7.1.1 条件概率-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第七章　随机变量及其分布 学习单元3 [学习目标]　1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.　2.了解条件概率与独立性的关系.　3.会利用乘法公式计算概率. 知识点1　条件概率 内容索引 知识点2　概率的乘法公式 课时作业 巩固提升 知识点3　条件概率的性质 课堂达标·素养提升 3 知识点1　条件概率 1.条件概率:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称 　 　　　.  2.计算公式:(1)事件个数法(缩小样本空间):P(B|A)=. (2)定义法:P(B|A)=. 微提醒:A与B相互独立时,可得P(AB)=P(A)P(B),则P(B|A)= P(B). 条件概率 [例1]　(1)一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球,如果不放回地依次取2个小球.在第1次取到红球的条件下,第2次取到红球的概率是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取两次,每次任取1个,做不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,则P(B|A)=　　　　.  [分析]　(1)设“第1次取到红球”为事件A,“第2次取到红球”为事件B,求出P(A),P(AB),代入公式求P(B|A). (2)利用古典概型公式求P(B|A). [答案]　(1)C　(2) [解析]　(1)设事件A为“第1次取到红球”,事件B为“第2次取到红球”,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)====. (2)将产品编号为1,2,3号的看作一等品,4号看作二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取得第i号,第j号产品,则试验的基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件A有9种情况,事件AB有6种情况.P(B|A)===. 计算条件概率的两种方法 1.在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率, 即P(B|A)=. 2.在原样本空间Ω中,先计算P(AB),P(A),再按公式P(B|A)=,计算求得P(B|A). 思维提升 1.(1)某校有7名同学获省数学竞赛一等奖,其中男生4名,女生3名.现随机选取2名学生参加“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同”,事件B为“选取的两名学生为男生”,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 跟踪训练 (2)在5道试题中有2道代数题和3道几何题,每次从中抽出1道题,抽出的题不再放回,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为　　　　.  答案:(1)D　(2) 解析:(1)由题意得,事件A包含的样本点数n(A)=+=9,事件A和B包含的样本点数n(AB)==6,所以P(B|A)===. (2)设事件A=“第1次抽到代数题”,事件B=“第2次抽到几何题”, 则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===. 知识点2　概率的乘法公式 由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则 　　　　　　　　　　　.我们称上式为概率的　　　　　　.  微提醒: 1.P(AB)表示A,B都发生的概率,P(B|A)表示A先发生,然后B发生. 2.当P(B|A)=P(B)时,事件A与事件B是相互独立事件. P(AB)=P(A)P(B|A) 乘法公式 [例2]　一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次.求: (1)第一次取得白球的概率; (2)第一、第二次都取得白球的概率; (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. [分析]　由条件概率公式P(AB)=P(A)P(B|A)即可得到. [解]　设A=“第一次取得白球”,B=“第二次取得白球”,则=“第一次取得黑球”,由题意,得 (1)P(A)==. (2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (3)P(B)=P()P(B|)=×=. 应用乘法公式求概率的关注点 1.功能:是一种计算“积事件”概率的方法,即当不容易直接计算P(AB)时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解. 2.推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A). 思维提升 2.已知随机事件A,B,P(A)=,P(B)=,P(A|B)=,则P(B|A)=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 跟踪训练 D 解析:因为P(AB)=P(B)·P(A|B)=P(A)·P(B|A),所以·=P(B|A), 所以P(B|A)=. 3.某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为　　　　.  解析:由题意,记“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B, 则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5,∴P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.5=0.4. 即这个选手过关的概率为0.4. 0.4 知识点3　条件概率的性质 条件概率具有概率的性质.设P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)=　　　　;  (2)若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　　　　　;  (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=　　 　.  微提醒: (1)若事件A与B互斥,则P(AB)=0,P(B|A)=0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 1 P(B|A)+P(C|A) 1-P(B|A) [例3]　一个袋子中装有10个球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸2个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. [解]　设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事件C,则P(A)=,P(AB)==,P(AC)==, ∴P(B|A)===,P(C|A)===, ∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=, ∴所求概率为. 1.利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)求条件概率,应注意这个性质使用的前提是“B与C互斥”. 2.为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,再用加法公式. 思维提升 3.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)两颗骰子向上的点数之和为7时,其中有一个的点数是2的概率是多少? (2)两颗骰子向上的点数不相同时,向上的点数之和为4或6的概率是多少? 跟踪训练 解:(1)记事件A表示“两颗骰子中,向上的点数有一个是2”, 事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”, 则事件AB表示“向上的点数之和为7,其中有一个的点数是2”, 则P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==. (2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”,则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M=M4∪M6,其中事件M4与M6互斥,记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”,则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同,且向上的点数之和为i”. 因为P(N)==,P(M4N)==,P(M6N)==, 所以P(M|N)=P(M4∪M6|N)=P(M4|N)+P(M6|N)=+=+=. 〈课堂达标·素养提升〉 1.把一枚骰子连续抛掷两次,记事件M=“两次所得点数均为奇数”,N=“至少有一次点数是3”,则P(N|M)等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. B 解析:事件M=“两次所得点数均为奇数”,则事件M包含的样本点有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),故n(M)=9;N=“至少有一次点数是3”,则事件MN包含的样本点有(1,3),(3,1),(3,3),(3,5),(5,3),故n(MN)=5,所以P(N|M)=. 2.已知事件A,B相互独立,P(A)=0.8,P(B)=0.3,则P(A|B)等于(　　) A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16 解析:因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),所以P(A|B)==P(A)=0.8. B 3.若B,C是互斥事件且P(B|A)=,P(C|A)=,则P(B∪C|A)等于(　　) A. B. C. D. 解析:因为B,C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. D 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知P(AB)=0.6,P(B|A)=0.8,则P(A)=(　　) A.0.75　　　　　　　　　 B.0.5 C.0.45 D.0.25 解析:根据条件概率公式P(B|A)=可得,P(A)===0.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 2.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次,每次任取1个球,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.质数又称素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数,数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A=“这两个数都是素数”;事件B=“这两个数不是孪生素数”,则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:不超过30的自然数有31个,其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,共4组. 所以P(A)==,P(AB)==, 所以P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中,已知某选手第一发命中的概率为,第一发和第二发均命中的概率为.则在他第一发命中的前提下,第二发未命中的概率为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:设该选手“第一发命中”为事件A,“第二发命中”为事件B, 则P(A)=,P(AB)=,所以P(|A)=1-P(B|A)=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回,若抽取三次,则在前两张卡 片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率为　　　　.  解析:设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A,“第三张为奇数”为事件B,则所求概率为P(B|A)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥. 又P(A)==,P(AB)==,P(AC)==, 故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在一个盒子中有大小与质地相同的20个球,其中10个红球,10个白球,两人依次不放回地各摸1个球,求: (1)在第一个人摸出1个红球的条件下,第二个人摸出1个白球的概率; (2)第一个人摸出1个红球,且第二个人摸出1个白球的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)设事件A表示:第一个人摸出红球,B表示:第二个人摸出白球, 则P(A)==, 第一个人摸出1个红球后,盒子中还有19个球,其中9个红球,10个白球, 故在第一个人摸出1个红球的条件下,第二个人摸出1个白球的概率P(B|A)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设事件A表示:第一个人摸出红球,B表示:第二个人摸出白球, 事件:第一个人摸出1个红球,且第二个人摸出1个白球即为事件AB, 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某校从学校文艺部7名成员(4名男生和3名女生)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率; (2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率; (3)在要求被选中的两人中必须是一名男生和一名女生的条件下,求女生乙被选中的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)从7名成员中挑选2名成员,共有=21(种)情况, 记“男生甲被选中”为事件A,事件A所包含的样本点数为=6,故P(A)==. (2)记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B, 则P(AB)=,由(1)知P(A)=,故P(B|A)===. (3)记“被选中的两人为一名男生和一名女生”为事件C, 事件C所包含的样本点数为×=12,则P(C)==, “女生乙被选中”为事件B,则P(BC)==,故P(B|C)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)某校开展羽毛球比赛,甲组有选手6名,其中3名男生,3名女生;乙组有选手5名,其中3名男生,2名女生.现从甲组随机抽取一人加入乙组,再从乙组随机抽取一人,A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”,B表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”,则(　　) A.P(B|A)= B.P(|A)= C.P(B|)= D.P(|)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:A选项,在事件A发生时,从乙组随机抽取一人,有6种可能情况,其中抽取的一人是男生有3种可能情况,所以P(B|A)=,A正确; B选项,在事件A发生时,从乙组随机抽取一人,其中抽取的一人是女生有3种可能情况,所以P(|A)=,B错误; C选项,在事件发生时,从乙组随机抽取一人,有6种可能情况,其中抽取的一人是男生有4种可能情况,所以P(B|)=,C正确; D选项,在事件发生时,从乙组随机抽取一人,有6种可能情况,其中抽取的一人是女生有2种可能情况,所以P(|)=,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知事件A和B是互斥事件,P(C)=,P(BC)=,P(A∪B|C)=,则 P(A|C)=　　　　.  解析:由题意知,P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=,P(B|C)===, 则P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.某商场搞抽奖活动,将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中,让顾客从中随机抽1副,两个品牌的耳机外包装相同,耳机的颜色都只有黑色和白色,记事件A=“抽到白色耳机”,B=“抽到乙品牌耳机”,若P(A|B)=,P(B|A)=,则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有　　　　副.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 解析:设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副,则白色耳机有(30-x)副. 因为P(A|B)=,而乙品牌耳机共有20副,故乙品牌耳机中白色耳机有20×=15副, 于是抽奖箱里共有白色耳机(30-x)+15=(45-x)副,又P(B|A)=,则=,解得x=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过考试;若至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另1道题答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型概率的计算公式及概率的加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=, P(AD)=P(A),P(BD)=P(B), 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=, 故所求的概率为. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 13   不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, B表示事件“选到的人患有该疾病”, 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (1)证明R=·; (2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:由题意可得R==, 所以只需证明=即可, 上式左边==, 右边==,左边=右边,故R=·. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:由调查数据可知n(AB)=40,n(B)=100,n(A)=10,n()=100, 所以P(A|B)==,P(A|)==, 所以P(|B)=1-P(A|B)=,P(|)=1-P(A|)=,所以R==6. 13 $$