券;若是其他情况,则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱,等待下一位顾客抽奖. 跟踪训练 (1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)该超市规定,若某位顾客购物总金额不足88元,则抽奖一次需支付2元,若您是该位顾客,从收益的角度考虑,您是否愿意参加一次抽奖活动?请说明理由. 解:(1)由题意可知随机变量X的可能取值为1,4,8. P(X=8)==, P(X=4)==, P(X=1)=1-P(X=4)-P(X=8)=. 所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 P 所以随机变量X的数学期望为E(X)=1×+4×+8×=(元). (2)由>2,故从收益的角度考虑,我愿意参加一次抽奖活动. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知随机变量X的分布列,则E(X)=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. X 0 1 2 P a 2a- B 解析:由分布列性质可知,a+2a-+=1,解得a=,E(X)=0×+1×+2×=. 2.已知随机变量X的分布列为 且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则a等于(　　) A.-3 B.-2 C. D.3 X 1 2 3 P A 解析:结合题意E(X)=1×+2×+3×=, 因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2,解得a=-3. 3.一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则E(X)=(　　) A.2 B.3 C. D. C 解析:由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4. 且P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==. 因此X的分布列为 则E(X)=2×+3×+4×=. X 2 3 4 P 4.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是　　　　.  自然状况 方案盈 利概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 -20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 -10 A3 解析:A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7; A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5; A3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7; A4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6, 因为A3的均值最大,所以应选择的方案是A3. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元,1.18万元,1.17万元的概率分别为,,,随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润,则X的均值为(　　) A.1.18　　　　　　　　 B.3.55 C.1.23 D.2.38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17, P(X=1.2)=,P(X=1.18)=, P(X=1.17)=, 所以X的分布列为 所以E(X)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 1.2 1.18 1.17 P 2.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考察,X,Y的分布列分别是: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6, E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7, 由于E(Y)>E(X),故甲比乙质量好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.某人共有三发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则期望E(X)=(　　) A. B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:由题意知X=1,2,3, P(X=1)=;P(X=2)=×=;P(X=3)=××1=. X的分布列为 E(X)=1×+2×+3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 1 2 3 P 4.(多选)已知某一随机变量X的分布列如表,且E(X)=6.3,则(　 　) A.a=7 B.b=0.4 C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b ABC 解析:由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1, 且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3, 解得b=0.4,a=7, ∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1, E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1),则随机变量Y=3X-1的期望为　　　　 .  解析:因为随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1, 又P(X=0)=3-4P(X=1),得到P(X=0)=,P(X=1)=, 所以E(X)=0×+1×=,故E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=2-1=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6.某节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价是每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测,该节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列 若购进这种鲜花500束,则利润的均值为　　　　元.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 706 解析:因为E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,所以利润的均值为340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”,设事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”, 则P(A)=,P(B)=,所以至少有一种新产品研发成功的概率为P=1-P()P()=1-×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220. 由独立试验的概率计算公式可得, P(X=0)=×=, P(X=120)=×=, P(X=100)=×=, P(X=220)=×=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以X的分布列为 则数学期望 E(X)=0×+120×+100×+220×=140. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 120 100 220 P 8.根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1　运走设备,搬运费为3 800元; 方案2　建保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水; 方案3　不采取措施. 工地的领导该如何决策呢? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元.因此,P(X1=3 800)=1. 采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,总损失为2 000元.因此, P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2 000)=0.99. 采用方案3, P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10 000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 于是, E(X1)=3 800, E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100. 因此,从期望损失最小的角度考虑,应采取方案2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.已知随机变量X满足P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,且0<p<.令随机变量Y=|X-E(X)|,则(　　) A.E(Y)<E(X) B.E(Y)>E(X) C.E(Y)=E(X) D.E(Y)和E(X)大小不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由题意,E(X)=0·P(X=0)+1·P(X=1)=0×(1-p)+1×p=p, 由Y=|X-E(X)|,当X=0时,Y=p;当X=1时,Y=1-p.所以P(Y=p)=1-p,P(Y=1-p)=p,E(Y)=p·P(Y=p)+(1-p)·P(Y=1-p)=2p(1-p), E(X)-E(Y)=p(2p-1),由0<p<,则p(2p-1)<0,所以E(X)<E(Y). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)4个不同的小球随机投入4个不同的盒子,设随机变量X为空盒的个数,下列说法正确的是(　　) A.随机变量X的取值为1,2,3 B.P(X=3)= C.P(X=2)= D.E(X)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:4个不同的小球随机投入4个不同的盒子, 则随机变量X可取0,1,2,3,故A错误; 则P(X=3)==, P(X=2)==, P(X=1)==, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P(X=0)==, 故B正确,C错误; E(X)=3×+2×+1×+0×=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.甲、乙、丙三人参加某次招聘会,甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<3),且三人是否应聘成功是相互独立的.若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是,设X表示甲、乙两人中应聘成功的 人数,则X的均值是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:依题意,得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××=,解得t=2(负值舍去), 所以乙应聘成功的概率为,则X的所有可能的取值为0,1,2, 可得P(X=2)=×=,P(X=1)=×+×=, P(X=0)=×=,所以E(X)=2×+1×+0×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列.(用频率代替概率) (2)求1件产品的平均利润(即X的均值). (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2. P(X=6)==0.63, P(X=2)==0.25, P(X=1)==0.1, P(X=-2)==0.02. 故X的分布列为 13 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34. (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E(Y)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29). 依题意,E(Y)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03, 所以三等品率最多为3%. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶,然后以每盒5元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的牛奶作为垃圾回收处理. (1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:盒,n∈N*)的函数解析式. (2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位:盒),整理得下表: 13 日需求量 48 49 50 51 52 53 54 频数 10 20 16 16 15 13 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列及均值. ②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶,从统计学角度分析,你认为应购进50盒还是51盒?请说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当n<50时,y=5n-50×3=5n-150, 当n≥50时,y=50×(5-3)=100, ∴y=(n∈N*). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)①由(1)可知,n=48时,X=90,当n=49时,X=95,当n≥50时,X=100. ∴X的可能取值为90,95,100. P(X=90)==, P(X=95)==, P(X=100)==, ∴X的分布列为 ∴E(X)=×90+×95+×100=98. 13 X 90 95 100 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ②由①知当购进50盒时,E(X)=98. 当购进51盒时,y=(n∈N*), 设Y表示当天的利润,∴当n=48时,Y=87,当n=49时,Y=92,当n=50时,Y=97,当n≥51时,Y=102, ∴P(Y=87)=, P(Y=92)=, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(Y=97)==, P(Y=102)==, ∴E(Y)=×87+×92+×97+×102==97.7.∵98>97.7,∴每天购进50盒比较合理. 13 $$