6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 第2课时　二项式定理的综合应用 第六章　计数原理 学习单元2 [学习目标]　1.熟练掌握二项式定理,能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.　2.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.　 3.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 知识点1　两个二项式积与多项式项展开式问题 内容索引 知识点2　整除和余数问题 课时作业 巩固提升 知识点3　二项展开式中的系数最值问题 微点突破3　杨辉三角的性质与应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　两个二项式积与多项式项展开式问题 1.求两个二项展开式乘积的指定项,首先分别对每个　　　　　　进行分析,发现它们各自项的特点;然后找到构成展开式中特定项的组合部分;最后分别求解再相乘,求和即得.  2.三项或三项以上的展开策略:应根据式子的特点,转化为　　　　来解决,转化的方法通常为配方、因式分解、项与项的结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.  二项展开式 二项式 [例1]　 (1)若(1-x)n的展开式中不含x3的项,则含x5的项的系数为(　　) A.30　　　　　　　　 B.32 C.34 D.36 (2)的展开式中的常数项为　　　　.  [分析]　(1)根据二项式通项公式,结合乘法的运算性质进行求解即可. (2)先化简,转化为二项展开式问题. C [解析]　(1)二项式(1-x)n的通项公式为:Tr+1=·1n-r·(-x)r, 令r=2,此时有T3=·x2,令r=5,此时有T6=·(-x)5, 因为(1-x)n的展开式中不含x3的项, 所以有+(-)=0⇒=⇒n=2+5=7,即二项式(1-x)7的通项公式为:Tr+1=·17-r·(-x)r=·(-x)r,令r=4,此时有T5=·x4,令r=7,此时有T8=·(-x)7,因此含x5的项的系数为-=34. (2)法一:原式==·[(x+)2]5=·(x+)10. 求原式的展开式中的常数项,转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数,即()5. 所以所求的常数项为=. 法二:表示为5个因式的乘积,所以常数项可以是:从5个因式中选择两个因式提供,两个因式提供,剩余的1个因式提供,或5个因式都提供或从5个因式中选择1个因式提供,1个因式提供,剩余的3个因式提供,故常数项为··+··+=. 对于求多项式展开式中特定项的系数问题,除将其展开外,还可以利用计数原理列式求解. 思维提升 1.(x+1)2的展开式中,常数项为(　　) A.32　　　　　　　　 B.42 C.196 D.202 解析:由已知得二项式的展开式中的常数项为 25+x23+x221=25+23+21=32+160+10=202. 跟踪训练 D 2.的展开式中y的系数为　　　　.  解析:=,通项为Tr+1=yr,所以r=1, 即y, 又通项为,当×(4-r1)-r1=0⇒r1=2时,才能得到y,所以展开式中y的系数为=. 知识点2　整除和余数问题 1.利用二项式定理可以解决余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的　　　　的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.  2.整除性问题或求余数问题的处理方法: (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用　　　　　　展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了.  和与差 二项式定理 [例2]　(1)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除; (2)求S=++…+除以9的余数. [分析]　观察分析除数和余数,将所给多项式进行化简整理,构建一个合适的二项式,根据题目需要将二项式展开,从而使问题得以解决. (1)[证明]　∵1+2+22+…+25n-1= =25n-1=32n-1=(31+1)n-1 =×31n+×31n-1+…+×31+-1 =31(×31n-1+×31n-2+…+), 显然×31n-1+×31n-2+…+为整数, ∴原式能被31整除. (2)[解]　S=++…+=227-1=89-1 =(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9(×98-×97+…+)-2. ∵×98-×97+…+是正整数, ∴S除以9的余数为7. 利用二项式定理解决整除性问题时,关键是要巧妙地构造二项式,其基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此,一般要将被除式化为含有相关除式的二项式,然后再展开.此时常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来处理. 思维提升 3.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=b(mod m).若a=·2+·22+…+·220,a=b(mod 9),则b的值可以是(　　) A.2 018　　　　　　　　　 B.2 020 C.2 022 D.2 024 跟踪训练 D 解析:a=·2+·22+…+·220=(1+2)20-1=910-1,所以a除以9的余数是8,选项中只有2 024除以9余8. 4.设a∈Z,且0≤a<13,若512 024+a能被13整除,则a=　　　　.  解析:因为512 024+a=(52-1)2 024+a =522 024-522 023+522 022-…-×521+1+a能被13整除, 故1+a能被13整除,又0≤a<13,故a=12. 12 知识点3　二项展开式中的系数最值问题 二项展开式中第r+1项系数最大一般处理方法: [例3]　在的展开式中, (1)求系数最大的项; (2)求系数最小的项. [分析]　本题展开式中,奇数项系数为正,偶数项系数为负.因此求系数的最大值应在奇数项系数间构造不等式组,求系数的最小值应在偶数项的各项系数间构造不等式组. [解]　(1)法一:由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最大的项必是奇数项. 设展开式中第k+1(k为偶数)项的系数最大, 则 解得≤k≤.又k为偶数, 则k=6,故展开式中系数最大的项为T7=·26·x-11=1 792x-11. 法二:设第r+1项系数的绝对值最大, 则所以 解得5≤r≤6,则r=5,6,所以展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最大的项为T7=·26· x-11=1 792x-11. (2)法一:由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最小的项必是偶数项. 设展开式中第k+1(k为奇数)项的系数最小, 则 解得≤k≤.又k为奇数, 则k=5,故展开式中系数最小的项为T6=(-1)5·25·=-1 792. 法二:设第r+1项系数的绝对值最大, 则所以 解得5≤r≤6,则r=5,6,所以展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,且第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最小的项为T6=(-1)5 ·25·=-1 792. 1.在系数符号相同的前提下,求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小,设展开式各项的系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,因此在系数均为正值的前提下,求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果. 2.当各项系数正负相间时,求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组;求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 思维提升 5.已知在(a>0)的展开式中,第4项与第6项的二项式系数相等. (1)求n的值; (2) 若其展开式中x4项的系数为-1 792,求其展开式中系数的绝对值最大的项. 跟踪训练 解:(1)由题意可得=,所以n=8. (2)展开式的通项为Tk+1=(ax)8-k=(-1)ka8-k, 令8-k=4,则k=3,所以展开式中x4项的系数为-56a5=-1 792,得a5=32, 又a>0,所以a=2,所以二项式的展开式的通项公式为Tk+1=·28-k·(-1)k, 设第r+1项为系数绝对值最大的项, 则 解得2≤r≤3,又r∈N且r≤8, 所以r=2或r=3, 所以展开式中系数的绝对值最大的项为1 792和-1 792x4. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知(x-1)(x+2)n展开式中x2项的系数为-48,则n=(　　) A.4　　　　　　　　　 B.5 C.6 D.7 解析:由题意得(x-1)(x+2)n展开式中x2项的系数为2n-1-2n-2,故有 2n-1-2n-2=-48,代入选项,n=6满足题意. C 2.233除以9的余数是(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 解析:233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-.因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8. A 3.(1-2x+y)6的展开式中含y2x3的项的系数为(　　) A.-480 B.-60 C.20 D.60 解析:由题意,含y2x3的项在(1-2x+y)6相乘的6项里需要有1项乘的1,剩下5项里有3项乘的-2x,最后2项乘的y,故含y2x3的项为×11××(-2x)3 ××y2=-480x3y2. A 4. (x+y)(x-2y)5的展开式中x4y2的系数为　　　　.(用数字作答)  解析:因为(x+y)(x-2y)5=(x+y)(x5-10x4y+40x3y2-80x2y3+80xy4-32y5), 所以x4y2的系数为40-10=30. 30 微点突破3　杨辉三角的性质与应用 早在南宋时期,我国数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书里,就记载着下表: 这个表称杨辉三角,它比欧洲发现此表的法国数学家帕斯卡至少要早五百年,由此可见,我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.通过观察杨辉三角数表你能发现它有哪些基本规律?它反映了组合数的哪些基本性质? 杨辉三角用组合数形式数表为 由观察杨辉三角知这张数表有如下基本性质(n,m∈N,n≥m,n≠0): (1)横行中与首末两端等距离的两个数相等,即=; (2)除1以外的任何一个数都等于它肩上的两个数之和,即=+; (3)任何一横行所有数之和等于2的行数的乘方,即+++…+=2n; 以上三个性质就是组合数的性质一、性质二和二项式系数总和公式. (4)同一行上的奇、偶数位上各数之和分别相等,即+++…=+++…; (5)n阶杨辉三角共有1+2+3+…+n+(n+1)=个数; (6)n阶杨辉三角所有数之和为20+21+22+…+2n=2n+1-1; (7)杨辉三角第1,3,7,15,…行,即第2k-1行(k是正整数)各个数字都是奇数,即(k=0,1,2,…,2n-1,n∈N*)是奇数; (8)杨辉三角中斜线指示数字和组成一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…. 此数列{an}:a1=1,a2=1,且an+2=an+1+an(n∈N*). [例1]　(多选)如图是一个11阶杨辉三角(　　) A.第23行中从右到左的第22个数是263 B.第20行中从左到右的第4个数是1 040 C.若第n行中从左到右第14与第15个数 的比为,则n=34 D.n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和为2n+1-1 CD [解析]　对于选项A,根据图象及二项式定理知,第23行中从右到左的第22个数是==253,所以选项A错误; 对于选项B,根据图象及二项式定理知,第20行中从左到右的第4个数是==1 140,所以选项B错误; 对于选项C,由题知=,得到=, 整理得到=,解得n=34,所以选项 C正确; 对于选项D,由二项式系数的性质知,第n行各数的和为2n, 所以n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和为20+21+22+…+2n==2n+1-1,所以选项D正确. [例2]　如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数,得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”,莱布尼茨由它得到了很多定理,甚至影响到了微积分的创立,请问“莱布尼茨三角形”第10行第5个数是 　　　　.  [解析]　由题意知,将杨辉三角中从第1行开始的每一个数都换成分数, 就得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”, 观察表中数字,题中要求第10行第5个数, 所以n=10,r=4(表中每一行的第1个数是0, 所以第5个数是4), 所以第10行第5个数为==. 1.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角,这是中国数学史上的一个伟大成就.在杨辉三角中,第n行的所有数字之和为2n-1(n=1,2,…),若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,….则此数列的前15项之和为(　　) 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 …… 跟踪训练 A.114　　　　　　　　　 B.116 C.124 D.126 答案:A 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 …… 解析:根据题意可知构成的新数列的前15项分别为杨辉三角的第三层到第七层除去1之外的所有数构成的, 除第一行有一个1以外,其余每行都有两个1, 又第n行的所有数字之和为2n-1, 所以构成的新数列前15项之和为20+21+22+…+26-2×6-1=-13=114. 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 …… 2.当n∈N时,将三项式展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”: (x2+x+1)0=1 第0行 (x2+x+1)1=x2+x+1 第1行 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 第2行 (x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1 第3行 (x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1 第4行 　　　　　　　　　　　　　　　… … 若在(1+ax)的展开式中,x7的系数为75,则实数a的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 A (x2+x+1)0=1 第0行 (x2+x+1)1=x2+x+1 第1行 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 第2行 (x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1 第3行 (x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1 第4行 　　　　　　　　　　　　　　　… … 解析:依题意, “广义杨辉三角形”构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的,缺少的数计为0)之和, 所以“广义杨辉三角形”的第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1, 在的展开式中,x6的系数为45,x7的系数为30, (1+ax)的展开式中,x7的系数为30+45a=75,解得a=1. (x2+x+1)0=1 第0行 (x2+x+1)1=x2+x+1 第1行 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 第2行 (x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1 第3行 (x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1 第4行 　　　　　　　　　　　　　　　… … 3.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的,以下关于杨辉三角的叙述正确的是(　　) 第1行 1　1 第2行 1　2　1 第3行 1　3　3　 1 第4行 1　4　6　 4　 1 第5行 1　5　10　10　5　1 第6行 1　6　15　20　15　6　1 …… …… A.第9行中从左到右第6个数是126 B.+= C.++…+=2n D.+++…+=330 答案:ABD 解析:对于A,第9行中从左到右第6个数是=126,A正确; 对于B,+=+ ===,B正确; 对于C,由二项式系数的性质,得+++…+=2n,C错误; 对于D,+++…+=+++…+=++…+ =…=+==330,D正确. 4.(多选)杨辉三角形又称贾宪三角形,因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名,它的排列规律如图所示:在第一行的中间写下数字1;在第二行写下两个1,和第一行的1形成三角形;随后的每一行,第一个位置和最后一个位置的数都是1,其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是(　　) 第一行 1 第二行 1　1 第三行 1　2　1 第四行 1　3　3　1 第五行 1　4　6　4　1 第六行 1　5　10　10　5　1 …… A.第n行的第r(r≤n)个位置的数是 B.若从杨辉三角形的第三行起,每行第3个位置的数依次组织一个新的数列,则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C.70在杨辉三角中共出现了3次 D.210在杨辉三角中共出现了6次 答案:BCD 第一行 1 第二行 1　1 第三行 1　2　1 第四行 1　3　3　1 第五行 1　4　6　4　1 第六行 1　5　10　10　5　1 …… 解析:对于A选项,第n行的第r(r≤n)个位置的数是,故A错误; 对于B选项,由题an+1=an+n+1,a1=1, ∴数列的奇数项与前一项奇偶性相反,偶数项与前一项奇偶性相同, ∵a1=1为奇数, ∴a2为奇数,a3为偶数,a4为偶数,a5为奇数,a5是奇数项且为奇数,这与a1情况一致,从而奇偶性产生循环,B正确; 第一行 1 第二行 1　1 第三行 1　2　1 第四行 1　3　3　1 第五行 1　4　6　4　1 第六行 1　5　10　10　5　1 …… 由于=,不妨设m≤,令=70, 当m=1时,n=70,∴==70, 当m=2时,==70,无正整数解, 当m=3时,=,当n=8时, =56<70,当n=9时,=84>70,而递增,从而无解; 当m=4时,=,当n=8时,=70, 第一行 1 第二行 1　1 第三行 1　2　1 第四行 1　3　3　1 第五行 1　4　6　4　1 第六行 1　5　10　10　5　1 …… 由于是第9行中最中间的数,杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70, ∴当5≤m≤时,≠70,70共出现3次,C正确; 类似于前==210,==210,==210, ∴以,为顶点的下方三角形区域中的数都大于210,D正确. 第一行 1 第二行 1　1 第三行 1　2　1 第四行 1　3　3　1 第五行 1　4　6　4　1 第六行 1　5　10　10　5　1 …… 5.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…记这个数列前n项和为S(n),则S(31)= 　　　　.  951 解析:由“杨辉三角”性质,得: S(31)=++++…+++ =(++…+)+(++…+) =(+++…+)+(++…+)-1=+-1=951. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A.25　　　　　　　　 B.35 C.45 D.(x+3)5 解析:由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5,则展开式的通项为=(x+3yk,当k=0时,不含y的项,T1=(x+3)5=(x+3)5,令x=1,可得不含y的各项系数之和为45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 2.(1+x)7展开式中x3项的系数为(　　) A.42 B.35 C.7 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:(1+x)7的展开式通项为Tr+1=·xr(r=0,1,2,…,7), 因为(1+x)7=(1+x)7+x-3(1+x)7, 在·xr(r=0,1,2,…,7)中,令r=3,可得x3项的系数为=35; 在x-3·xk=·xk-3(k=0,1,2,…,7)中,令k-3=3,得k=6,可得x3项的系数为=7. 所以,(1+x)7展开式中x3项的系数为35+7=42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.在(3x+y-2z)8的展开式中,形如x3ymzn(m,n∈N)的所有项的系数之和是(　　) A.256 B.-256 C.1 512 D.-1 512 解析:形如x3ymzn(m,n∈N)的所有项,即(3x)3(y-2z)5展开式中所有项, 令x=y=z=1,得x3ymzn(m,n∈N)的所有项的系数之和是×(3)3×(-1)5= -1 512. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 4.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是(　　) A.15x2 B.35x3 C.21x3 D.20x3 解析:在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中,令x=0,得a0=1,令x=1,得2n=a0+a1+a2+…+an=1+63=64,∴n=6;∴展开式中系数最大的项为x3=20x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 5.当n为正奇数时,7n+·7n-1+·+…+·7被9除所得的余数是　　　　.  解析:原式=(7+1)n-=8n-1=(9-1)n-1=9n-·9n-1+·-…+· 9(-1)n-1+(-1)n-1,除最后两项外,其余各项都是9的倍数.因为n为正奇数,所以(-1)n-1=-2=-9+7,所以余数为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 14 6.已知(x-1)3(x+a)2(a∈Z)的展开式中x的系数为5,则a=　　　　.  解析:因为(x-1)3(x+a)2=(x3-3x2+3x-1)(x2+2ax+a2), 所以展开式中含x的项为3x×a2与-1×2ax的合并项,即展开式中含x系数等于3a2-2a=5,解得a=-1或a=,因为a∈Z,所以a=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 14 7.在二项式的展开式中,第3项和第4项的二项式系数之比为. (1)求n的值及展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项是第几项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)二项式的展开式的通项为= xn-k=, 因为第3项和第4项的二项式系数之比为, 所以=,整理得10=3,解得n=12, 所以Tk+1=, 令12-k=0,得k=9, 所以常数项为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设展开式中系数最大的项是第k+1项, 则 即解得≤k≤, 因为k∈N*,所以k=4, 所以展开式中系数最大的项是第5项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.在①各项系数之和为-512;②常数项为-17;③各项系数的绝对值之和为1 536这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题. 在(1+x)n的展开式中,　　　　.  (1)求n; (2)证明:43n+5能被6整除. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)解:选条件①各项系数之和为-512,取x=1,则(-1)·2n=-512,解得n=9; 选条件②常数项为-17,由(1+x)n=(1+x)n-(1+x)n,则常数项为-2=-17,解得n=9; 选条件③各项系数的绝对值之和为1 536, 即(1+x)n的各项系数之和为1 536,取x=1, 则3·2n=1 536,解得n=9. (2)证明:439+5=(42+1)9+5=429+428+…+421+1+5 =42(428+427+…+)+6=6[7(428+427+…+)+1], 所以43n+5能被6整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 解析:由题意可得n=8,所以二项展开式的通项为 Tk+1=x8-k=(-1)k. 要使该项系数(-1)k最小,k为奇数,取1,3,5,7, 经过检验,当k=3或5时,系数(-1)k最小,即第4项系数等于第6项系数,且最小,所以展开式中系数最小的项的系数为-56. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选)(x-1)(x+1)5的展开式中(　 　) A.常数项为1 B.x2的系数为-5 C.x3的系数为0 D.展开式共有6项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 14 解析:(x-1)(x+1)5=x(x+1)5-(x+1)5, 对于A,令x=0可得常数项为(-1)×15=-1,故A错误; 对于B,x2的系数为×14-×13=-5,故B正确; 对于C,x3的系数为×13-×12=0,故C正确; 对于D,设(x-1)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0=-1,a2= -5,a3=0,又x的系数为15-×14=-4,x4的系数为×12-×11=5, x5的系数为×11-×10=4,x6的系数为=1. 故(x-1)(x+1)5=-1-4x-5x2+5x4+4x5+x6共6项,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知的展开式中常数项为80,则a=　　　　.  解析:由展开式的通项公式为Tr+1=(2x)5-r=25-rx5-2r, 令5-2r=0,无整数解;令5-2r=-1,解得r=3,T4=; 令5-2r=1,解得r=2,T3=80x;∴展开式中的常数项为40-80a=80,解得a=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 - 14 12.已知实数x不为零,展开式中只有第4项的二项式系数最大,则(x2+1)(x-1)n的展开式中x4项的系数为　　　　.  解析:因为展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以n=6, 由组合知识可知,展开式中含x4项为x2x2(-1)4+1·x4(-1)2= 15x4+15x4=30x4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知f(x)==a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16. (1)求an(n=0,1,2,…,16)的最大值; (2)求f(5)+5被13除的余数. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为=[2+(x+1)2]8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a16(x+1)16, 所以Tr+1=28-r[(x+1)2]r=28-r(x+1)2r,r=0,1,2,…,8, 所以a1=a3=…=a15=0,a2n=28-n,n=0,1,2,…,8, 令解得2≤n≤3, 所以an的最大值为a4=a6=1 792. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)因为f(5)+5=388+5=(39-1)8+5 =398+397(-1)+…+39(-1)7+1+5 =398+397(-1)+…+39(-1)7+6, 所以f(5)+5被13除的余数为6. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14.已知m,n是正整数,(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为15. (1)求展开式中x2的系数的最小值; (2)已知展开式中的二项式系数的最大值为a,项的系数的最大值为b,求a+b. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)根据题意得+=15,即m+n=15,所以n=15-m, 所以展开式中的x2的系数为+=+==[m2+(15-m)2]-=m2-15m+105=+, 故当m=7或m=8时,x2的系数的最小值为49. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知=7,则=(2+3x)7,a===35, 因为(2+3x)7的展开式的通项为Tr+1=·27-r·(3x)r=27-r·3rxr, 令即因为r∈N*,所以r=4. 因为·23·34=22 680>37>27成立,所以b=22 680, 所以a+b=35+22 680=22 715. 13 14 $$