6.3.1 二项式定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 第六章　计数原理 学习单元2 [学习目标]　1.能用计数原理证明二项式定理.　2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知识点1　二项式定理 内容索引 知识点2　二项展开式的通项公式 课时作业 巩固提升 课堂达标·素养提升 3 知识点1　二项式定理 (a+b)n=　　　　　　　　　 　　　,n∈N*.  1.这个公式叫做二项式定理. 2.展开式:右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,展开式中一共有 　　　　项.  3.二项式系数:各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn n+1 微提醒: 1.每一项中a与b的指数和为n. 2.各项中a的指数从n起依次减小1,到0为止,各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止. 3.a与b的位置不能交换. [例1]　(1)求的展开式; (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). [分析]　(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. (2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解. [解]　(1)法一:直接利用二项式定理展开并化简:=(2)4+(2)3·+·(2)2·+(2)1·+·(2)0·=16x2+32x+24++. 法二:==(2x+1)4=· [(2x)4·10+·(2x)3·11+·(2x)2·12+(2x)·13+·(2x)0·14]=(16x4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24++. (2)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开.对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等.如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n的形式. 思维提升 1.(1)求(x+2y)4的展开式; (2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解:(1)(x+2y)4=x4+x3(2y)+x2(2y)2+x(2y)3+(2y)4=x4+8x3y+ 24x2y2+32xy3+16y4. (2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k +…+(-1)n==xn. 跟踪训练 知识点2　二项展开式的通项公式 二项展开式的通项:Tk+1=　　　　　　　 　.  1.它可以表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随之确定. 2.公式表示的是第　　　　项,而不是第k项.  3.公式中a,b的指数和为　　　　.  an-kbk(k=0,1,2,…,n) k+1 n 角度1　二项式系数与项的系数 [例2]　在二项式的展开式中, 求:(1)第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)x3的系数. [分析]　利用通项即可. [解]　(1)由已知得,二项展开式的通项为 Tk+1=x9-k=(-1)kx9-2k, ∴T6=(-1)5x9-2×5=-126x-1. ∴第6项的二项式系数为=126, 第6项的系数为-126. (2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则由(1)得9-2k=3,即k=3, ∴展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84. 角度2　展开式中的特定项 [例3]　在二项式的展开式中,求: (1)第4项;(2)常数项;(3)有理项;(4)中间项. [分析]　先利用展开式的通项公式,然后求出对应的项. [解]　的展开式的通项为Tk+1=x12-k·=(-1)k . (1)令k=3,则T4=(-1)3=-220x8. (2)令12-k=0,解得k=9,所以常数项为(-1)9=-220. (3)当k=0,3,6,9,12时,Tk+1是有理项,分别为T1=x12,T4=-x8=-220x8, T7=x4=924x4,T10=-=-220,T13=x-4=. (4)因为n=12,所以展开项共有13项,所以中间项为第7项. 令k=6,得T7=(-1)6=924x4. 1.求二项展开式特定项的步骤 思维提升 2.正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2.在的展开式中,求: (1)第3项的二项式系数及系数; (2)含x2的项; (3)常数项. 跟踪训练 解:(1)在的展开式中,第3项的二项式系数为=15, 第3项为T3=(2)4·=15×24x=240x, 所以第3项的二项式系数为15,系数为240. (2)二项式展开式的通项是Tr+1== (-1)r·26-rx3-r,r∈N,r ≤6, 由3-r=2,得r=1,T2=(-1)1·25x2=-192x2, 所以含x2的项是-192x2. (3)由(2)知,当3-r=0,得r=3,则T4=(-1)3·23=-160, 所以常数项是-160. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(2-x)6的展开式中,x3的系数是(　　) A.160　　　　　　　　 B.-160 C.220 D.-220 解析:二项式(2-x)6的展开式中,x3系数为×23×(-1)3=-×8=-160. B 2.的展开式中含x2的项为(　　) A.×92×83 B.×9×84 C.×94×8 D.×93×82 解析:的通项Tr+1=(9x)5-r=·95-r·8r·, 0≤r≤5,r∈N. 令5-r=2,得r=2,所以展开式中x2的项为T2+1=×93×82x2. D 3.-2+4-8+…+(-2)n=(　　) A.(-1)n-1 B.(-1)n C.3n D.3n-1 解析:-2+4-8+…+(-2)n=-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1. A 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.的展开式共有11项,则n等于(　　) A.9　　　　　　　　　 B.10 C.11 D.8 解析:的展开式共有n+1项,所以n+1=11,故n=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 2.的展开式中的常数项是(　　) A.-250 B.-240 C.250 D.240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:由题意得二项式的通项公式为Tr+1=·(2x)6-r·=·26-r·x6-r· (-1)r·x-2r =·x6-3r·26-r·(-1)r,r=0,1,2,…,6,令6-3r=0,即r=2,则常数项为T3=·24· (-1)2=240. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中,x的系数为(　　) A.-50 B.-35 C.-24 D.-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中,含x的项是4个因式中任取1个因式选择x,另外3个因式中选择常数项相乘积的和,则(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中,含x的项为:(-1)×(-2)×(-3)x+(-1)×(-2)×(-4)x+(-1)×(-3)×(-4)x+(-2)×(-3)×(-4)x=-50x, 所以x的系数为-50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选)对于(n∈N*),以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 解析:设(n∈N*)展开式的通项为Tr+1,则Tr+1=(x3)r=x4r-n. 不妨令n=4,则r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误; 令n=3,则r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.在(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为　　　　.  解析:(2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-rar=25-rarx5-r.因为x2的系数与x3的系数相同,所以22a3=23a2,即4a3=8a2.又a≠0,所以a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 6.的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等,则的展开式中常数项为　　　　.(用数字作答)  解析:因为的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等, 所以=,解得n=9,所以二项式的展开式的通项公式为Tk+1=x2k-18xk=x3k-18,k=0,1,…,9, 令3k-18=0得k=6,所以的展开式中常数项为===84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 84 7.已知在的展开式中,第4项为常数项. (1)求n的值; (2)求含x2项的系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)的展开式通项为Tr+1=··(-3)r·=(-3)r··. 因为第4项为常数项,所以r=3时,=0,解得n=6. (2)由(1)可知n=6, 令=2,解得r=0. 所以含x2项的系数为(-3)0·=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.已知的展开式中含的项的系数为30,则a=(　　) A. B.- C.6 D.-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:展开式的通项为Tk+1=()5-k=(-a)k.由=,得k=1,即-a=30,所以a=-6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知=a+b(a,b均为有理数),则a的值为(　　) A.90 B.91 C.98 D.99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:因为的展开式的通项公式为Tk+1=·,=a+b, 所以a=+×+×+×=99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.若(n∈N*)的展开式中含有x2项,则n的值可以是 　 　　　(写出满足条件的一个n值即可).  解析:的展开式的第r+1项为Tr+1=··=(-1)r··. 当=2时,n=3r+4. 故可取r=1,此时n=7(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7(答案不唯一) 11. 的展开式中的系数为　　　　.  解析:的展开式通项为==26-r(-1)rx4-ryr-4, (0≤r≤6,r∈N),由题意令r-4=1,解得r=5,所以的展开式中的系数为26-5(-1)5=-6×2=-12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -12 12.请从下列两个条件中任选一个,补充在下面已知条件中的横线上,并解答问题. ①第2项与第3项的二项式系数之比是;②第2项与第3项的系数之比的绝对值为; 已知在(n∈N*)的展开式中,　　　　.  (1)求展开式中的常数项,并指出是第几项; (2)求展开式中的所有有理项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)选①,=,则n2-6n=0,所以n=6, 则Tr+1=(2x)6-r=(-1)r26-r(0≤r≤6,r∈N), 令6-r=0,得r=4, 即:T5=22x0=60为常数项,所以常数项为60,为第5项. 选②,T2=(2x)n-1=-2n-1, T3=(2x)n-2=2n-2xn-3,则=, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即=⇒n-1=5,∴n=6, Tr+1=(2x)6-r=(-1)r26-r(0≤r≤6,r∈N), 令6-r=0,得r=4, 即T5=22x0=60为常数项,所以常数项为60,为第5项. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知,Tr+1=(-1)r26-r(0≤r≤6,r∈N), 6-r∈Z,则r=0,2,4,6, r=0,T1=26x6=64x6,r=2,T3=24×x3=240x3, r=4,T5=22×x0=60,r=6,T7=20×x-3=x-3, 故有理项为64x6,240x3,60,x-3. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*). (1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项; (2)令h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4. (1+x)3的展开式的通项为xr,(1+2x)4的展开式的通项为(2x)k, f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2. (2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n. 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,所以+2=12,即m+2n=12, 所以m=12-2n. x2的系数为+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1) =4n2-25n+66=4+,n∈N*,所以当n=3,m=6时, 含x2的项的系数取得最小值. 13 $$