7.2 离散型随机变量及其分布列-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.2　离散型随机变量及其分布列 第七章　随机变量及其分布 学习单元3 [学习目标]　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　3.理解两点分布. 知识点1　随机变量 内容索引 知识点2　离散型随机变量的分布列 课时作业 巩固提升 知识点3　分布列的性质及应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　随机变量 1.随机变量:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 　　　　的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.   2.离散型随机变量:可能取值为　　　　或可以　 　　　的随机变量,我们称之为离散型随机变量,通常用　　　　　　　　表示随机变量,例如X,Y,Z;用　　　　　　　　表示随机变量的取值,例如x,y,z.  唯一 有限个 一一列举 大写英文字母 小写英文字母 微提醒:离散型随机变量的特征: 1.可以用数值表示. 2.试验之前可以判断其可能出现的所有值,但不能确定取何值. 3.试验结果能一一列出. [例1]　(1)(多选)一副扑克牌共有54张牌,其中52张是正牌,另2张是副牌(大王和小王),从中任取4张,则随机变量可能为(　　) A.所取牌数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副牌中正牌数 D.取出的副牌的个数 (2)(多选)以下选项中说法正确,且所描述对象是离散型随机变量的是(　　) A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X是一个随机变量 B.如果以测量仪的最小单位计数,测量的舍入误差X是一个随机变量 C.一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置X是一个随机变量 D.某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量 [答案]　(1)BD　(2)AD [解析]　(1)对于A,所取牌数为4,是一个常数,不是随机变量,所以A错误;对于B,4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3,4,所以是随机变量,所以B正确;对于C,这副牌中正牌数为52,是一个常数,不是随机变量,所以C错误;对于D,4张牌中所取出的副牌的个数可能为0,1,2,所以是随机变量,所以D正确. (2)A,B,C,D中所描述的对象都是随机变量.根据离散型随机变量的定义可知,A,D中的X的所有可能取值可以一一列举出来,因此是离散型随机变量,而B,C中的X可以取某一区间内的一切值,不能一一列举出来,因此不是离散型随机变量. 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果; (2)将随机试验的结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量;若不能一一列出,则该随机变量不是离散型随机变量. 思维提升 1.(多选)下列随机变量X是离散型随机变量的是(　　 ) A.某市每天查到违章驾车的车辆数X B.某网站中的歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X C.一天内的温度X D.射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射手在一次射击中的得分 解析:A,B,D的结果均可以一一列出,而C不能一一列出. 跟踪训练 ABD 2.抛掷两枚骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X>4”表示的试验结果是(　　) A.第一枚6点,第二枚2点 B.第一枚5点,第二枚1点 C.第一枚1点,第二枚6点 D.第一枚6点,第二枚1点 D 解析:连续抛掷两枚骰子,第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是一个随机变量X,则“X>4”表示的试验结果只能是X=5,即第一枚6点,第二枚1点. 知识点2　离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率　　　　　 　　　　　　为X的概率分布列,简称分布列.  离散型随机变量的分布列也可以用表格表示: 离散型随机变量的分布列的性质: (1)　　　　　　　　;  (2)　　　　　　　　.  X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n pi≥0,i=1,2,…,n p1+p2+…+pn=1 2.对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如表所示. 我们称X服从　　　　分布或0-1分布.  X 0 1 P 1-p p 两点 [例2]　一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球,2个红球,从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率; (2)用X表示摸出的2个球中白球的个数,求X的分布列. [分析]　离散型随机变量的分布列根据等可能事件的概率计算即可. [解]　因为箱子里共有5个球,所以从中摸出2个球,共有=10(种)情况. (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球为事件A,则P(A)==, 故摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)用X表示摸出的2个球中白球的个数,X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 求离散型随机变量的分布列的一般步骤 1.确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义. 2.利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值时的概率. 3.按规范形式写出分布列. 4.根据分布列的性质对结果进行检验,即检验分布列的概率和是不是1. 思维提升 3.学校组织解题能力大赛,比赛规则如下:依次解答一道解析几何题和两道立体几何题,解析几何题正确得2分,错误得0分;两道立体几何题全部正确得3分,只正确一道题得1分,全部错误得0分;总分是两部分得分之和.小明同学准备参赛,他目前的水平是:解析几何题解答正确的概率是;每道立体几何题解答正确的概率均为.假设小明同学每道题的解答相互独立. (1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率; (2)求小明同学获得的总分X的分布列. 跟踪训练 解:(1)由题意知解析几何题解答正确的概率是,立体几何题解答正确的概率为, 所以小明同学恰好有两道题解答正确的概率P=××+××+××=++=. (2)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,5, 所以P(X=0)=××=,P(X=1)=×=, P(X=2)=××==,P(X=3)=×+××==, P(X=5)=××==, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 5 P 知识点3　分布列的性质及应用 [例3]　设随机变量X的分布列P=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; (2)求P. [解]　由题意,得X的分布列为 (1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. (2)法一:P=P+P+P(X=1)=++=. 法二:P=1-P=1-=. X 1 P a 2a 3a 4a 5a [变设问]　本例条件不变,求P. 解:∵<X<,∴X=,,. ∴P=P+P+P=++=. 1.利用分布列的两个性质可以检验分布列的正确性. 2.由于所有的概率之和必须等于1.因为离散型随机变量在某一范围内的取值,包含有n个随机变量,而它们所对应的事件互斥,因此利用概率的加法公式即可求出其概率. 思维提升 4.设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(　　) A.0　　　　　　　　　 B. C. D.1 跟踪训练 C 解析:根据题意得,“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,成功率为p,失败率为5p,故X的分布列为 所以5p+p=1,得p=,所以失败率为,即P(X=0)=. X 0 1 P 5p p 5.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下: 则P=(　　) A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 X=i 1 2 3 4 5 6 P(X=i) 0.21 0.20 0. x 5 0.10 0.1 y 0.10 B 解析:由题意得0.21+0.20+0.05++0.10+0.10++0.10=1,化简得10x+y=24, 又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4, 所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45. 〈课堂达标·素养提升〉 1.下面给出四个随机变量: ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ; ②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η; ③某派出所一天内接到的报警电话次数X; ④某同学上学路上离开家的距离Y. 其中是离散型随机变量的个数为(　　) A.1　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 B 解析:对于①,十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,①是离散型随机变量; 对于②,沿x轴进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,②不是离散型随机变量; 对于③,一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,③是离散型随机变量; 对于④,某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,④不是离散型随机变量,所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 2.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是(　　) A.2枚都是4点 B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点 D 解析:A表示的是随机试验中X=8的其中一个结果,B,C中表示的是随机试验中X=4的部分结果,而D是代表随机试验中X=4的所有试验结果. 3.设0<p<1,随机变量X的分布列为 则p=(　　) A. B. C. D. X 5 8 9 P D 解析:由++=1,得p=. 4.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a2,P(X=1)=a,那么 a=　　　　.  解析:由题意可知P(X=0)+P(X=1)=a+2a2=1⇒a=或a=-1, 由于a>0,所以a=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是(　　) A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的3个小球的质量之和 D.倒出的3个小球的颜色的种数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用X表示甲的得分,则{X=3}表示(　　) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局二次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分, 故{X=3}表示两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(X≤2)=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由题意得P(X=1)=P(X=2)=,则P(X≤2)=×2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知随机变量X的分布列如表. 则X为奇数的概率为　　　　.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 3 4 5 P 解析:所求概率为P=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=++=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.随机变量X的分布列如表: 其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点的概率 为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 P a b c 解析:由题意知解得b=. ∵f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点, ∴Δ=4-4X=0,解得X=1,∴P(X=1)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知离散型随机变量X的分布列为 (1)求Y=|X-1|的分布列; (2)求P(1<2X+1<9). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 解:(1)0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,故m=0.3,Y的可能取值为0,1,2,3, P(Y=0)=P(X=1)=0.1,P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3, P(Y=2)=P(X=3)=0.3,P(Y=3)=P(X=4)=0.3, 故其分布列为 (2)由1<2X+1<9,可得0<X<4, 故P(1<2X+1<9)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Y 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 7.某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛. (1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员,则共有多少种选派方法? (2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)共有=12种选派方法. (2)由题意知,X的取值范围为{-3,-1,1}, P(X=-3)==,P(X=-1)==,P(X=1)==, 所以X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X -3 -1 1 P [B组　关键能力练] 8.(多选)已知随机变量X的分布列,若P(X2<x)=,则实数x的值可以是(　 　) A.5 B.7 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X -2 -1 0 1 2 3 P ABC 解析:由随机变量X的分布列,知:X2的可能取值为0,1,4,9, 且P(X2=0)=,P(X2=1)=+=,P(X2=4)=+=,P(X2=9)=,则P(X2≤4)=++=,P(X2≤9)=1. 若P(X2<x)=,则实数x的取值范围是4<x≤9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)一盒中有7个乒乓球,其中5个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是(　　) A.X的所有可能取值是3,4,5 B.X最有可能的取值是5 C.X等于3的概率为 D.X等于4的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:记未使用过的乒乓球为M,已使用过的为N,任取3个球的所有可能是:1个M球和2个N球,2个M球和1个N球,3个M球.M球使用后成为N球,故X的所有可能取值是3,4,5,所以选项A正确; 又P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==, 所以X最有可能的取值是4,所以选项B,D错误,选项C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.现有7张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,5,6,从这7张卡片中随机抽取3 张,记所取卡片上数字的最大值为X,则P(X=5)=　　　　.  解析:从这7张卡片中随机抽取3张的试验有=35个基本事件, 其中X=5的事件所含基本事件数为+=16,所以P(X=5)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.盒中装有5个大小、质地相同的小球,其中3个白球和2个黑球.两位同学先后轮流不放回摸球,每次摸一球,当摸出第二个黑球时结束游戏,或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时两位 同学摸球的总次数为X,则P(X=3)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:当X=3时,游戏结束时两位同学摸球的情况为:白黑黑,黑白黑,白白白,则P(X=3)=××+××+××=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某单位为丰富员工的业余生活,利用周末开展趣味野外拉练,此次拉练共分A,B,C三大类,其中A类有3个项目,每项需花费2小时,B类有3个项目,每项需花费3小时,C类有2个项目,每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目,每个项目的选择机会均等. (1)求小张在三类中各选1个项目的概率; (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)记事件M为“在三类中各选1个项目”,则P(M)==, 所以小张在三类中各选1个项目的概率为. (2)由题知X的所有可能取值为4,5,6,7,8,9, 则P(X=4)==, P(X=5)==, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=6)==, P(X=7)==, P(X=8)==, P(X=9)==. 所以X的分布列为 13 X 4 5 6 7 8 9 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2分,而每取出1个白球输1分,取出黄球无输赢. (1)以X表示赢得的分数,随机变量X可以取哪些值?求X的分布列. (2)求出赢分(即X>0时)的概率. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)从箱中取出两个球的情形有以下6种: 2个白球,1个白球、1个黄球,1个白球、1个黑球,2个黄球,1个黑球、1个黄球,2个黑球. 当取到2个白球时,随机变量X=-2; 当取到1个白球、1个黄球时,随机变量X=-1; 当取到1个白球、1个黑球时,随机变量X=1; 当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个黑球、1个黄球时,随机变量X=2; 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当取到2个黑球时,随机变量X=4; 所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. 根据古典概型的知识,可得 P(X=-2)==, P(X=-1)==, P(X=0)==, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=4)==. 因此,X的分布列如表所示 13 X -2 -1 0 1 2 4 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=, 故赢分的概率为. 13 $$