6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

6.2　排列与组合 6.2.3　组合 6.2.4　组合数 第2课时　组合的综合应用 第六章　计数原理 学习单元1 [学习目标]　1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题. 　2.能用排列与组合解决简单的实际问题. 知识点1　有限制条件的组合问题 内容索引 知识点2　与几何有关的组合应用题 课时作业 巩固提升 知识点3　分组、分配问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　有限制条件的组合问题 [例1]　课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法? (1)至少有一名队长当选;(2)至多有两名女生当选;(3)既要有队长当选,又要有女生当选. [解]　(1)至少有一名队长当选的种数为-=825种. (2)至多有2名女生当选含有三类:有2名女生当选;只有1名女生当选;没有女生当选, 所以共有++=966种选法. (3)分两类:第一类:女队长当选,有=495种选法, 第二类:女队长没当选,有+++=295种选法, 所以共有495+295=790种选法. 有限制条件的抽(选)取问题 1.“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数. 2.“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,找准对立面,确保不重不漏. 思维提升 1.某兴趣小组有男生12名,女生8名,现选派5名参加知识竞赛. (1)某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法? (4)兴趣小组中至少有1名男生和1名女生,有多少种选法? 跟踪训练 解:(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816种不同选法. (2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8 568种不同选法. (3)分两类:甲、乙中有1人参加,则有种不同选法;甲、乙都参加,则有种不同选法,故共有+=6 936种不同选法. (4)法一(直接法):至少有1名男生和1名女生的选法可分4类: 1男4女;2男3女;3男2女;4男1女. 所以共有+++=14 656种不同选法. 法二(间接法):从无限制条件的选法总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数所得的结果即为所求,即共有-(+)=14 656种不同选法. 知识点2　与几何有关的组合应用题 [例2]　四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,有多少种不同的取法? [解]　如图所示,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外都有5个点,从中取出3个点必与点A共面,共有3种取法; 含顶点A的三条棱上,除点A外都有2个点,它们与所对棱的中点共面,共有3种取法. 根据分类加法计数原理,与顶点A共面的3个点的取法有3+3=33(种). 1.解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理. 2.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法. 思维提升 2.如图,用点A,B,C,D,E,F,G表示某一时期的北斗七星.其中B,D,E,F四点看作共线,其他任何三点均不共线,过这七个点中任意两个点作直线,所得直线的条数为(　　) A.18　　　　　　　　　 B.17 C.16 D.15 跟踪训练 C 解析:根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有=21种, 其中B,D,E,F四点中任意选两点只能作一条直线,有-1=6-1=5种重复, 所以所得直线的条数为-(-1)=16. 知识点3　分组、分配问题 解决分组与分配问题的关键是区分是否与顺序有关,一般按先分组后分配的原则计算. 1.分组问题 (1)平均分组. (2)不平均分组: 一般地,几个不同的元素分成p组,各组的元素的数目分别为m1,m2,…,mp,其中k组元素数目相等,那么分组方法有种. 2.分配问题 (1)相同元素的分配问题. (2)不同元素的分配问题. (3)有限制条件的分配问题. [例3]　(1)6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人两本,有多少种方法? (2)6本不同的书,分为三份,一份一本,一份两本,一份三本,有多少种方法? (3)6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本,有多少种不同的方法? (4)6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种不同的方法? [分析]　(1)用分步乘法计数原理,先从6本书中选2本给甲,再从其余的4本中选2本给乙,最后从余下的2本书中选2本给丙即可. (2)为不平均分组问题,用分步乘法计数原理,先从6本书中选1本为一份,再从其余的5本中选2本为一份,最后三本为一份. (3)有明确的指向,为先分组再分配问题,在(2)的基础上再进行全排列. (4)综合应用了两个计数原理和组合知识解题,解题思路是“先分类,后分步”. [解]　(1)先从6本书中选2本给甲,有种方法;再从其余的4本中选2本给乙,有种方法;最后从余下的2本书中选2本给丙,有种方法,所以分给甲、乙、丙三人,每人2本,共有=90种方法. (2)=60种方法. (3)=360种方法. (4)可以分为三类情况:①“2,2,2型”,有=90种方法;②“1,2,3型”,有=360种方法;③“1,1,4型”,有=90种方法,所以一共有90+360+90=540种方法. “分组”与“分配”问题的解法 1.分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种: (1)完全均匀分组,每组的元素个数均相等,均匀分成n组,最后必须除以n!; (2)部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!; (3)完全非均匀分组,分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数. 2.分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配. 思维提升 3.某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛,分为数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛,该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛,且每个学科至少有一名学生参加. (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案? (2)若甲同学主攻数学方向,必须选择数学竞赛,乙同学主攻物理方向,必须选择物理竞赛,则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案? 跟踪训练 解:(1)若参加三个学科的人数分别为1,1,4时,共有·=90种参赛方案;若参加三个学科的人数分别为1,2,3时,共有=360种参赛方案; 若参加三个学科的人数分别为2,2,2时,共有·=90种参赛方案; 该校派出的6名学生总共有90+360+90=540种不同的参赛方案. (2)若有4人选择化学竞赛,则有1种参赛方案; 若有3人选择化学竞赛,余下的一人有2种选法,则有=8种参赛方案; 若有2人选择化学竞赛,余下的两人各有2种选法,则有=24种参赛方案; 若有1人选择化学竞赛,余下的三人各有2种选法,则有=32种参赛方案; 所以总共有1+8+24+32=65种不同的参赛方案. 〈课堂达标·素养提升〉 1.空间中有10个点,无三点共线,其中有5个点在同一个平面内,其余点无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为(　　) A.205　　　　　　　　　 B.110 C.204 D.200 A 解析:法一:可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,则可构成四面体的个数为+++=205. 法二:从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况,得到所有构成四面体的个数为-=205. 2.登山运动员10人,平均分为两组,其中熟悉道路的有4人,每组都需要2人,那么不同的分配方法种数是(　　) A.30 B.60 C.120 D.240 B 解析:先将4个熟悉道路的人平均分成两组,有种,再将余下的6人平均分成两组,有种,然后这四个组自由搭配还有种,故最终分配方法有=60种. 3.要从5名女生,7名男生中选出5名代表,至少有1名女生入选,则有 　　　　种不同的选法.  解析:“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解. 从12个人中任选5人有种选法,其中全是男代表的选法有种. 所以“至少有1名女生入选”的选法有-=771种. 771 4.某班两位老师和6名学生出去郊游,分别乘坐两辆车,每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上,共有　　　　种分配方法.  解析:选一位老师坐第一辆车,共种选法,再选3名学生坐第一辆车,共种选法, 余下的老师和3名学生坐第二辆车, 所以不同的分配方法共有=40种. 40 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.从4个男生和4个女生中挑选3个人组成小组参加歌唱比赛,要求至少2个女生参与,则不同的小组组成方式有(　　) A.20种　　　　　　　　　 B.28种 C.36种 D.44种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:由题意可得总共有2种情况:情况1:2女1男,有=24种;情况2:3女,有=4种,所以共有24+4=28种,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱,假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有(　　) A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论: ①若甲、乙两人同时在天和核心舱,则需要从剩余4人中再选1人, 剩下的3人去剩下的两个舱位,则有=12种可能; ②若甲、乙两人同时在问天实验舱,则剩下的4人选3人去天和核心舱即可, 共有=4种可能,根据分类加法计算原理,共有12+4=16种可能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.将A,B,C,D,E,F六位教师分配到3所学校,若每所学校分配2人,其中A,B分配到同一所学校,则不同的分配方法共有(　　) A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:将余下四人分成两组,每组两人,有种分法,故不同的分配方法共有×=18种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者,则所选3人中男女生都有的选法有　　　　种.(用数字作答)  解析:当所选3人中男生1人,女生2人,此时有=36种选择, 当所选3人中男生2人,女生1人,此时有=60种选择,故共有36+60=96种选择. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 96 5.为落实好乡村振兴计划,某单位将包含小李、小王在内的5名工作人员分配到3个乡村去指导工作,要求每个乡村至少有1名工作人员指导工作,每名工作人员只能去1个乡村,且小李、小王必须去同一个乡村指导工作,则不同的分配方案种数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 解析:①1个乡村分配3人,另外2个乡村各分配1人的分配方案有=18种; ②1个乡村分配1人,另外2个乡村各分配2人的分配方案有=18种. 依据分类加法计数原理可知不同的分配方案种数为18+18=36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.某学校有男运动员4名,女运动员6名共10名运动员,其中男、女队长各一名,选拔4名运动员参加全市中学生运动会. (1)共有多少种选法; (2)若要求至少有1名队长参加,有多少种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)从10名运动员中选4名参赛共有=210种选法. (2)法一:由题意知,10名运动员中男、女队长各1名,共2名队长. 若选中1名队长,则有=112种选派方法; 若选中2名队长,则有=28种选派方法; ∴队长中至少有1人参加,有112+28=140种方法. 法二:由题意,男运动员4名,女运动员6名,其中男、女队长各1名.选派4人, 若没有队长,则有=70种选派方法, 若随机选择,则有=210种选派方法, ∴队长中至少有1人参加,有-=210-70=140种方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学,求: (1)5名同学站成一排,有多少种不同的方法? (2)将5名同学分配到三个班,每班至少1人,共有多少种不同的分配方法? 解:(1)有=120种不同的方法. (2)按人数分配方式分类: ①3,1,1,有=60种方法;②2,2,1,有=90种方法. 故共有60+90=150种分配方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.(多选)在某城市中,A,B两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径,从A地出发去往B地.下列结论正确的有(　　 ) A.不同的路径共有61条 B.不同的路径共有31条 C.若甲途经C地,则不同的路径共有18条 D.若甲途经C地和D地,则不同的路径共有9条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 解析:由题图可知,从A地出发到B地的最短路径共包含7步, 其中3步向上,4步向右,且右3步中至少有1步向上, 则不同的路径共有++=31条,故A错误,B正确; 若甲途经C地,则不同的路径共有=18条,故C正确; 若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有=9条,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.某社区服务站将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题“尽快行动,尽快预防”,则不同的分配方案有　　　　种.(用数字作答)  解析:·=90(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90 10.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言,要求甲、乙2人中至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 264 解析:根据题意,分两种情况讨论,若甲、乙其中一人参加,则有=192种情况; 若甲、乙两人都参加,则有=72种情况, 故不同的发言顺序种数为192+72=264. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.4位同学参加辩论赛,比赛规则如下:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0分,则这4位同学有多少种不同的得分情况? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:分两种情况讨论. (1)4位同学中有2人选甲,2人选乙.若这4位同学的总分为0分,则必须是选甲的2人一人答对,另一人答错,选乙的2人一人答对,另一人答错.有=24种不同的情况. (2)4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分,则必须是2人答对,另2人答错,有=12种不同的情况. 综上可知,一共有24+12=36种不同的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.国家艺术基金(一般项目)2024年度资助项目名单公示,河北省共有27个项目入选,拟予立项.这27个项目分为青年艺术创作人才资助项目、大型舞台剧和作品创作资助项目、美术创作资助项目、传播交流推广资助项目、小型剧(节)目和作品创作资助项目、艺术人才培训资助项目这6类,且这6类项目的项目数依次为8,7,4,4,2,2.某机构计划从这27个项目中选出6个项目进行针对性调研. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)若要求从美术创作资助项目和传播交流推广资助项目中选出6个项目,且选出的美术创作资助项目数不小于传播交流推广资助项目数,共有多少种不同的选法? (2)若要求从青年艺术创作人才资助项目、大型舞台剧和作品创作资助项目、小型剧(节)目和作品创作资助项目、艺术人才培训资助项目这4类项目中选出6个项目(这4类项目都要有),且从青年艺术创作人才资助项目、艺术人才培训资助项目中选出的项目数之和与从大型舞台剧和作品创作资助项目、小型剧(节)目和作品创作资助项目中选出的项目数之和相等,共有多少种不同的选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)第一类,从美术创作资助项目中选出4个项目,从传播交流推广资助项目中选出2个项目,共有=6种不同的选法. 第二类,从美术创作资助项目中选出3个项目,从传播交流推广资助项目中选出3个项目,共有=16种不同的选法. 故共有6+16=22种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)第一步,从青年艺术创作人才资助项目、艺术人才培训资助项目中选出3个项目,共有+=64种不同的选法. 第二步,从大型舞台剧和作品创作资助项目、小型剧(节)目和作品创作资助项目选出3个项目,共有+=49种不同的选法. 故共有64×49=3 136种不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$