6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 第六章　计数原理 学习单元2 [学习目标]　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.　2.掌握“赋值法”并会灵活应用. 知识点1　二项式系数的对称性、增减性与最大值 内容索引 知识点2　各二项式系数的和 课时作业 巩固提升 知识点3　二项展开式的各项系数的和 课堂达标·素养提升 3 知识点1　二项式系数的对称性、增减性与最大值 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数　　　　,即=.  2.增减性与最大值 (1)若n为奇数,当k≤时,　　　 ,此时递增,当k≥时, 　　　 ,此时递减;若n为偶数,当k≤时,　　 ,此时递增;当k≥时,　　　 ,此时递减. (2)当n是偶数时,中间的一项　　　　取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与　　　　,且同时取得　　　　.  相等 < > < > 相等 最大值 [例1]　已知在(x-2)n(n∈N*)的展开式中,第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项. [分析]　根据二项式系数的对称性与最大值即可. [解]　(1)依题意得,=,解得n=8. (2)因为n=8,展开式中共有9项,根据二项式系数的性质,可得第5项的二项式系数最大,于是展开式中二项式系数最大的项为x4(-2)4=1 120x4. 求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论,n为奇数时中间两项的二项式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 思维提升 1.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(　　) A.5　　　　　　　　　　 B.6 C.7 D.8 跟踪训练 B 解析:根据二项式系数的性质,知(x+y)2m的展开式中二项式系数的最大值为=a,而(x+y)2m+1的展开式中二项式系数的最大值为=b. 又13a=7b,所以13=7, 则13×=7×,解得m=6. 2.已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,则(2x-1)n的展开式中x3的系数为(　　) A.80 B.40 C.-40 D.-80 A 解析:由题意=,所以3+7=2n,解得n=5,则(2x-1)5的展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k,由5-k=3,得k=2,所以x3的系数为(-1)2 ××23=80. 知识点2　各二项式系数的和 1.(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即:++…+=　　　　.  2.在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,都等于　　　　,即:+++…=+++…=　　　　.  2n 2n-1 2n-1 [例2]　已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x项的系数为112.则m+n=　　　　;展开式中奇数项的二项式系数的和为　　　　.  [分析]　由题意结合二项式系数和的性质可得2n=256,即n=8,写出二项式展开式的通项,再根据已知条件即可得解. 10 128 [解析]　由题意可得2n=256,解得n=8.Tr+1=mr,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去),故m,n的值分别为2,8.则m+n=10. 展开式中奇数项的二项式系数之和为++++==128. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 思维提升 3.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(　　) A.512　　　　　　　　 B.210 C.211 D.212 跟踪训练 A 解析:∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,解得n=10,各二项式系数之和为210,∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等,∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29=512. 4.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-160,则实数m=　　　　.  解析:由题意得,2n=64,解得n=6,而(x-my)6的通项公式为x6-k(-my)k, 0≤k≤6,k∈N,所以x3y3的系数为(-m)3=-160,解得m=2. 2 知识点3　二项展开式的各项系数的和 [例3]　已知(3-2x)11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求: (1)a1+a2+…+a11; (2)|a1|+|a2|+…+|a11|; (3)a1+2a2+…+11a11. [分析]　(1)利用赋值法即可得解; (2)先由二项式定理判断系数的正负情况,再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差,从而得解; (3)利用导数及赋值法即可得解. [解]　(1)因为(3-2x)11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11, 所以令x=0,得(3-2×0)11=a0+a1×0+a2×02+…+a11×011,即a0=311. 令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=(3-2×1)11=1, 所以a1+a2+…+a11=1-311. (2)因为(3-2x)11展开式的通项为Tk+1=311-k·(-2x)k=(-2)k311-kxk, 所以a0,a2,…,a10>0,a1,a3,…,a11<0, 故|a1|+|a2|+…+|a11|=(a2+a4+…+a10)-(a1+a3+…+a11). 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a11=(3+2)11=511,即(a0+a2+a4+…+a10)-(a1+a3+…+a11)=511. 又因为a0=311, 所以|a1|+|a2|+…+|a11|=(a2+a4+…+a10)-(a1+a3+…+a11)=511-311. (3)令f(x)=(3-2x)11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11, 则f'(x)=11(3-2x)10×(-2)=-22(3-2x)10,且f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+11a11x10. 令x=1,则f'(1)=-22(3-2×1)10=-22,且f'(1)=a1+2a2+3a3+…+11a11, 所以a1+2a2+…+11a11=-22. 求展开式的各项系数之和常用赋值法 1.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 2.若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 思维提升 5.设(1+ax)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,已知a3=-280. (1)求实数a的值; (2)求a1+a2+a3+…+a7的值; (3)求a0-+-+…-的值. 跟踪训练 解:(1)根据二项式定理可得a3=a3=35a3=-280, ∴a3=-8,解得a=-2. (2)由(1)知,(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=0得a0=1, 再令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=(-1)7=-1, ∴a1+a2+a3+…+a7=-1-1=-2. (3)在式子(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中, 令x=-,可得a0-+-+…-==(1+1)7=27=128. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A.第15项　　　　　　　 B.第16项 C.第17项 D.第18项 解析:第6项的二项式系数为,又=,所以第16项符合条件. B 2.在的展开式中,各项系数之和为A,二项式系数之和为B.若A+B=72,则n=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意知各项系数之和为(1+3)n=4n,二项式系数之和为2n.因为A+B=72,所以4n+2n=72,所以2n=8,所以n=3. A 3.已知=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中a0,a1,a2,…,a6是常数,则-的值为　　　　.  64 解析:=a0+a1x+a2x2+…+a6x6, 当x=1时,=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6, 当x=-1时,=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6, -=(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6)==(-2)6=64. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在(3-5x)7的展开式中,二项式系数的最大值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:(3-5x)7的展开式中共有8项,中间的两项为第4项和第5项,这两项的二项式系数相等且最大,为=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为(　　) A.-160　　　B.-20　　　C.20　　　D.160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:因为(n∈N*)的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知:展开式共有7项,则n=6,则展开式的通项为Tr+1=x6-r·=(-2)rx6-2r,展开式中常数项,必有6-2r=0,即r=3, 所以展开式中常数项为T4=(-2)3=-8×20=-160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在(n∈N*)的展开式中,所有的二项式系数之和为32,则所有项系数和为(　　) A.32 B.-32 C.0 D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:依题,++…+=2n=32,解得n=5,则二项式的所有项系数之和为=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在(mx+)n的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为(　　) A.40 B.30 C.20 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:(mx+)n的展开式中,各二项式系数和为2n=32,∴n=5. 令x=1,可得各项系数的和为(m+1)5=243=35, ∴m=2, ∴(mx+)n=(2x+)5,其展开式的通项为Tr+1=·25-r·.令5-=3,可得r=4,故展开式中x3的系数为×2=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7,则a0+a1+a2+…+a6的值为　　　　.  解析:令x=0,得a0+a1+a2+…+a7=27=128,又(2-x)7=[3-(x+1)]7, 则a7(1+x)7=·30·[-(x+1)]7,解得a7=-1. 故a0+a1+a2+…+a6=128-a7=128+1=129. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 129 6.设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a0=　　　　;当a8=-a9时, n=　　　　.  解析:令x=0可得:1=a0,(1-x)n的通项为:Tr+1=(-x)r=(-1)rxr, 令r=8可得a8=(-1)8=,令r=9可得a9=(-1)9=-, 所以由a8=-a9可得=,所以n=17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 17 7.在二项式的展开式中,若第4项的系数与第7项的系数比为-1∶14,求: (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和; (2)二项展开式中的各项的系数之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:二项式的展开式的通项为 Tk+1=()n-k=(-2)k, ∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14,∴n=10. (1)++…+=210=1 024. (2)令x=1,得各项系数之和为(-1)10=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知二项式(a<0且a为常数)的展开式中第7项是常数. (1)求n的值; (2)若该二项式展开式中各项系数之和为1 024,求展开式中的系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)二项式的展开式中第7项为 T7=·a6x-2=a6,由题意得=0,解得n=10. (2)令x=1,得(1+a)10=1 024=210,所以1+a=-2或1+a=2, 解得a=-3,或a=1(舍去).该二项式展开式通项为 Tr+1=·(-3)r=(-3)r,令=,解得r=3, 故展开式中的系数为(-3)3=-3 240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.(多选)的展开式中,下列结论正确的是(　　) A.二项式系数最大项为第五项 B.各项系数和为0 C.含x4项的系数为4 D.所有项二项式系数和为16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:对于A,因为展开式一共五项,所以二项式系数最大项为第三项,故A错误; 对于B,令x=1时,=0,所以各系数的和为0,故B正确; 对于C,因为的展开通项公式为Tr+1=x4-r=(-1)rx4-2r(r=0,1,2,3,4), 令4-2r=4,得r=0,故含x4项的系数为·(-1)0=1,故C错误; 对于D,所有项的二项式的系数和为24=16,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则下列结论正确的是(　 　) A.a3=-80 B.a4≥|ai|(i=0,1,…,5) C.|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243 D.+++=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:在(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5中,a0==1,a1=×(-2)=-10, a2=×(-2)2=40,a3=×(-2)3=-80,a4=×(-2)4=80,a5=×(-2)5=-32, 对于A,a3=-80,A正确; 对于B,当i=0,1,…,5时,|ai|max=80≤a4,B正确; 对于C,|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=10+40+80+80+32=242,C错误; 对于D,+++=+++=0,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知的展开式中,含x项的系数为k,(1-kx)10 =a0+a1x+a2x2+…+a10x10.则a1+a2+…+a10=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 023 解析:的展开式的通项公式为Tr+1==·(-1)r·x10-3r,r=0,1,2,…5, 令r=3,则可得含x项的系数k=××(-1)3=-1,则(1-kx)10=(1+x)10, 对(1+x)10,令x=0,解得a0=1;对(1+x)10,令x=1,解得a0+a1+…+a10=210=1 024, 故a1+a2+…+a10=1 024-1=1 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n. (1)求a2的值; (2)求a1+a2+a3+…+an的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,可得2n=512=29,解得n=9, 又由(2x+3)9=[2(x+1)+1]9,可得a2=22=·22=×22=144. (2)令x+1=0,即x=-1,可得a0=[2×(-1)+3]9=1, 令x+1=1,即x=0,可得a0+a1+a2+a3+…+a9=39, 所以a1+a2+a3+…+a9=39-1=19 682. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.在①只有第6项的二项式系数最大;②第4项与第8项的二项式系数相等;③所有二项式系数的和为210,这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题. 已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),若(2x-1)n的展开式中, 　　　　.  (1)求n的值; (2)求x2的系数; (3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)选择条件①,只有第6项的二项式系数最大,则(2x-1)n的展开式共11项,即n+1=11,所以n=10. 选择条件②,第4项与第8项的二项式系数相等,则=,解得n=10, 所以n=10. 选择条件③,所有二项式系数的和为210,则2n=210,解得n=10,所以n=10. (2)由(1)知,(2x-1)10的展开式中x2项为: (2x)2(-1)8=180x2, 所以a2=180. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)由(1)知,(2x-1)10的展开式中,当x=0时,a0=1, 当x=-1时,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(-3)10=310, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=310-1. 13 $$